小学奥数题库《计算》公式类平方差公式-2星题（含详解）全国通用版

班级：姓名：亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。祝你轻松完成本次练习！期末考名列前茅！【心得记录卡】亲爱的同学，在完成本专项练习后，你收获了什么？掌握了哪些新本领呢？在这里记录一下你的收获吧！年月日计算-公式类计算-平方差公式-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率多元一次方程（组）B1.了解什么是多元一次方程（组）

2.会解多元一次方程组少考知识提要多元一次方程（组）概念

如果方程组中含有3个或3个以上未知数，并且未知数的次数都是1，那么这样的方程组叫做多元一次方程组。 基本解法

消元 精选例题多元一次方程（组）1.甲、乙、丙、丁四人参加了一次考试．甲、乙的成绩和比丙、丁的成绩和高17分．甲比乙低4分，丙比丁高5分．四人中最高分比最低分高

分．【答案】

13【分析】

根据题意可得(甲丙则整理可得乙2.有5个自然数（允许有相等的），从其中任意选取4个数求和，可以而且只能得到44，45，46，47，那么，原来的5个自然数分别是

．【答案】

13，12，11，11，10【分析】

设这5个自然数分别为a、b、c、d、e，设m=a+b+c+d+e，从其中任意选取4个数求和分别为m−a、m−b、m−c、m−d、m−e．当这5个数各不相同时，应该有5个不同的和，而题目当中只能得到4个不同的和，说明这5个数中有两个是相等的．假设a>b>c>d（e为重复的数），则m−a=44（其中x的可能取值为44、45、46、47）将5个式子相加，可得5m−(a+b+c+d+e)=44+45+46+47+x即4m=182+x解之得，x=46,m=57所以a=13，b=12，c=e=11，d=10．3.解方程组$\left\{\begin{gathered}2x+y+z=7\hfill\\x+2y+z=8\hfill\\x+y+2z=9\hfill\\\end{gathered}\right.$【答案】

$\left\{\begin{gathered}x=1\hfill\\y=\dfrac{1}{3}\hfill\\z=3\hfill\\\end{gathered}\right.$【分析】

\[\left\{\begin{gathered}2x+y+z=7\cdots①\hfill\\x+2y+z=8\cdots②\hfill\\x+y+2z=9\cdots③\hfill\\\end{gathered}\right.\]①-②整理得：y−x=1⋯④,将②扩大2倍与③相减，整理得3y+x=7⋯⑤,④-⑤，得：(y−x)+(3y+x)=8,整理得4y=8,代入方程组可得原方程组的解为：\[\left\{\begin{gathered}x=1\hfill\\y=2\hfill\\z=3\hfill\\\end{gathered}\right.\]4.解方程组3x−4z=72x+3y−z=95x−9y−7z=8.【答案】

x=5【分析】

观察x,y,z的系数发现，第二个式子与第三个式子中y的系数是3倍关系，所以将第二个式子扩大3倍与第三个式子相减得到：3(2x+3y−z)+(5x−9y−7z)=3×9+8,去括号整理得11x−10z=35,与第一个式子整理得3x−4z=7若想消掉z，，因为[4,10]=20，所以第一个方程应该扩大5倍，第二个式子应该扩大2倍，又因为z的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：2(11x−10z)−5(3x−4z)=2×35−5×7,去括号整理得7x=35，x=5，所以方程解为x=55.五个整数任选四个，求出它们的平均值，然后再求这个数和余下一个数的和，这样可以得到5个数734、10、1034、【答案】

1、4、5、7、11【分析】

$\left\{\begin{gathered}\dfrac{{a+b+c+d}}{4}+e=7\dfrac{3}{4}\hfill\\\dfrac{{a+b+c+e}}{4}+d=10\hfill\\\dfrac{{a+b+d+e}}{4}+c=10\dfrac{3}{4}\hfill\\\dfrac{{a+c+d+e}}{4}+b=12\dfrac{1}{4}\hfill\\\dfrac{{b+c+d+e}}{4}+a=15\dfrac{1}{4}\hfill\\\end{gathered}\right.$解得：$\left\{\begin{gathered}a=11\hfill\\b=7\hfill\\c=5\hfill\\d=4\hfill\\e=1\hfill\\\end{gathered}\right.$6.解方程组$\left\{\begin{gathered}3x-4z=7\hfill\\2x+3y-z=9\hfill\\5x-9y-7z=8\hfill\\\end{gathered}\right.$【答案】

