2024版高考复习A版数学考点考法练习：解三角形

高考

数学三角函数与解三角形解三角形基础篇考点一正弦定理和余弦定理考向一正弦定理的应用1.(2023届沈阳四中月考,5)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

若sinA+cosB=0,C=

,则

=

(

)A.2-

B.

C.

D.

答案

D

2.(2022河北衡水中学模拟,3)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

a=

,sinB=

,C=

,则c=

(

)A.2

B.

C.

D.1答案

D

3.(2019课标Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA

-bsinB=4csinC,cosA=-

,则

=

(

)A.6

B.5

C.4

D.3答案

A

4.(2022江苏盐城响水中学学情分析,8)在△ABC中,a、b、c分别为△ABC

的内角A、B、C的对边,sinA(sinA+2

sinBsinC)=3sin2B+3sin2C,则角C的大小为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

5.(2020课标Ⅱ文,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

cos2

+cosA=

.(1)求A;(2)若b-c=

a,证明:△ABC是直角三角形.解析

(1)由已知得sin2A+cosA=

,即cos2A-cosA+

=0.所以

=0,cosA=

.由于0<A<π,故A=

.(2)证明:由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=

sinA.由(1)知B+C=

,所以sinB-sin

=

sin

.即

sinB-

cosB=

,sin

=

.由于0<B<

,故B=

.从而△ABC是直角三角形.考向二余弦定理的应用1.(2023届重庆南开中学质检,4)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且a=

,b=

,A=30°,则c=

(

)A.

B.2

C.

或2

D.2或

答案

C

2.(2020课标Ⅲ理,7,5分)在△ABC中,cosC=

,AC=4,BC=3,则cosB=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

3.(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,

AC=

,

AB=2,则BC=

(

)A.1

B.

C.

D.3答案

D

4.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,14)△ABC的内角A,B,C的对边分别

为a,b,c,已知b-c=

a,2sinB=3sinC,则cosA的值为

.答案-

5.(2021浙江,14,6分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2

,则AC=

,cos∠MAC=

.答案

2

6.(2017天津文,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

asinA=4bsinB,ac=

(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析

(1)由asinA=4bsinB及

=

,得a=2b.由ac=

(a2-b2-c2)及余弦定理的推论,得cosA=

=

=-

.(2)由(1)可得sinA=

,代入asinA=4bsinB,得sinB=

=

.由(1)知,A为钝角,所以cosB=

=

.于是sin2B=2sinBcosB=

,cos2B=1-2sin2B=

,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=

×

-

×

=-

.7.(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满

足b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说

明理由.解析

(1)∵2sinC=3sinA,∴2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a

+1=5,c=a+2=6,∴cosA=

=

=

,∴sinA=

=

,∴S△ABC=

bcsinA=

×5×6×

=

.(2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,∴cosC=

<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,∴a∈(0,3).同时还应考虑构成△ABC的条件,即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形.考点二解三角形及其应用1.(2022广东深圳六校联考二,3)已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,

则根据条件解三角形时有两解的一组条件是(

)A.a=1,b=2,A=

B.a=2,b=1,A=

C.a=2,b=3,A=

D.a=4,b=3,A=

答案

C

2.(2023届长春六中月考,10)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若

sin(A+B)=sinA+sinB,cosC=

,且S△ABC=4,则c=(

)A.

B.4

C.

D.5答案

B

3.(2017课标Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB

+sinA·(sinC-cosC)=0,a=2,c=

,则C=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

4.(2021全国乙,理15,文15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

面积为

,B=60°,a2+c2=3ac,则b=

.答案

2

5.(2022全国甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,

AD=2,CD=2BD.当

取得最小值时,BD=

.答案

-16.(2020天津,16,14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2

,

b=5,c=

.(1)求角C的大小;(2)求sinA的值;(3)求sin

的值.解析

(1)在△ABC中,由余弦定理及a=2

,b=5,c=

,有cosC=

=

.又因为C∈(0,π),所以C=

.(2)在△ABC中,由正弦定理及C=

,a=2

,c=

,可得sinA=

=

.(3)由a<c及sinA=

,可得cosA=

=

,进而sin2A=2sinAcosA=

,cos2A=2cos2A-1=

.所以,sin

=sin2Acos

+cos2Asin

=

×

+

×

=

.7.(2023届湖北摸底联考,18)在平面四边形ABCD中,对角线AC与BD交于

点E,∠ABD=45°,AE=EC,DE=2BE,AB=6,AD=3

.(1)求AC的长;(2)求sin∠ADC的值.

