专题13.9 轴对称章末十大题型总结（培优篇）（人教版）（原卷版）

专题13.9轴对称章末十大题型总结（培优篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用轴对称的性质求解】 1【题型2轴对称中的光线反射】 2【题型3等腰三角形中分类讨论】 4【题型4双垂直平分线求角度与周长】 5【题型5角平分线与垂直平分线综合运用】 6【题型6轴对称图形中的面积问题】 7【题型7轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】 8【题型8轴对称中的旋转】 10【题型9轴对称中规律探究】 12【题型10等边三角形的十字结合模型】 13【题型1利用轴对称的性质求解】【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，则△DBE的周长为cm．

【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知△ABC中∠B是钝角，以AC所在直线为对称轴作△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，则∠B的度数为．【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C'的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠C'＝°（2）如图1，当点C'落在四边形ABMD内时，设∠BMC'＝∠1，∠ADC'＝∠2，探索∠C'与（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠C'＝35°，∠BMC'＝53°，求∠AD

【题型2轴对称中的光线反射】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I，Ⅱ之间来回反射．若∠α=50°，∠β=60°，则∠γ等于(

)A．80° B．70° C．60° D．50°【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线NO垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．如图2，长方型球桌ABCD上有两个球P，Q．请你尝试解决台球碰撞问题：(1)请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反射后，撞到球Q．在图2中画出，并说明做法的合理性．(2)请你设计一路径，使得球P连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球Q，在图3中画出一种路径即可．【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有∠EDB=∠ADC．

(1)求证：BE=AC；(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，SΔACD=5，CH=2【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是【题型3等腰三角形中分类讨论】【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，则∠BCD为（

）

A．30° B．30°或60° C．50° D．30°或50°【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（

）A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB=．

【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为．

【题型4双垂直平分线求角度与周长】【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（

）

A．α B．4α3 C．180°-2α3【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（

）

A．α B．14α+90° C．12【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23

【题型5角平分线与垂直平分线综合运用】【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则

【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°

【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为【题型6轴对称图形中的面积问题】【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，DH⊥BA，交BA的延长线于点H．(1)若∠ADB=48°，求∠A的度数；(2)若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．

(1)求证：AE是∠DAB的平分线；(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D、E分别是边AC、BC上的点，连接BD，AE交于点O．

(1)如图1，BD⊥AE，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，求证：AO=CF；(2)如图2，点D是AC中点，连接DE，若∠ADB=∠CDE，求证：BD⊥AE；(3)如图3，过点C作CF⊥AE于点F，延长FC至点G，使得∠GAC=∠FCE，点B、O、D、G在同一直线上，若CF=145，AF=46【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1O

【题型7轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD．(1)请用直尺和圆规完成基本作图：作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴∠1=________．∵EF为AD的垂直平分线，∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，∠2+∠AOF+∠AFE=180°，∴∠AEF=________．∴AE=________，∴AE=DF．【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．

(1)求证：DB=DE；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长．【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．作法如下：①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；ii作图依据为______________（2）画一画，想一想：如图，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠【题型8轴对称中的旋转】【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段A-B-C中，BC可绕点B旋转，AB=6，BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长为（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图②，当∠CAE=15°时，此时BC∥DE.继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接

A．110° B．105° C．100° D．95°【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB的延长线于E，F，当点E在AC延长线上时，S△DEFA．S△DEF-S△CEF=12C．S△DEF+S△CEF=2S【题型9轴对称中规律探究】【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在△ABC中，AB=AC，DN⊥AB分别交AB，AC于点D，N，交BC的延长线于点M．(1)若∠A=50°，求∠NMB的大小；(2)如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；(4)将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1BA．a22020 B．a22019 C．【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空：，,,【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？（1）如图（1），已知∠AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠______=∠______=（2）如图（2），已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分∠AOB．理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=∠_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．拓展应用（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使