新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第3讲 圆锥曲线第三定义（解析版）

第3讲圆锥曲线第三定义参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么直线SKIPIF1<0斜率的取值范围是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0斜率的取值范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．2．椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么直线SKIPIF1<0斜率的取值范围是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解答】解：由椭圆SKIPIF1<0可知其左顶点SKIPIF1<0，右顶点SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则得SKIPIF1<0．记直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0斜率的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0斜率的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．3．椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0方程可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．4．设椭圆SKIPIF1<0长轴的两个顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆上不同于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的任一点，若将SKIPIF1<0的三个内角记作SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：因为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而在三角形中，SKIPIF1<0，所以上式可得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由双曲线的对称性设SKIPIF1<0在第一象限，如图所示：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．5．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0上不同三点，且满足SKIPIF1<0为坐标原点），直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为坐标原点），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于原点对称，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为4．故选：SKIPIF1<0．6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上不同的三点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0连线经过坐标原点，若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率乘积为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：由题意，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的不同的三点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的两个实数根，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，则双曲线SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．二．填空题（共4小题）8．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0上不同三点，且满足SKIPIF1<0为坐标原点），直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【解答】解：由SKIPIF1<0为坐标原点），得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，①又由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为双曲线上的点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①，可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0时上式“SKIPIF1<0”成立．SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0的公共顶点，SKIPIF1<0是双曲线上的动点，SKIPIF1<0是椭圆上的动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【解答】解：根据题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，①因为SKIPIF1<0，②由①②得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0的左右顶点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线和椭圆上不同于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的动点，且满足SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<00．【解答】解：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0的公共顶点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为双曲线和椭圆上不同于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的动点，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：0．11．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上不同的三点，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点关于原点SKIPIF1<0对称，若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率乘积SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【解答】解：由题意，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0三．解答题（共4小题）12．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，其中点SKIPIF1<0在第一象限，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，并延长交椭圆于点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0（1）若直线SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0；（3）对任意SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解答】解：（1）由题设知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0中点坐标为SKIPIF1<0．由于直线SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0过线段SKIPIF1<0的中点，又直线SKIPIF1<0过原点，所以SKIPIF1<0．（2）直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为1，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．因此，SKIPIF1<0．（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．13．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0，若椭圆上存在一点SKIPIF1<0，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段SKIPIF1<0相切于线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）已知两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及椭圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，试问当SKIPIF1<0为何值时，直线SKIPIF1<0过椭圆SKIPIF1<0的顶点？（Ⅲ）过坐标原点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，其中SKIPIF1<0在第一象限，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的中位线，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（2分）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所求椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0并代入SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0由△SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5分）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则由中点坐标公式得：SKIPIF1<0（6分）①当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0显然过椭圆SKIPIF1<0的两个顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（7分）②当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0此时直线SKIPIF1<0显然不能过椭圆SKIPIF1<0的两个顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0过椭圆SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0（8分）若直线SKIPIF1<0过椭圆SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍去）．SKIPIF1<0（9分）综上，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0过椭圆SKIPIF1<0的顶点．SKIPIF1<0（10分）（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（11分）根据题意可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②并整理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即①、②两直线的交点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（14分）法二：由（Ⅰ）得椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0根据题意可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（12分）所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（14分）14．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，其中点SKIPIF1<0在第一象限，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0．（1）若直线SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0，面积SKIPIF1<0的最大值，并指出对应的点SKIPIF1<0的坐标；（3）对任意的SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交椭圆于SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线．【解答】（1）解：由题设知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0中点坐标为SKIPIF1<0．由于直线SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0过线段SKIPIF1<0的中点，又直线SKIPIF1<0过原点，SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设与SKIPIF1<0平行的直线方程为SKI