解析

(1)在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD,因

为AB=6,AD=3

,∠ABD=45°,所以18=36+BD2-2×6×BD×cos45°,化简得BD2-6

BD+18=0,解得BD=3

,因为BD2+AD2=AB2,所以∠ADB=90°.又DE=2BE,所以DE=2

,所以AE2=DE2+AD2=(2

)2+(3

)2=26,则AE=

,又AE=EC,所以AC=2

.(2)由∠ADB=90°,AE=

,DE=2

,AD=3

,得sin∠EAD=

=

,cos∠EAD=

=

.在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠EAD=50,则CD=

5

.在△ACD中,由正弦定理,得

=

,则sin∠ADC=

=

.8.(2020新高考Ⅰ,17,10分)在①ac=

,②csinA=3,③c=

b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中

的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=

sinB,

C=

,

?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析方案一:选条件①.由C=

和余弦定理得

=

.由sinA=

sinB及正弦定理得a=

b.于是

=

,由此可得b=c.由①ac=

,解得a=

,b=c=1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=

和余弦定理得

=

.由sinA=

sinB及正弦定理得a=

b.于是

=

,由此可得b=c,B=C=

,A=

.由②csinA=3,得c=b=2

,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2

.方案三:选条件③.由C=

和余弦定理得

=

.由sinA=

sinB及正弦定理得a=

b.于是

=

,由此可得b=c.由③c=

b,与b=c矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.9.(2021新高考Ⅰ,19,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2

=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.解析

(1)证明:在△ABC中,由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理可得BD·b=

a·c,又b2=ac,所以BD·b=b2,故BD=b.(2)由AD=2DC得AD=

b,DC=

,在△ABD中,cosA=

=

=

,在△ABC中,cosA=

=

.故

=

,化简得3c2-11b2+6a2=0,又b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,所以c=3a或c=

a.当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=

a,此时a+b<c,故a,b,c构不成三角形;当c=

a时,b2=ac=

a2,所以b=

a,此时a,b,c可以构成三角形,故c=

a,b=

a,所以在△ABC中,cos∠ABC=

=

=

.10.(2022新高考Ⅱ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别

以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=

,sinB=

.(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=

,求b.解析

(1)由题意得S1=

a2,S2=

b2,S3=

c2,∴S1-S2+S3=

(a2-b2+c2)=

,即a2-b2+c2=2,由cosB=

得a2+c2-b2=2accosB,故2accosB=2,∴accosB=1,又∵sinB=

,∴cosB=

或cosB=-

(舍),∴ac=

,∴S△ABC=

acsinB=

×

×

=

.(2)由正弦定理

=

=

得

=

,又知ac=

,sinAsinC=

,∴

=

,∴

=

,∴b=

sinB=

×

=

.11.(2022全国乙理,17,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=

,求△ABC的周长.解析

(1)证明:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),得sinCsinAcosB-sinC·sinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,即sinCsinAcosB+sinBsinAcosC

=2sinBsinCcosA,由正弦定理可得accosB+abcosC=2bccosA,由余弦定

理的推论可得

(a2+c2-b2)+

(a2+b2-c2)=b2+c2-a2,即2a2=b2+c2.(2)由题意及余弦定理可得,b2+c2-a2=2bccosA=

bc=25,即2bc=31,又由(1)知b2+c2=2a2,所以(b+c)2=2bc+2a2=81,所以b+c=9,所以a+b+c=14,故△ABC的周长为14.12.(2022全国乙文,17,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)若A=2B,求C;(2)证明:2a2=b2+c2.解析

(1)∵A=2B,sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinCsinB=sinBsin(C-A),又0<B<π,∴sinB≠0,∴sinC=sin(C-A),又0<C<π,0<A<π,∴-π<C-A<π,∴C=C-A(舍)或C+C-A=π,∴A=2C-π,∴B=

