第5章虚功原理与结构位移计算

第5章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度改变时的位移计算§5-7变形体的虚功原理§5-8互等定理§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移

一、结构位移计算概述1、位移的概念结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上各点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。位移是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移）。2、位移产生的原因及其计算目的位移计算的目的产生位移的原因(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座沉降和制造误差。(1)验算结构的刚度；(2)为超静定结构的内力计算打下基础。位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：

绝对位移（一般称位移）

相对位移

3、位移的分类绝对位移指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。如图1所示C截面的位移。

绝对位移是以结构未变形前的初始状态为参考状态的。

图1相对位移指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。

相对位移是结构上的两个截面互以对方为参考状态的。(a)

(b)

图2

DAB=DAH+DBHqCD=qC+qDDAB=DAV-DBV二、虚功原理及其两种表现方式虚功原理：具有理想约束的质点系在某一位置处于平衡的充分必要条件是，对于任何虚位移，作用于质点系的主动力所作的虚功总和等于零。虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功区别于实功的重要特点。

虚功可大于零也可小于零。(a)力状态

(b)位移状态

虚力方程

——求位移。

虚位移方程——求内力、约束力；由于虚功中的两种状态不相关的特点，可使其中的一种状态是虚设的，而另一种是真实的状态。因此，虚功方程演变出两种形式及应用：

虚位移方程及应用（刚体系）虚位移方程使体系上真实的平衡力系，在体系可能的任意微小的刚体虚位移上，所作的外力总虚功等于零的方程。虚位移方程用于求真实的未知力（内力、约束力、支座反力）。虚位移方程用于求真实的未知力（内力、约束力、支座反力）。

如图3所示以杠杆（机构），B端上有一集中荷载FP，求A端需用多大的力FA，该杠杆体系能平衡。(a)

(b)

图3

使机构发生约束允许的任意微小刚体虚位移，见图(b)。因为欲求的力FA要使图(a)所示体系为平衡力系，所以该力系上的所有外力在图(b)所示的虚位移上总外力虚功等于零，得虚位移方程：

即：

由虚位移图的几何关系，知：

(↓)

所以：(a)

(b)

例1试用单位位移法（虚位移法）求图(a)所示简支梁的支座B的约束反力。

分析：图(a)是一个平衡力系。图(b)是可绕A铰作刚体转动（1个自由度）的体系。可知，静定结构可利用刚体的虚功原理（虚位移方程）求力。求解：(1)去掉B支座链杆(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移见图(b)(3)写出虚位移方程(4)求解虚位移方程

虚力方程及应用使体系上虚设的平衡力系，在体系真实的刚体位移上所作的外力总虚功等于零的方程。虚力方程虚力方程用以求真实的位移(a)

(b)

图4静定结构在支座发生位移时，是满足约束允许的刚体位移，并且不产生内力。

在拟求位移截面，按假定的位移方向，作用一单位集中荷载（或单位力，或单位力偶），由平衡条件可求得虚力状态的支座反力，进而利用虚力原理求得位移。故该方法又称为单位荷载法。

虚设力状态如图4(b)所示

在支座移动时的位移计算公式(a)(b)

图5

虚力方程则所求位移为：

例2(1)求顶铰C的竖向位移；(2)求C铰两侧截面的相对转角位移求解：(1)

(2)按位移计算公式计算位移(3)计算顶铰两侧截面的相对转角位移q

相对转角位移q(

)

思考1、虚位移原理和虚力原理的相同点和不同点。2、已知支座位移，如何求解静定结构的位移？第5章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度改变时的位移计算§5-7变形体的虚功原理§5-8互等定理局部变形时静定结构的位移计算举例局部变形时的位移公式结构位移计算的一般公式位移计算的一般步骤广义位移和虚设状态图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角。求A点的竖向位移例1解：图a中的实际位移状态改用图b来表示。在B处加铰，把实际位移状态明确的表示为刚体体系的位移状态。虚设力系如图c所示，在A点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在铰B处还必须虚设一对弯矩。一、局部变形时静定结构的位移计算举例解答根据平衡条件可求出：图c中的平衡力系在图b中的实际位移上作功，得虚功方程如下：解得：图a中，截面B有相对剪切位移，试求A点与杆轴成角的斜向位移分量。例2解：如图b所示，将截面B切开，加上两根平行杆轴的链杆，使能产生相对剪切位移，但不能产生相对轴向位移，从而把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态解答在拟求位移的方向虚设单位荷载。为保证刚体平衡，在截面B的两侧设一对剪力Q，其数值可根据平衡条件求出图c中的平衡力系在图b中的实际位移上作功，得虚功方程解得图示为局部变形问题的一个典型情况。悬臂梁除B点附近有微段ds有局部变形外，结构其它部分没有变形。微段的局部变形包括三部分：轴线伸长应变为；平均剪切应变为；轴线曲率为二、局部变形时的位移公式微段两端截面的三种相对位移(b)相对轴向位移相对剪切位移相对转角位移局部变形时的位移公式应用刚体体系虚功原理，根据截面B的相对位移，分别求出A点的位移。并将结果进行叠加，得局部变形位移公式：三、结构位移计算的一般公式这里的积分号表示沿杆件长度积分，总和号表示对结构中各杆求和。其中最后一项表示给定支座位移cK的影响。结构位移计算的一般公式还可用变形体的虚功原理导出。由外虚功＝内虚功，即得一般公式四、结构位移计算的一般步骤

