陕西省西安市长安区2023--2024学年上学期九年级数学期末复习试卷

2023-2024学年第一学期西安市长安区九年级数学期末复习试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，则的值是（

）A． B．2 C． D．2.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（

） B． C． D．3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．4.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（

）A. B. C. D.如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，其中不正确的是（

）A. B.C. D.6.已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为（）A.18 B.24 C.30 D.367.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（

）．A． B． C． D．若A、B、C三点都在函数的图象上，则的大小关系是（

）A. B. C. D.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（

）A．B．C． D．10．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是_______12.在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为m．如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则．14.若，则由表中的信息可知与之间的函数关系式是_______________．-10118315.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论：①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S四边形BEGF＝；④BE＝2OG；⑤四边形AEFG是菱形．其中正确的结论有．三、解答题（本大题共9小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．解方程：(1)；(2)．17.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．求证：△ACD∽△ABC．18.如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．19.实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．（1）画出绕点顺时针旋转后的；（2）点是的中点，在（1）的条件下，的对应点的坐标为______．（3）以点为位似中心，相似比为，在轴的上方画出放大后的．20.某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．21．某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？22.已知反比例函数上的图象与一次函数的图象交于点和点．（1）求的函数关系式；（2）观察图象，直接写出使得成立的自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求的面积．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；24.【发现问题】如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．(2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；②图2中的度数是______．(3)【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．2023-2024学年第一学期西安市长安区九年级数学期末复习试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，则的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】将变形为，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，故C正确．故选：C．2.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（

） B． C． D．【答案】C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为：，即．故选：C．3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：且，故选：C．4.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．【详解】解：根据题意，画树状图如下：一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，，故选：B．如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，其中不正确的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC时，则＝，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、当AB•BC＝AC•BP时，则＝，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．6.已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为（）A.18 B.24 C.30 D.36【答案】A【解析】【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，再利用菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可得到答案．【详解】解：∵，的长度是方程的两个实数根，∴，∴菱形的面积．故选：A7.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和图形，可以得到AC、BC和AB的长，然后根据等面积法可以求得CD的长，从而可以得到的值．【详解】解：作CD⊥AB，交AB于点D，由图可得，AC＝，BC＝2，AB＝，∵，∴，解得，CD＝，∴sin∠BAC＝，故选：D．8.若A、B、C三点都在函数的图象上，则的大小关系是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数可得函数在第二，四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，可得，，即可判断出、、的大小关系．【详解】解：∵函数，，∴函数的图像在第二，四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∴、在第二象限，∵，∴，∵在第四象限，∴，综上所述，、、的大小关系是．故选：C．9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0．∵对称轴经过x的负半轴，∴a，b同号．∵图象经过y轴的正半轴，则c＞0．∵函数的a＜0，∴图象经过二、四象限．∵y=bx+c的b＜0，c＞0，∴图象经过一、二、四象限．故选B．10．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点∴>0∴，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，∴由图象得，当时，，∴∴，故③正确；④当时，的值最大，∴当时，>，∴（），∵b＞0，∴（），故④正确；⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是________【答案】18个【分析】根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．【详解】解：由题意可得，盒子中白色球的有：（个），故答案为：18个12.在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为m．【答案】12【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.【详解】设旗杆的高度为xm,∵∴故答案为1213.如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则．【答案】【分析】应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．【详解】解：如图，设直线与轴交于点，由反比例函数比例系数的几何意义可知，，，∵，∴，解：．故答案为：．14.若，则由表中的信息可知与之间的函数关系式是_______________．-101183【答案】【解析】【分析】利用待定系数法即可求二次函数关系式．【详解】解：把，代入得：，解得：，所以抛物线解析式为．故答案为．15.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论：①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S四边形BEGF＝；④BE＝2OG；⑤四边形AEFG是菱形．其中正确的结论有．【答案】①③④⑤【分析】根据折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，则∠ADG＝∠GDF＝22.5°，故①正确；设AE＝x，则EF＝x，BE＝x，则AD＝AB＝（1＋）x，可判断②错误；用x表示出BE和OG的长，即可判断④正确；因为S△GDF＝DF×OG，S△BED＝BE×AD，可得出S△BED＝2S△GDF，即可判断③正确；因为AE＝AG，且AG＝FG，AE＝FE，则有AE＝AG＝FE＝FG，则可判断⑤正确．【详解】解：∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，∴∠ADG＝∠GDF＝22.5°，故①正确；设AE＝x，则EF＝x，BE＝x，∴AD＝AB＝（1＋）x，∴tan∠AED＝＝1＋，故②错误；，，，∵∠DAG＝45°，∴∠AGE＝∠AEG＝67.5°，∴AE＝AG，且AG＝FG，AE＝FE，∴AE＝AG＝FE＝FG，∴四边形AEFG是菱形，故⑤正确；四边形AEFG是菱形，，，，故④正确；∵S△GDF＝DF×OG，S△BED＝BE×AD，且AD＝DF，BE＝2OG，∴S△BED＝2S△GDF，∴S四边形BEGF＝S△GDF，故③正确；故答案为：①③④⑤．三、解答题（本大题共9小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原方程根据公式法求解即可；（2）原方程利用分解因式法求解．【详解】（1）方程中，，∴，∴，∴；（2）原方程可变形为，∴或，解得．17.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．求证：△ACD∽△ABC．【答案】见解析【解析】【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．【详解】证明：AD＝1，AB＝3，AC＝，又∽【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．18.如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm(2)点A到直线的距离约为21.5cm【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N由题意可知，，在中，，∴．答：点C到直线的距离约为．（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，∴在中，，，∴，∴．答：点A到直线的距离约为21.5cm．19.实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．（1）画出绕点顺时针旋转后的；（2）点是的中点，在（1）的条件下，的对应点的坐标为______．（3）以点为位似中心，相似比为，在轴的上方画出放大后的．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可．（3）根据位似的性质作图即可．【小问1详解】解：如图，即为所求．【小问2详解】解：∵点是的中点，点是的中点，，，点的坐标为故答案为：【小问3详解】解：如图，即为所求．20.某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题；（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；（2）喜爱“体育”的人数为（名，补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；（4）列表如下：甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y＝﹣10x+1000(2)销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（40，600），（80，200）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；（2）由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝70时，W有最大值为9000，答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．22.已知反比例函数上的图象与一次函数的图象交于点和点．（1）求的函数关系式；（2）观察图象，直接写出使得成立的自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求的面积．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B的坐标，然后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）利用图象法求解即可；（3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点C的坐标，进而求出，再根据进行求解即可．【小问1详解】解：把点代入反比例函数中得：，，∴，∴，把代入中得：，∴，∴，把，代入中得：，∴，∴；【小问2详解】解：由函数图象可知，当或时，；【小问3详解】解：∵点C与点A关于x轴对称，∴点C的坐标为，∴，∴．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于