=C-

,又A+B+C=π,∴2C-π+C-

+C=π,∴C=

.(2)证法一:∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),∴sinCsinAcosB+sinBsinAcosC=2sinBsinCcosA,∴sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA,∴sinA·sin(B+C)=2sinBsinCcosA,∴sin2A=2sinBsinCcosA,由正弦定理得a2=2bccosA,又由余弦定理得a2=b2+c2-a2,∴2a2=b2+c2.证法二:∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),由正弦定理得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,∴accosB=2bccosA-abcosC,由余弦定理的推论得ac·

=2bc·

-ab·

,化简得2a2=b2+c2.13.(2020北京,17,13分)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条

件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-

;条件②:cosA=

,cosB=

.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.解析若选条件①:(1)∵a+b=11,∴b=11-a,已知c=7,cosA=-

,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=(11-a)2+72-2×(11-a)×7×

,解得a=8.(2)∵cosA=-

,∴sinA=

=

.∵

=

,∴sinC=

=

.又∵b=11-a=11-8=3,∴S△ABC=

bcsinA=

×3×7×

=6

.若选条件②:(1)∵cosA=

,∴sinA=

=

.∵cosB=

,∴sinB=

=

.由

=

,得

=

,∴5a=6b,又∵a+b=11,∴a=6.(2)由(1)可得b=11-a=5.sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

×

+

×

=

,∴S△ABC=

absinC=

×6×5×

=

.14.(2022福建长汀一中月考,17)在①2acosC+c=2b,②bsin2A=asinB,③

(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面的横

线上,并加以解答.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的

面积为

,a=2且

.求A和△ABC的周长.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析选条件①:∵2acosC+c=2b,∴由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB,∴2sinAcosC+sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosA·sinC,∴sinC=2cosAsinC,∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴cosA=

,又∵A∈(0,π),∴A=

.∵△ABC的面积为

,∴S△ABC=

bcsinA=

,∴bc=

,又a=2,∴由cosA=

=

得b+c=2

,∴a+b+c=2+2

,即△ABC的周长为2+2

.选条件②:∵bsin2A=asinB,∴由正弦定理得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sinA≠0,sinB≠0,∴cosA=

,∴A=

.下同选条件①.选条件③:∵(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC,∴sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC,由正弦定理得b2+c2-a2=bc,∴cosA=

=

,又A∈(0,π),∴A=

.下同选条件①.15.(2022江苏南通重点中学测试,17)在△ABC中,3sinA=2sinB,tanC=

.(1)求cos2C;(2)若AC-BC=1,求△ABC的周长.解析

(1)∵tanC=

,∴cosC=

,∴cos2C=2×

-1=-

.(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.∵3sinA=2sinB,∴3a=2b,∵AC-BC=b-a=1,∴a=2,b=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×

=11,则c=

,故△ABC的周长为5+

.16.(2022石家庄二中月考,18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、

c,已知△ABC的面积为

.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解析

(1)由题设得

acsinB=

,即

csinB=

.由正弦定理得

sinCsinB=

,故sinBsinC=

.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-

,即cos(B+C)=-

.所以B+C=

,故A=

.由题设得

bcsinA=

,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

.故△ABC的周长为3+

.17.(2018课标Ⅰ理,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,

AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2

,求BC.解析

(1)在△ABD中,由正弦定理得

=

.由题设知,

=

,所以sin∠ADB=

.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=

=

.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=

.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2

×

=25.所以BC=5.综合篇考法一三角形形状的判断1.(2022江苏连云港检测,3)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a

=bcosC,则△ABC的形状为

(

)A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.不确定答案

B

2.(2022湖南怀化联考,5)在△ABC中,sinA=

,则△ABC一定是

(

)A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.以上都有可能答案

B

3.(2022江苏南通重点中学测试,6)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,若a2-a2cos2B+b2sin2A=2abcosAcosB,则△ABC的形状是

(

)A.锐角三角形

B.钝角三角形C.直角三角形

D.等腰三角形答案

C

4.(多选)(2022江苏苏州模拟,10)在△ABC中,

=c,

=a,

=b,下列命题为真命题的有

(

)A.若|a|>|b|,则sinA>sinBB.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形C.若a·b=0,则△ABC为直角三角形D.若(b+c-a)·(b+a-c)=0,则△ABC为直角三角形答案

