2024版高考复习A版数学考点考法讲解：常用逻辑用语

高考

数学集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语基础篇考点一充分条件与必要条件1.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.2.若p⇒q,且q⇒/

p

,则p是q的充分不必要条件.3.若p⇒/

q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件.4.若p⇔q,则p是q的充要条件.5.若p⇒/

q,且q⇒/

p,则p是q的既不充分也不必要条件.考点二全称量词与存在量词1.全称量词和存在量词全称量词(∀):所有的、任意一个等.存在量词(∃):存在一个、至少有一个等.2.全称量词命题和存在量词命题全称量词命题:对M中任意一个x,p(x)成立,即∀x∈M,p(x).存在量词命题:存在M中的元素x,p(x)成立,即∃x∈M,p(x).3.全称量词命题和存在量词命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x∈M,¬p(x)∃x∈M,p(x)∀x∈M,¬p(x)4.全称量词命题、存在量词命题真假的判断方法

全称量词命题存在量词命题真假真假方法一证明所有对象使

命题为真存在一个对象使

命题为假存在一个对象使

命题为真证明所有对象使

命题为假方法二否定为假否定为真否定为假否定为真综合篇考法一充分条件与必要条件的判断方法1.充分、必要条件的判断方法1)定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断.2)集合法:已知A={x|p(x)},A≠⌀,B={x|q(x)}.若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.若A=B,则p是

q的充要条件.若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.2.根据充分、必要条件求参数的取值范围解已知充分、必要条件问题时,一般先把充分、必要条件转化为集合的

包含或相等关系,然后列出有关参数的不等式(组)求解.例1

(1)(2019天津理,3,5分)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)命题“∀x∈R,2kx2+kx-

<0”为真命题的一个充分不必要条件是

(

)A.(-3,0)

B.(-3,0]C.(-3,-1)

D.(-3,+∞)解析

(1)由x2-5x<0得0<x<5,记A={x|0<x<5},由|x-1|<1得0<x<2,记B={x|0<x<2},显然B⫋A,∴“x2-5x<

0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件,故选B.(2)因为∀x∈R,2kx2+kx-

<0为真命题,所以k=0或

⇒-3<k≤0,所以(-3,0)是“∀x∈R,2kx2+kx-

<0”为真命题的充分不必要条件,A符合题意,(-3,0]是“∀x∈R,2kx2+kx-

<0”为真命题的充要条件,B不符合题意,(-3,-1)是“∀x∈R,2kx2+kx-

<0”为真命题的充分不必要条件,C符合题意,(-3,+∞)是“∀x∈R,2kx2+kx-

<0”为真命题的必要不充分条件,D不符合题意,故选AC.答案

(1)B

(2)AC名师点睛:判断充分、必要条件的两种方法1.定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件

是什么、结论是什么.2.集合法:利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围

推得大范围,即可解决充分、必要性的问题.例2

设p:x2-(2a+1)x+a2+a<0,q:lg(2x-1)≤1,若p是q的充分不必要条件,则

实数a的取值范围是

.解析由x2-(2a+1)x+a(a+1)<0,得[x-(a+1)]·(x-a)<0,即a<x<a+1,令A={x|a<x

<a+1},由lg(2x-1)≤1,得0<2x-1≤10,解得

<x≤

,令B=

.若p是q的充分不必要条件,则A⫋B,即

解得

≤a≤

.答案

考法二与全称(存在)量词命题有关的参数的求解方法将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无

解、函数最值等问题,从而根据函数的性质、不等式的有关知识等求解.例3

(2021湖南永州二模,13)若∀x∈[1,2],都有ax2-x≤0,则实数a的取值

范围是

.解析因为∀x∈[1,2],都有ax2-x≤0,所以∀x∈[1,2],都有a≤

,令g(x)=

,x∈[1,2],因为g(x)=

在x∈[1,2]上单调递减,所以g(x)min=g(2)=

,所以a≤

,即实数a的取值范围是

.答案

例4

(2022南京宁海中学检测,13)若“∃x∈

,使得2x2-λx-1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为

.解析若“∃x∈

,使得2x2-λx-1<0成立”是假命题,则“∀x∈

,使得2x2-λx-1≥0成立”是真命题,由于x∈

,所以λ≤

=2x-