专题11 一次函数与一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式（解析版）

专题11一次函数与一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式知识点框架知识点讲解一元一次方程：关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。二元一次方程组：关于x，y的二元一次方程组QUOTEk1x+b1=y，k2x+b2=y的解是直线y=k1一元一次不等式：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围。典型题型考查题型一两直线的交点与二元一次方程组的解1．（2021·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1【答案】A【分析】函数图象的交点坐标即是方程的解，观察图象解题．【详解】解：∵两条直线的交点坐标为，∴关于x的方程的解为，故选：A．【点睛】本题考查两条一次函数的图象的交点，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．（2021·江苏无锡·八年级期末）一次函数y=2x﹣1与y=x+1的图象交点坐标为（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）【答案】C【分析】联立两函数解析式，解方程组即可．【详解】联立解得：，∴函数y=2x﹣1与y=x+1的图象的交点坐标为（2，3）．故选：C．【点睛】本题考查了两直线的交点的求解，联立两直线解析式解方程组即可，比较简单．3．（2019·江苏·吴江市屯村中学八年级期末）如果函数y＝x﹣b（b为常数）与函数y＝﹣2x+4的图象的交点坐标是（2，0），那么关于x、y的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行回答．【详解】解：∵函数（b为常数）与函数的图象的交点坐标是，∴方程组的解是．故选：A．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，解题关键是联立方程组即可得出答案.考查题型二图解法解二元一次方程组4．（2021·江苏盐城·八年级期末）如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可．【详解】解：∵直线与直线都经过点∴方程组的解是：．故选择：D．【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键．5．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】解：函数和的图象交于点，即，同时满足两个一次函数的解析式．所以关于，的方程组的解是．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（）A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20【答案】D【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值．7．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解．【详解】一次函数与的交点为P（、4）解得点P的坐标为（2、4）的解为：故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解．考查题型三求直线围成的图形面积8．（2022·河南驻马店·八年级期末）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】根据点的坐标特征求得图象与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：一次函数,当x=0时，y=6；当y=0时，x=3．∴图象与坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)，∴图象与两坐标轴围成的三角形的面积为：，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴围成的图形的面积，三角形面积，熟练掌握利用点的坐标表示图形的面积是解题的关键．9．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期中）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为（

）A．2 B．或 C． D．2或【答案】D【分析】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可求得到答案．【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，在y=2x+b中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=b，∴A（-，0），B（0，b），∴OA=|-|，OB=|b|，∵S△AOB=1，∴OA•OB=1，即×||×|b|=1，整理可得|b|2=4，∴b=2或b=-2，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．10．（2022·江西抚州·八年级期末）如图，两条直线和相交于点，两直线与x轴所围成的的面积是（

）A． B． C．75 D．15【答案】A【分析】先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可【详解】两条直线和相交于点，解得，令，解得由，令，解得，故选A【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键．11．（2021·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期中）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值．【详解】解：已知和，．，，，当时，，解得．，，即；故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．考查题型四由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点12．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（）A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5）【答案】A【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝−2x＋b经过点（2，0）．【详解】解：由方程的解可知：当x＝2时，−2x＋b＝0，即x＝2，y＝0，∴直线y＝−2x＋b的图象一定经过点（2，0），故选：A．【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．13．（2021·江苏镇江·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（8，0）、（9，6）、（0，6），若一次函数y＝kx﹣8k的图象将△ABC分成面积为1∶2的两个部分，则k的值为（