ACD

5.(2022辽宁大连模拟,18)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别

为a、b、c,且a-b=c(cosB-cosA).(1)判断△ABC的形状并给出证明;(2)若a≠b,求sinA+sinB+sinC的取值范围.解析

(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形.证明如下:由a-b=c(cosB-

cosA)及正弦定理得sinA-sinB=sinC(cosB-cosA),即sin(B+C)-sin(A+C)=

sinC·(cosB-cosA),即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sin

CcosB-sinCcosA,整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sinB-sinA)=

0,故sinA=sinB或cosC=0,又A、B、C为△ABC的内角,所以a=b或C=

,因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形,A+B=

,C=

,故B=

-A,且A≠

,所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=

sin

+1,因为A∈

∪

,所以A+

∈

∪

,得sin

∈

,所以

sin

+1∈(2,

+1),因此sinA+sinB+sinC的取值范围为(2,

+1).考法二与三角形的最值、范围有关的问题考向一与三角形面积(最值、范围)有关的问题1.(2022广东深圳福田外国语高级中学调研,7)在古希腊数学家海伦的著

作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形

的面积.若三角形的三边长分别为a,b,c,则其面积S=

,其中p=

(a+b+c).现有一个三角形的边长a,b,c满足a+b=7,c=5,则此三角形面积的最大值为(

)A.17

B.

C.5

D.

答案

D

2.(2021山东烟台二模,18)从①sinA=cos

,②2acosA=bcosC+ccosB,③a-cosC+(2b+c)·cosA=0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出

解答.问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,

.(1)求A;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析若选①:(1)由sinA=cos

可得2sin

cos

=cos

,因为0<A<π,所以cos

≠0,故2sin

=1,即sin

=

,由0<

<

可知

=

,所以A=

.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.所以△ABC面积

的最大值为

bcsinA=

×4×

=

.若选②:(1)由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+cosBsinC,即2sinAcosA=sin(B+C).因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA.故2sinAcosA=sinA,解得cosA=

.因为0<A<π,所以A=

.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.所以△ABC面积

的最大值为

bcsinA=

×4×

=

.若选③:(1)由正弦定理得sinAcosC+(2sinB+sinC)·cosA=0,即2sinBcosA

+sin(A+C)=0.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB,可得2sinBcosA+sinB=

0,因为0<B<π,所以sinB>0,所以cosA=-

.因为0<A<π,所以A=

π.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=4-bc.因为b2+c2≥2bc,所以bc≤

,当且仅当b=c=

时“=”成立.所以△ABC面积的最大值为

bcsinA=

×

×

=

.3.(2023届沈阳四中月考,21)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且sin(2A+B)=sinB-sinA.(1)求C的大小;(2)若CD平分∠ACB交AB于D且CD=

,求△ABC面积的最小值.解析

(1)因为sin(2A+B)=sinB-sinA,所以sin(A+B+A)=sin(C+A)-sinA,故sin(π+A-C)=sin(C+A)-sinA,则sin(C-A)=sin(C+A)-sinA,sinCcosA-cosCsinA=sinCcosA+cosCsinA-sinA,2cosCsinA=sinA,由于0<A,C<π,所以sinA>0,所以cosC=

,则C为锐角,且C=

.(2)在△ACD中,由正弦定理得

=

,在△BCD中,由正弦定理得

=

,所以AD·sinA=BD·sinB,由正弦定理得

=

.在△ACD中,由余弦定理得AD2=b2+3-2

b·cos

=b2-3b+3,在△BCD中,由余弦定理得BD2=a2+3-2

a·cos

=a2-3a+3,所以

=

=

,整理得(a+b-ab)(a-b)=0,所以a=b或a+b=ab.当a=b时,△ABC是等边三角形,CD⊥AB,AD=BD=1,AB=AC=BC=2,所以S△ABC=

×2×2×sin

=

.当a+b=ab时,ab=a+b≥2

,

≥2,ab≥4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以S△ABC=

absinC≥

×4×

=

.综上所述,△ABC面积的最小值为

.考向二与三角形周长(最值、范围)有关的问题1.(2023届哈尔滨师大附中月考,7)在锐角三角形ABC中,若

sinB+cosB=2,且满足关系式

+

=

,则△ABC周长的最大值为

(

)A.