求结构在某一点沿某一方向的位移Δ，其计算步骤为：(1)虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。(2)在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。(3)利用结构位移计算的一般公式求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反。广义位移的计算

本章所讨论的位移可以引申为广义位移：它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。广义位移和虚设状态求一点水平方向线位移，沿水平方向加单位集中力实际结构荷载求一点角位移，加单位力偶

求两点相对位移在其连线加一对反向单位集中力

求一点竖直线位移，沿竖直方向加单位集中力求两截面相对转角，加一对反向单位力偶水平位移转角位移相对角位移竖向位移相对线位移桁架的转角位移？作业P1635-1（c）；5-35-8第5章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度改变时的位移计算§5-7变形体的虚功原理§5-8互等定理计算步骤各类结构的位移公式截面平均切应变和系数k计算步骤计算荷载作用下的位移时，可按下列顺序求出：荷载——内力——应力——应变，下为静定结构的弹性位移的具体计算步骤：（1）根据荷载情况，求出结构各截面的内力；（2）根据内力，求出相应的弯曲、拉伸、剪切应变：

（3）将上述应变代入静定结构位移计算的一般公式，可得：各类结构的位移公式(1)梁和刚架

由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为

(2)桁架

桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为各类结构的位移公式(3)组合结构桁梁混合结构中，一些杆件以弯曲为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为

(4)拱

对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即

截面平均切应变和系数k根据截面切应变的分布函数，应用虚功原理推得截面平均切应变为：根据荷载引起的剪力求出切应变，代入上式可进一步推导出截面形状系数k的公式，根据不同的截面形状，系数k可做如下取值：矩形6/5圆形10/9薄壁圆环形2工字形或箱形A/A1(腹板)第5章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度改变时的位移计算§5-7变形体的虚功原理§5-8互等定理梁的位移计算桁架的位移计算曲杆的位移计算例3求图示悬臂梁A端的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。弯曲位移虚设单位荷载实际荷载总位移由于梁的轴力为零，故总位移为较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。二者的比值为对比讨论设横向变形系数u=1/3，E/G=2(1+u)=8/3，对于矩形截面，I/A=/12(h为截面高度)，代入上式，得：当梁的高跨比h/l是1/10时，则＝1.07％，剪力影响约为弯矩影响的百分之一，故对于一般的梁可以忽略剪切变形对位移的影响。但是，当高跨比增大为0.5时，上式的比值增大为0.27，因此，对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。例4图a为一屋架，屋架的上弦杆和其它压杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其它拉杆采用钢杆。计算简图如b所示。设屋架承受均布荷载q作用。试求顶点C的位移。内力Np(1×F)杆件FNP(kN)l(cm)A(cm2)材料

AD-4.74F0.263lA1钢筋混凝土－1.581.97DC-4.42F0.263lA1－1.581.84//DE-0.95F0.088l0.75A100//CE1.50F0.278lA2钢筋00AE4.50F0.278l3A21.500.63//EG3.00F0.222l2A21.500.5//合计1.13桁架的位移计算上表中是上弦杆的截面面积：＝18×24＝432。表中的是22钢筋的截面面积，等于3.8。根据表中的结果，即得：设原始数据给定如下（跨度L＝12m）：荷载混凝土钢筋代入上式可得：例5.曲杆的位移计算图6a所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为，半径为R。设均布竖向荷载q沿水平线作用。试求B点的竖向位移。曲杆的位移计算实际荷载虚设荷载曲杆的位移计算用分别表示所引起的位移，得用作变数曲杆的位移计算如果，则代入上式并积分得作业5-9；5-11第5章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度改变时的位移计算§5-7变形体的虚功原理§5-8互等定理图乘法及其应用条件几种常见图形的面积和形心位置应用图乘法时的几个具体问题图乘法及应用条件

y0是在MK图形心C对应处的Mi

图标距，A是MK图的面积。利用静矩的概念图乘法及应用条件1.应用条件杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距y0

应取自直线图形中。2.正负号规定面积A

与标距y0在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。常见图形的面积和形心

三角形二次抛物线二次抛物线二次抛物线三次抛物线n次抛物线应用图乘法时的几个具体问题

(1)如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其中一个图形。(2)如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。(3)如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。应用图乘法时的几个具体问题

(4)对于非标准抛物线的图乘，由于弯矩图中的非标准抛物线是由叠加原理获得，因此可以将非标准抛物线分解为标准抛物线图形和直线图形。例4

试计算下图所示悬臂粱B点的竖向位移，EI

为常数。解答

例5

试求出下图所示刚架结点B

的水平位移,EI

为常数。解答

作业P2025-21；5-24第5章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度改变时的位移计算§5-7变形体的虚功原理§5-8互等定理温度作用时的位移计算对于静定结构温度变化时，材料发生伸缩变形，结构因而产生位移。位移的计算仍然应用虚功原理。下图所示位移刚架结构，杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上升t2，沿截面高度h是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。线膨胀系数温度改变时的位移计算轴线处温度升高曲率线膨胀系数轴向应变温度改变时的位移计算应用虚功原理可得当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，可得例6-5

试分析下图所示刚架

C

点的水平位移，已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升了100C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，截面高为

h，线膨胀系数为α。解答例6试求图示刚架C点的竖向位移。梁下侧和柱右侧温度升高10摄氏度，梁上侧和柱左侧温度无改变。各杆截面为矩形，截面高度h＝60cm，a＝6m，α＝0.00001。解：在C点加单位竖向荷载，作相应得内力图（b、c）结