）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣3或 D．﹣2或﹣3【答案】C【分析】先找出一次函数经过顶点，再根据题意将△ABC分成面积为1：2的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可．【详解】解：∵一次函数y=kx-8k，当x=8时，y=0，∴一次函数y=kx-8k过定点(8，0)，由题意可知，如图，直线AE或AF将△ABC分成面积之比为1：2的两个部分，∵B、C三点的坐标分别为（9，6）、（0，6），∴BC//OA，∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比，即CE：BE=1：2或CF：BF=2：1，∴或，∴E(3，6)，F(6，6)，将E(3，6)代入y=kx-8k得，3k-8k=6，∴k=-；将F(6，6)代入y=kx-8k得，6k-8k=6，∴k=-3；综上可知：k=-3或k=-．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是发现直线过顶点，并用待定系数法解决问题．14．（2022·陕西安康·八年级期末）若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2，则直线y=4x-b一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程可知当x=-2时，y=0，从而可判断直线经过点（-2，0）．【详解】解：由方程可知：当x=-2时，4x-b=0，即当x=-2时，y=0，∴直线y=4x-b的图象一定经过点（-2，0）．故选：C．【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．15．（2021·四川泸州·八年级期末）将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律得到新的函数解析式，再令即可求解．【详解】将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后得到：，令，解得，所得图象与x轴的交点坐标为．故选C．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的平移是解题的关键．考查题型五由直线与坐标轴的交点求不等式的解集16．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，已知一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=mx+n的值小于3的自变量x的取值范围．【详解】解：由图中可以看出，当x>−2时，mx+n<3，故选：C．【点睛】本题考查了数形结合的数学思想，学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用，解答此题的关键是会利用数形结合的思想解决问题．17．（2021·江苏南京·八年级期末）如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．【详解】解：由图中可以看出，当x＜−3时，kx+b＜2，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了数形结合的数学思想，学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用，解答此题的关键是会利用数形结合的思想解决问题．18．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学八年级期末）已知一次函数y1＝k1x＋b1与一次函数y2＝k2x＋b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表所示：x…01…y1…34…x…01…y2…54…则当y1＞y2时，x的取值范围是（

）A．x<0 B．x>0 C．0<x<1 D．x>1【答案】D【分析】根据表格可得当x=1时，，则有点为这两个一次函数的交点，然后根据题意可大致画出图象，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：点为的交点，则大致图象如图所示：∴当y1＞y2时，x的取值范围是x>1；故选D．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．19．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图像过点，则不等式的解集是（

）A．x＞－3 B．x＞－2 C．x＞1 D．x＞2【答案】C【分析】先将（－1，0）代入y＝kx＋b中得到k=b，则不等式化为，根据k＞0解关于x的不等式即可．【详解】解：将（－1，0）代入y＝kx＋b中得：－k+b=0，解得：k=b，则不等式化为，∵k＞0，∴（x－2）+1＞0，解得：x＞1，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据一次函数图象上的点的坐标特征求得k与b的关系是解答的关键．考查题型六根据两条直线的交点求不等式的解集20．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，函数和的图像相交于点P(1，m)，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意首先确定y=mx和y=kx-b的交点以及作出y=kx-b的大体图象，进而根据图象进行判断即可．【详解】解：∵y=kx+b的图象经过点P（1，m），∴k+b=m，当x=-1时，kx-b=-k-b=-（k+b）=-m，即（-1，-m）在函数y=kx-b的图象上．又∵（-1，-m）在y=mx的图象上．∴y=kx-b与y=mx相交于点（-1，-m）．则函数图象如图．则不等式-b≤kx-b≤mx的解集为-1≤x≤0．故选：B．【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定y=kx-b和y=mx的交点是解题的关键．21．（2021·江苏镇江·八年级期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的部分自变量和对应函数值如表：x…﹣2﹣1012…y1…12345…x…﹣2﹣1012…y2…52﹣1﹣4﹣7…则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1【答案】D【分析】根据统计表确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．【详解】解：根据表可得y1＝kx+b中y随x的增大而增大；y2＝mx+n中y随x的增大而减小，且两个函数的交点坐标是（﹣1，2）．则当x＞﹣1时，kx+b＞mx+n．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键．22．（2020·江苏宿迁·八年级期末）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．【详解】解：∵函数y1=-2x过点A(m,2)，∴−2m=2，解得m=−1，∴A(−1,2)，∴不等式的解集为x＞-1．故选：C．【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式