B.2

C.4

D.6

答案

D

2.(2023届辽宁六校期初考试,18)在①S=

(a2+b2-c2),②acosB+bcosA=2ccosC两个条件中任选一个,补充到下面问题中,并完成解答.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足

(填写序号即可).(1)求角C的大小;(2)若c=3,求△ABC周长的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析

(1)若选①,因为S=

(a2+b2-c2),所以

absinC=

·2abcosC,所以sinC=

cosC,所以tanC=

,因为0<C<π,所以C=

.若选②,因为acosB+bcosA=2ccosC,所以由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC,因为0<C<π,所以sinC≠0,所以cosC=

,所以C=

.(2)由余弦定理得9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3·

,所以a+b≤6,当且仅当a=b=3时等号成立,所以△ABC周长C△ABC=a+b+c=a+b+3≤6+3=9.因此△ABC周长的最大值

为9.3.(2020课标Ⅱ理,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.解析

(1)由正弦定理和已知得BC2-AC2-AB2=AC·AB①.由余弦定理得BC2

=AC2+AB2-2AC·ABcosA②.由①②得cosA=-

.因为0<A<π,所以A=

.(2)由正弦定理及(1)得

=

=

=2

,从而AC=2

sinB,AB=2 ·sin(π-A-B)=3cosB-

sinB.故BC+AC+AB=3+

sinB+3cosB=3+2

·sin

.又0<B<

,所以当B=

时,△ABC周长取得最大值3+2

.考向三与三角形边长(最值、范围)有关的问题1.(多选)(2022山东平邑一中开学考,10)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边

分别为a,b,c,且c-b=2bcosA,则下列结论正确的有

(

)A.A=2BB.B的取值范围为

C.

的取值范围为(

,2)D.

-

+2sinA的取值范围为

答案

AD

2.(2022新高考Ⅰ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

=

.(1)若C=

,求B;(2)求

的最小值.解析

(1)∵

=

=

,即

=

,∴cosAcosB-sinAsinB=sinB,即cos(A+B)=sinB,又C=

,∴sinB=cos(A+B)=-cosC=-cos

=

,∵0<B<

,∴B=

.(2)由(1)知,sinB=cos(A+B)=-cosC,∵sinB>0恒成立,∴C∈

,∵-cosC=sin

,∴C-

=B或B+C-

=π(不合题意,舍去),∴A=

-2B,∵A>0,∴B∈

,∴

=

=

=

,令cos2B=t,t∈

,∴

=

=4t+

-5≥4

-5,当且仅当4t=

,即t=

时,取“=”.∴

的最小值为4

-5.考法三解三角形的实际应用1.(2021山东潍坊一模,16)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的

先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半

径为10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,若按此方案设计,工艺制造厂发

现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时∠AOB=

.答案

2.(2020新高考Ⅰ,15,5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的

截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线

AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂

足为C,tan∠ODC=

,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为

cm2.

答案

3.(2023届江西百校联盟联考,21)江西某中学校园内有块扇形空地OPQ,经

测量其半径为60m,圆心角为

,学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD,初步设计方案1如图1所示.(1)取弧PQ的中点E,连接OE,设∠BOE=α,试用α表示方案1中矩形ABCD的

面积,并求其最大值;(2)你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积?若有,在图2中画

出来,并证明你的结论.

图1图2解析

(1)如图所示,设OE交AD于点M,交BC于点N,显然矩形ABCD关于

OE所在直线对称,点M、N分别为AD、BC的中点,∠BOE=α,0<α<

.在Rt△ONB中,BN=60sinα,ON=60cosα.OM=

=

DM=

CN=60

sinα,∴MN=ON-OM=60cosα-60

sinα,即AB=60cosα-60

sinα,又BC=2CN=120sinα,故矩形ABCD的面积S=AB·BC=3600(cosα-

sinα)·2sinα=3600(2sinαcosα-2

sin2α)=3600[sin2α-

(1-cos2α)]=3600(sin2α+

cos2α-

)=7200sin

-3600

.∵0<α<

,∴0<2α<

,∴

<2α+

<

.故当2α+

=

,即α=

时,S取得最大值3600(2-

),∴矩形ABCD面积的最大值为3600(2-

)m2.(2)如图所示,在半径OP上截取线段AB为矩形的一边,作矩形ABCD,设∠BOC=θ,0<θ<

,可得CB=60sinθ,OB=60cosθ,则OA=CBtan

=20

sinθ,故矩形ABCD的面积为S=(OB-OA)·CB=(60cosθ-20

sinθ)×60sinθ=3600

=1800

-600

=1200

-600

=1200

sin

-600

,由0<θ<

,可得

<2θ+

<

,∴当2θ+

=

,即θ=

时,S有最大值600

,即篮球场面积的最大值为600

m2,现将两种方案的最大值进行比较大小,∵3600(2-

)-600

=600(12-7

)<0,∴方案2的篮球场面积更大.一、单项选择题专题综合检测1.(2022广东深圳七中月考,4)若点M

在角α的终边上,则tan2α=

(

)A.