$\left\{\begin{gathered}x=5\hfill\\y=\dfrac{1}{3}\hfill\\z=2\hfill\\\end{gathered}\right.$【分析】

观察x,y,z的系数发现，第二个式子与第三个式子中的y的系数是3倍关系，所以将第二个式子扩大3倍与第三个式子相加得到：3(2x+3y−z)+(5x−9y−7z)=3去括号整理得11x−10z=35,与第一个式子整理得：\[\left\{\begin{gathered}3x-4z=7\hfill\\11x-10z=35\hfill\\\end{gathered}\right.\]把z的系数统一，可化为：\[\left\{\begin{gathered}15x-20z=35\hfill\\22x-20z=70\hfill\\\end{gathered}\right.\]两式相减得：7x=35，x=5，代入计算y,z，可得原方程组的解为：\[\left\{\begin{gathered}x=5\hfill\\y=\dfrac{1}{3}\hfill\\z=2\hfill\\\end{gathered}\right.\]7.有甲、乙、丙、丁4个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17，这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少？【答案】

18岁【分析】

设甲、乙、丙、丁4个人的年龄分别为a、b、c、d，那么有：$\left\{\begin{gathered}\dfrac{{a+b+c}}{3}+d=29\hfill\\\dfrac{{b+c+d}}{3}+a=23\hfill\\\dfrac{{a+c+d}}{3}+b=21\hfill\\\dfrac{{a+b+d}}{3}+c=17\hfill\\\end{gathered}\right.$把四个式子加起来得到：a+b+c+d=45  （1）再将上面方程组里面的每个式子×3后与（1）式相减分别得到：a=12，b=9，c=3，d=21，所以年龄最大与最小的差值为21−3=18岁答：这4人中最大年龄与最小年龄的差是18岁．8.解方程组$\left\{\begin{gathered}x-y+z=1\hfill\\y-z+u=2\hfill\\z-u+v=5\hfill\\u-v+x=2\hfill\\v-x+y=7\hfill\\\end{gathered}\right.$【答案】

$\left\{\begin{gathered}x=0\hfill\\y=6\hfill\\z=7\hfill\\u=3\hfill\\v=1\hfill\\\end{gathered}\right.$【分析】

将五个式子相加得x+y+z+u+v=17,将第一与第二式子相加得：x+u=3,将第二与第三式子相加得：y+v=7,同理连续相加得到：\[\left\{\begin{gathered}x+u=3\hfill\\y+v=7\hfill\\z+x=7\hfill\\u+y=9\hfill\\v+z=8\hfill\\\end{gathered}\right.,\]整理后解得：\[\left\{\begin{gathered}x=0\hfill\\y=6\hfill\\z=7\hfill\\u=3\hfill\\v=1\hfill\\\end{gathered}\right.\]9.求出下面不定方程组的正整数解：$\left\{\begin{gathered}x+y+z=100\qquad&①\hfill\\5x+3y+\dfrac{1}{3}z=100\qquad&②\hfill\\\end{gathered}\right.$【答案】

$\left\{\begin{gathered}x=4\hfill\\y=18\hfill\\z=78\hfill\\\end{gathered}\right.$或$\left\{\begin{gathered}x=8\hfill\\y=11\hfill\\z=81\hfill\\\end{gathered}\right.$或$\left\{\begin{gathered}x=12\hfill\\y=4\hfill\\z=84\hfill\\\end{gathered}\right.$【分析】

