广东省广州重点学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含答案）

广州重点学校2023—2024学年（上）12月质量检测高二年级数学试题注意：1.考试时间为150分钟、满分为150分。2.试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分。3.选择题答案必须用2B铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在问卷指定位置作答注意事项：一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列满足，，则（）A. B. C.2 D.12.如图，在四面体中，是的中点.设，，，用，，表示，则（）A. B.C. D.3.三角形的三个顶点为，，，则的中线的长为（）A.3 B.5 C.9 D.254.等差数列的前项和为，若，，则等于（）A.12 B.8 C.20 D.165.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A.4 B.3 C.5 D.6.已知圆：，直线：，直线被圆截得的弦长最短时，实数的值为（）A. B. C.1 D.7.椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（）A. B.9 C. D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（）A.恒过点 B.若，则C.若，则或 D若不经过第三象限，则10.已知为等差数列，，则（）A.的公差为 B.的通项公式为C.的前项和为 D.的前50项和为256511.如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（）A.与是异面直线B.与所成角的大小为C.与平面所成角的正弦值为D.二面角的余弦值为12.抛物线：的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（）A.抛物线的方程为B.的最小值为4C.当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切D.存在直线，使得，两点关于对称第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，，则______.14.已知，，则过的中点且倾斜角为120°，直线的点斜式方程是______.15.设双曲线：的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______.16.已知为不超过的最大整数，例如，，，设等差数列的前项和为，且，记，则数列的前100项和为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18.已知圆过点，.（1）求线段的垂直平分线所在的直线方程；（2）若圆的圆心在直线上，求圆的方程.19.已知抛物线：上的点到焦点的距离为6.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线方程.20.已知数列是等差数列，其前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求，并求出的最小值；（3），求数列的前项和.21.如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，平面，，点在线段上，且，.（1）求实数的值；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点是直线上的动点，求面积的最小值，并说明此时点的位置.22.已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.12月月考数学参考答案1.A由题意，数列满足，，可得，，，，…，所以数列构成以3项为周期的周期数列，则.故选：A.2.D由是的中点，可知，所以3.B设边的中点为，则点坐标为，即，故的中线的长为，故选：B4.D因为等差数列的前项和为，则、、为等差数列，其公差为，因此，.故答案为：16.5.B双曲线中，，，且焦点在轴上，所以渐近线方程为，即，由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，不妨求点到的距离，得.故选：B.6.B因为直线：，方程可化为，令，解得，故直线过定点，且在圆：内，又，故当直线被圆截得的弦长最短时，有，则，解得，故选：B.7.D设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是，，易得，，∴，∴，∴8.C如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得：，，，，，，，设平面的法向量，则，得解得：，，，即.由于直线与平面平行，则，得：，即：，，.，，可知，由于，当时，取得最小值，最小值为，故选C9.ACA选项，，即，解得，所以直线过定点，故选项A正确；B选项：若，则，解得，当时，：，：，两直线重合，舍去；当时，：，：，两直线平行，符合题意.所以，故选项B错误；C选项：若，则，解得或者，故选项C正确；D选项：当时，直线：不过第三象限，满足题意；当时，直线：不过第三象限，则，解得，综上，故选项D错误；故选：AC.10.BCD设该等差数列的公差为，因为，所以由，所以选项A不正确，由，所以，所以选项B正确；的前项和为，所以选项C正解：设的前50项和为，由，所以，因此选项D正解11.对A，因为在平面外，在平面内，在平面内，所以与是异面直线，故A正确；对B，由中点知，，又，所以，即为与所成的角，在等边中，，故B错误；以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体长为2，，，，，，由解意可知，平面的法向量可取，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为，故C错误；又，，设平面的法向量为，则令，得，设平面的法向量，则，令，可得，则，又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正解.故选：AD.12.BCD对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误；对于B：由，故，则，故B正确；对于C：当直线过焦点时，设为，则，故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为，有圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确；对于D：设存在该直线，则与直线垂直，则该直线的斜率，即可设该直线为，、分别设为、，由，消去可得，，则，即，有，，故，，则弦的中点在直线上，即有，解得，故存在直线，使得，两点关于对称，故D正确.故选：BCD.13.因为，，，所以.故答案为：.14.设的中点为，则，又斜率，所以直线的点斜式方程为.故答案为：15.设直线与圆的切点为，则，，由，得，过点作于点，则，由为的中点，得，，因为，为锐角，所以，有，得，所以，由双曲线的定义知，，即，解得，又，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：16.480由题意得，所以，，所以.所以公差，所以，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以数列的前100项和为.故答案为：480.17.【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，因为，所以，又，所以公差，所以.（2）由（1）知，，所以.18.（1）；（2）.（1）∵线段的斜率，∴的垂直平分线的斜率，∵中点，即为点，∴的垂直平分线的方程为，整理得.（2）∵圆心一定在的垂直平分线上，又在直线上，联立直线，解出，即圆心，，∴圆的方程为.19.（1）（2）（1）由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：可得，故：（2）由题设，直线的斜率存在且不为0，设联立方程，得，整理得，则.又是线段的中点，∴，即，故：20.（1）（2），的最小值为（3）（1）设等差数列的公差为，由已知条件得，解得，所以数列的通项公式；（2）由（1）知.所以当时，取最小值；（3）令，得，所以当时，，则，故，当时，，则，所以.21.（1）1；（2）；（3），在的延长线上且.（1）∵平面，平面，∴，∴∴；（2）在中，，∵，，∴，∴，∴，∴∵四边形是平行四边形，∴，选中点，则，∵，∴，∴，，两两垂直，∴以，，为，，轴建立直角坐标系，则，∵为边上的高，，∴，，∵，∴为中点，∴，∴，，，设平面的法向量为，∴，∴，取，设平面的法向量为，∴，，∴，取，∴，，∴，∴平面与平面夹角余弦值为；（3）设∴，，，∴，∴∵∴当时，面积取最小值为，此时，在的延长线上且，即为的中点.22