特级教师改编中考数学几何模型24讲：专题14 胡不归中的双线段模型与最值问题（教师版）

专题2胡不归中的双线段模型与最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．，记，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．【例题】1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．【解析】(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，∵，∴点的坐标为，代入抛物线的解析式得，，∴，∴抛物线的解析式为，即．令，解得，，∴，∴，∵的面积为5，∴，∴，代入抛物线解析式得，，解得，，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为．(2)过点作轴交于，如图，设，则，∴，∴，∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵、关于轴对称，∴，∴，此时最小，∵，，∴，∴．∴的最小值是3．2、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是？【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍弃），∴BE=2a=4，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．

3、已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：，则顶点；(2)，，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴，又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM为菱形，又∵，菱形ADBM为正方形；(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，将点B、C的坐标代入得：，解得：，所以直线BC的表达式为：y=-x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点，则点N，则，，故有最大值，此时，故点；(4)存在，理由：如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，此时，则最小值，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，∴OF=，∴F(-，0)，利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO•tan∠FAQ=，∴Q(0,)，利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，联立①②并解得：，故点，而点，则，即的最小值为．4、已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．【解析】（Ⅰ）∵抛物线经过点，∴．即．当时，，∴抛物线的顶点坐标为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．∵点在抛物线上，∴．由，得，，∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．如图，过点作轴，垂足为，则点．∴，．得．∴在中，．∴．由已知，，∴．∴．（Ⅲ）∵点在抛物线上，∴．可知点在第四象限，且在直线的右侧．考虑到，可取点，如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，有，得，则此时点满足题意．过点作轴于点，则点．在中，可知．∴，．∵点，∴．解得．∵，∴．∴．5、如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图1∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）∵点D为抛物线的顶点，且﹣4∴点D的坐标为D（1，﹣4）,∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3∴当m＝＝2时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：,∴点J（,）∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且,∴；（2）由（1）知，点P（0，），∵把点P向上平移个单位得到点Q,∴点Q（0，﹣2）∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G①如图2G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝,∴，解得：|IO