B.-

C.

D.-

答案

D

2.(2022海南中部六市县模拟,3)已知α∈

,tan

=

,则sin(π-α)=

(

)A.

B.

C.-

D.-

答案

A

3.(2022长沙明达中学入学考,8)△ABC中,角A、B、C的对边分别

为a、b、c,且a∶b∶c=2∶3∶4,则

等于

(

)A.

B.-

C.2

D.-2答案

C

4.(2022全国甲理,11,5分)设函数f(x)=sin

在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

5.(2012山东,7,5分)若θ∈

,sin2θ=

,则sinθ=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

6.(2022湖南岳阳平江一中月考,6)若α,β为锐角,且满足cosα=

,cos(α+β)=

,则sinβ的值为

(

)A.-

B.

C.

D.

答案

B

7.(2022湖北重点中学联考,4)设a=

cos4°-

sin4°,b=

,c=

,则a,b,c的大小关系正确的是

(

)A.c<b<a

B.a<b<cC.a<c<b

D.b<c<a答案

D

8.(2023届安徽江淮名校质量检测,6)已知函数f(x)=a(x+1)2023+b·

cos

+c,其中a,b,c为常数,若f(2022)+f(-2024)=c2+1,则c=(

)A.-1

B.0

C.1

D.2答案

C

9.(2023届沈阳四中月考,8)已知△ABC,I是其内心,内角A,B,C所对的边分

别为a,b,c,则

(

)A.

=

(

+

)B.

=

+

C.

=

+

D.

=

+

答案

C

10.(2023届沈阳四中月考,9)已知α、β∈[0,2π),a=(cosα,sinα),b=(cos(α+β),

sin(α+β)),且|2a-3b|=

,则β可能为(

)A.

B.

C.πD.

答案

BD

二、多项选择题11.(2023届哈尔滨师大附中月考,11)已知

≤α≤π,π≤β≤

,sin2α=

,cos(α+β)=-

,则

(

)A.cosα=-

B.sinα-cosα=

C.β-α=

D.cosαcosβ=-

答案

BC

12.(2022辽东南协作体期中,10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)

的部分图象如图所示,下列说法正确的是

(

)A.函数y=f(x)的图象关于点

对称B.函数y=f(x)的图象关于直线x=-

对称C.函数y=f(x)在

上单调递减D.该图象向右平移

个单位可得y=2sin2x的图象答案

ABD

13.(2022福建泉州质量监测二,11)将函数f(x)=cos2x的图象向左平移

个单位得到函数g(x)的图象,则

(

)A.函数f(x)·g(x)是奇函数B.函数f(x)·g(x)的图象关于直线x=-

对称C.函数f(x)-g(x)的最小正周期为

D.函数f(x)-g(x)在(0,π)上的单调递减区间是

答案

ABD

14.(2022重庆云阳江口中学期末,10)已知△ABC中,AB=1,AC=4,BC=

,E为AC中点.下列结论正确的是

(

)A.A=60°B.△ABC的面积为

C.BE=

D.P在△ABE的外接圆上,则PB+2PE的最大值为2

答案

ACD

15.(2022湖南郴州质量监测,13)已知α∈

,tan

=

,则cosα=

.答案-

三、填空题16.(2022辽宁滨城期中,14)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若

cosC=

,c=

,且

=

,则△ABC的面积等于

.答案

17.(2012山东,16,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的

初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当

圆滚动到圆心位于(2,1)时,

的坐标为

.

答案

(2-sin2,1-cos2)18.(2022辽东南协作体期中,17)已知函数f(x)=sin2x-

cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,

得到函数g(x)的图象.当x∈

时,求g(x)的值域.