不定方程组，先消去一个元．将二式扩大三倍与一式相减：$\left\{\begin{gathered}x+y+z&=100\hfill\\15x+9y+z&=300\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow14x+8y=200\Rightarrow7x+4y=100$可以用余数性质得到，该方程有三组整数解，$\left\{\begin{gathered}x=4\hfill\\y=18\hfill\\\end{gathered}\right.$或$\left\{\begin{gathered}x=8\hfill\\y=11\hfill\\\end{gathered}\right.$或$\left\{\begin{gathered}x=12\hfill\\y=4\hfill\\\end{gathered}\right.$带入原方程组得到三组整数解：$\left\{\begin{gathered}x=4\hfill\\y=18\hfill\\z=78\hfill\\\end{gathered}\right.$或$\left\{\begin{gathered}x=8\hfill\\y=11\hfill\\z=81\hfill\\\end{gathered}\right.$或$\left\{\begin{gathered}x=12\hfill\\y=4\hfill\\z=84\hfill\\\end{gathered}\right.$10.公鸡1只值钱5元，母鸡一只值钱3元，小鸡三只值钱1元，今有钱100元，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【答案】

4、18、78或8、11、81或12、4、84．【分析】

设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，根据题意，可得方程组 x+y+z=100  ① 由②×3−①，得14x+8y=200，即： y= 因为x、y为正整数，所以不难得出x应为4的倍数，故x只能为4、8、12，从而相应y的值分别为18、11、4，相应z的值分别为78、81、84． 所以，方程组的特殊解为x=4 x=8 x=12 所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．11.解方程组（1）$\left\{\begin{gathered}\dfrac{{x+3}}{2}+\dfrac{{y+5}}{3}=7\hfill\\\dfrac{{x-4}}{3}+\dfrac{{2y-3}}{5}=2\hfill\\\end{gathered}\right.$（2）$\left\{\begin{gathered}2x+y+z=7\hfill\\x+2y+z=8\hfill\\x+y+2z=9\hfill\\\end{gathered}\right.(x,y,z为正整数)$【答案】

（1）$\left\{\begin{gathered}x=\dfrac{5}{2}\hfill\\y=\dfrac{{31}}{4}\hfill\\\end{gathered}\right.$；（2）$\left\{\begin{gathered}x=1\hfill\\y=2\hfill\\z=3\hfill\\\end{gathered}\right.$【分析】

（1）化简方程组得：$\left\{\begin{gathered}3x+2y=23\;\;\;\;①\hfill\\5x+6y=59\;\;\;\;②\hfill\\\end{gathered}\right.$①×3−②得：4x=10，x=52将③式代入①得：y=31所以方程的解为：$\left\{\begin{gathered}x=\dfrac{5}{2}\hfill\\y=\dfrac{{31}}{4}\hfill\\\end{gathered}\right.$（2）将一式与二式相减得(x+2y+z)−(2x+y+z)=8−7去括号整理后得y−x=1；将二式扩大2倍与三式相减得2(x+2y+z)−(x+y+2z)=2×8−9,去括号整理得3y+x=7；最后将两式相加计算结果如下：(y−x)+(3y+x)=1+7，整理得4y=8,   y=4,所以方程的解为：$\left\{\begin{gathered}x=1\hfill\\y=2\hfill\\z=3\hfill\\\end{gathered}\right.$12.解方程组x−y+z=1y−z+u=2z−u+v=5u−v+x=2【答案】

x=0【分析】

将5个式子相加得x+y+z+u+v=17，将1式与2式相加得x+u=3，将2式与3式相加得y+v=7，同理连续相加得到x+u=3 整理后解为x=013.解下列三元一次方程组：$\left\{\begin{gathered}x+y=10\hfill\\y+z=12\hfill\\z+x=8\hfill\\\end{gathered}\right.$【答案】

$\left\{\begin{gathered}x=3\hfill\\y=7\hfill\\z=5\hfill\\\end{gathered}\right.$【分析】

解：\[\left\{\begin{gathered}x+y=10\cdots①\hfill\\y+z=12\cdots②\hfill\\z+x=8\cdots③\hfill\\\end{gathered}\right.\]②-①得：z−x=2与③组成二元一次方程组\[\begin{cases}z-x=2\hfill\\z+x=8\hfill\\\end{cases}\]可以解得：\[\left\{\begin{gathered}z=5