特级教师改编中考数学几何模型24讲：专题04 角平分线模型在三角形中的应用（教师版）

专题04角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间角平分线+内垂直当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称角平分线+截线段等当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.

【模型】四、角平分线加平行线等腰现角平分线+平行线当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图,,为上的一点，并且于点,,求证：.分析：条件中出现为的角平分线,于点，属于角平分线基本模型一.辅助线的作法可尝试过点作，即有,≌等，利用相关结论解决问题.证明：过点作于点.且,.在和中，，≌,..在和中,，≌,.,.2、如图，在中，是的平分线，于点,//交于点，求证:.分析：已知条件中出现为的平分线，于点，属于角平分线基本模型二.辅助线的作法可尝试延长交于点，即有是等腰三角形、是三线，利用相关结论解决问题.证明：延交于点.平分,.又，≌，.又∥,.3、已知:如图7,，求证:.分析：已知条件中出现为的角平分线，不具备特殊位置，属于角平分线基本模型三.辅助线的作法可尝试在上截取，连结.即有≌，利用相关结论解决问题.证明：上截取，连结，且,.又.又≌,,即有

4、如图,//,、分别平分和.探究:在线段上是否存在点，使得.分析：已知条件中出现、分别平分和，点为角平分线上任一点时，猜侧属于角平分线基本模型四.辅助线的作法可尝试过点作//，或//.即有()是等腰三角形，利用相关结论解决问题.解析：点作//.∥,.又平分,即,.又∥,∥,同理可得.又.线段上存在点，使得.以上四个例题并不复杂，但对研究含有角平分线的几何证明题具有指导意义.在教学过程中，要利用基本模型将复杂的几何证明简单化，要真正看透问题的本质，并将课本知识内化为自己的知识，从而提高自己探究问题的能力和数学绘合素养.

【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，ACBC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则的值是___________.分析：要求的值，一般来说不会直接把BF和EF都求出来，所以需要转化，当过点F作FGAB时，即可将转化为，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试.解析：FGAB于点G∠DAB-90°，FG/AD，=ACBC，∠ACB=90°又BF平分∠ABC，FG=FC在Rt△BGF和Rt△BCF中，，△BGF≌△BCF（HL），BC=BGAC=BC，∠CBA=45°，AB=BC

2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AECE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为______分析：有AE平分∠BAC，且AEEC，套用模型2，即可解决该题.解析：如图，延长CE，AB交于点FAE平分∠BAC，AEEC∠FAE=∠CAE，∠AEF=∠AEC=90°在△AFE和△ACE中，，△AFE≌ACE（ASA）。AF=AC=16，EF=EC，BF=6又D是BC的中点，BD=CDDE是△CBF的中位线DE=BF=3故答案为：3.

3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=________.分析：这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.解析：如图，延长BQ交射线EF于点M.E、F分别是AB、AC的中点，EF//BC∠CBM=∠EMBBM平分∠ABC，∠ABM=∠CBM∠EMB=∠EBM，EB=EMEP+BP=EP+PM=EMCQ=CE，EQ=2CQ由EF//BC得，△EMQ∽△CBQ

【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？解析：过点P分别向OA、OB作垂线，S△PFG=PGPE，S△PMN=MNPH，FG=MNPH=PE点P在∠AOB的平分线上.2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF=BGCF.证明：BD平分∠ABC，∠1=∠2，DF//BC，∠2=∠3，∠1=∠3，BF=DF.同理：DE=CE.EF=DFDF,EF=BFCE.

3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC=CD；（2）若AB+AD=AC，求∠BCD的度数；解析:(1)如图，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M;作CN⊥AD，垂足为N，AC平分∠DAB，CM＝CN又∠ABC+∠ADC＝180°，∠MBC+∠ADC＝180°

∠NDC＝∠MBC，在△NDC与△MBC中，，BC=DC

(2)如图，延长AB到B，使BB＝ADAB+AD＝AC，∴AB＝AC

由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC与△BBC中

∴△ADC≌△EBC，故AD＝EC

又AE＝AC，∴AE＝AC＝EC故△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°;

∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°

即∠BCD＝60°

4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.解析：（1）△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG

D是BC的中点

∴BD＝CD

∴BG=AC+AG

BG+(AC+AG)=AB+AC,

∴BG=（AB+AC)=（b+c)

(2)证明:点D.F分别是BC、AB的中点

∴DF＝AC=b，BF=AB=c

又FG＝BGBF=（b+c)-c=b∴DF=FG

∴∠FDG＝∠FGD

点D.E分别是BC、AC的中点，∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF5、如图，BAMN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC=∠BPA，BCBP，过点C作CDMN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.解：CD的长度不变

理由如下:

如图，延长CB和PA，记交点为点Q∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP

∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性质)BA⊥MN，CD⊥MM∴AB∥CD，

∴△QAB∽△△QDCAB/CD=QB/QC=1/2

∴CD＝2AB＝2×4＝8即CD＝8

6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.解析：(1)存在.O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2)，OA＝BC＝5，BC∥OA，

以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，如图1

作DG⊥EF于G，连DB，则DB＝OD＝2.5，DG＝2，EG=GF

∴DE==1.5，∴E(1,2),F(4,2),

∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90(2)如图2，BC＝OA＝5，BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形∴OC∥AB，∴∠AOC+∠OAB＝180°，

OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ＝0.5∠AOC，∠OAQ＝0.5∠OAB，

∴∠AOQ+∠OAQ＝90°∴∠AQO＝90°，

以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，∴点Q只能是点E或点F，

当Q在F点时，OF、AF分别是∠AOC与OAB的平分线，BC∥OA∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB而OC＝AB，∴CF＝BF，即F是BC的中点。而F点为(4，2)，此时m的值为6.5，

当在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，综上所述，m的值为3.5或6.5.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB//DE，AE/DC，求证：；（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E。若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论。（不必说明理由）解析：（1）如图，过点D作DE//BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；（2），；，；，；.在△ABE和△DEC中，，，，.（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，BH⊥CD于H，∠BFE＝∠CHE＝90°AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF=EG=EH，在Rt△EFB和Rt△EHC中，BE=CE，EF=EH，Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)，∠3＝∠4.BE=CE，∠1=∠2.∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠DCB，四边形ABCD为AD截某三角