2023年广东省佛山市南海区儒林初级中学数学中考一模试卷含详解

2023年广东省佛山市南海区儒林初级中学中考数学一模试卷

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1.2023的倒数是（）

2.用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（）

2

3.如图，在中，ZC=90°.若sinA=—,BC=4,则A3的长为（）

3

B

A.2B.2小C.2713D.6

4.下列运算正确的是（）

AV25=±5B.V04=0.2

C-（T）=TD.（一3租〃）~=-6m2n2

5.在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准,若小东跳出了4.22米，可记作+0.22,那么小东跳出了3.85米，记

作（）

A.-0.15B.+0.22C.+0.15D.-0.22

6.如图，点A,B,C都在。上，连接AB，BC,AC,OA,OB,/朋0=20°,MZACB大小是

（）

A.90°B.70°C.60°D.40°

7.某校九年级1班10名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：88,90,75,88,90,91,92,100,80,88

则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）

A.88,90B.3,90.5C.90,89D.88,898.已知关于x的一元二次方程(a-2)f-2x+l=0有两个不

相等的实数根，则〃的取值范围是（）

A.a<3B.a>3C.av3且aw2D,a<—3

9.如图，和一。即是以点。为位似中心的位似图形，OA:AD=2:3,二ABC的周长为8,则八。七尸的

周长为（）

A.12B.18C.20D.50

10.二次函数y=以2+Z?x+c（a,b,c为常数，。<0）中，x与y部分对应值如表:

X03

yn2n

对于下列结论：①6>0；②2是方程以2+加+c=2的一个根；③当x>0时，y随工的增大而减小；④若

机>0,且点A（办％）,6（m+2,%）在该二次函数的图像上，则%>当；⑤对于任意实数〃，都有

an2+bn<-a-其中正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④D.②③④⑤

二、填空题：（每小题3分，共15分）

11.六边形的外角和等于

355

12.祖冲之发现的圆周率的分数近似值二x3.1415929,称为密率，比〃的值只大0.0000003,0.0000003这

113

个数用科学记数法可表示为.

13.因式分解：3f—12y2=.

14.己知：点A（—2,yJ,8（2,%），C（3,%）都在反比例函数y=£图象上（2>0），用表示/、当、

力的大小关系是.

15.如图，将边长为1正方形A8CD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFC的位置，则图中阴影部分的面积为

三、解答题：（每题8分，共24分）

16.先化简，再求值：（a-幺生亘）,其中a=；,b=l.

aa2

17.如图，4c与3。交于点O，OA=OD,ZABO=ZDCO,E为8C延长线上一点，过点E作EfCD,

交的延长线于点E

(1)求证zMO的△DOC；

(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF长.

18.如图，在Rt/kABC中，ZC=90°,ZA=30°.

（1）尺规作图：作NB的平分线8。交AC于点£＞；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若QC=2,求AC的长.

四、解答题：（每题9分，共27分）

19.我区某校想知道学生对“老瀛山”，“古剑山”，“东溪古镇”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生

进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A.不知道：B.了解较少；C.了解较

多；十分了解.将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问

（1）本次调查了多少名学生？

（2）根据调查信息补全条形统计图；

（3）该校共有800名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？

（4）在被调查“十分了解''的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名女生，学校想从这四名同

学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女

的概率.

20.2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用6000元购进A、8两种世界杯吉

祥物共110个，且用于购买A种吉祥物与购买B吉祥物的费用相同，且A种吉祥物的单价是B种吉祥物的1.2倍.

（1）求A、8两种吉祥物的单价各是多少元？

（2）世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过16800元的资金再次购进A、8两种吉祥物

共300个，已知A、B两种吉祥物的进价不变.求A种吉祥物最多能购进多少个？

21.如图，A3是的直径，弦CDLAB于点E,点尸在上，■与交于点G,点”在。c的延长

线上，且HE是。的切线，延长"F交的延长线于点M.

4

（2）连接防，若sinM=§,BM=2,求3尸的长.

五、解答题：（每题12分，共24分）

22.（1）如图1,将直角三角板的直角顶点放在正方形ABC。上，使直角顶点与。重合，三角板的一边交A8于

点P,另一边交BC的延长线于点Q.则。PDQ（填或“=”）；

（2）将（1）中“正方形ABC。”改成“矩形ABC。"，且AO=2,8=4,其他条件不变.

①如图2,若PQ=5,求AP长.②如图3,若2。平分/POQ.则。尸的长为.

23.如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点4(3,0)和点B(-1,O),交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式;

DN

(2)。是直线AC上方抛物线上一动点，连接。。交AC于点N,当——的值最大时，求点。的坐标；

ON

(3)P为抛物线上一点，连接CP,过点P作PQLCP交抛物线对称轴于点Q,当tan/PCQ=2时，请直接

写出点P的横坐标.

2023年广东省佛山市南海区儒林初级中学中考数学一模试卷

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1.2023的倒数是（）

11

A.-2023B.3202C.----------D.------

20232023

【答案】D

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

【详解】解：互为倒数的两个数乘积为1,

2023倒数是」一，

2023

故选：D.

【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键，需注意倒数不改变数的正负.

2.用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：C

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样

的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键.

3.如图，在RtZsACB中，ZC=90°.若sinA=2,BC=4,则AB的长为（）

3

【答案】D

【分析】利用锐角三角函数定义列式得出答案.

【详解】解：sinA=2,BC=4,

3

...BC42

..sinA=-----=------=—,

ABAB3

:.AB=6，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了利用正弦三角函数进行计算，掌握正弦三角函数定义是解题关键.

4.下列运算正确的是（）

A.725=±5B.704=0.2

C.（-1）'=-1D.=-6m2n2

【答案】C

【分析】根据整数指数嘉和算术平方根的运算法则正确计算即可.

【详解】解：＞/25=5，

故A不符合题意；

而=誓,

故B不符合题意；

（一1/=一1,

故C符合题意；

（-3/W/?）'=9裙"2，

故D不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了整数指数寻，算术平方根的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

5.在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作+0.22,那么小东跳出了3.85米，记

作（）

A.-0.15B.+0.22C.+0.15D.-0.22

【答案】A

【分析】根据“具有相反意义的量的表示方法”进行分析判断即可.【详解】解：；跳远比赛中，以4.00米为标准,

小东跳出了4.22米,记做+0.22米，

...小东跳出3.85米应记作：-0.15X.

故选A.

【点睛】本题考查正负数的实际意义，熟悉：“具有相反意义的量的表示方法：在具有相反意义的两个量中，若

一个量用正数表示，则另一个量用负数表示”是解答本题的关键.

6.如图，点A,B,C都在oO上，连接AB，BC,AC,OA,OB,N84O=20°,则/ACB的大小是

()

A.90°B.70°C.60°D.40°

【答案】B

【分析】根据题意可知.AOB是等腰三角形，N84O=20。，可得出NAO8的度数，根据同弧所对的圆周角是圆

心角的一半即可得出答案.

【详解】解：•••AO=OB,

是等腰三角形，

•••440=20。，

ZOBA=20°,即ZAOB=140°,

■:ZAOB=2ZACB,

：.ZACB=J0°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解

题的关键.

7.某校九年级1班10名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：88,90,75,88,90,91,92,100,80,88

则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）

A.88,90B.3,90.5C.90,89D.88,89

【答案】D

【分析】根据众数、中位数的概念进行解答即可.【详解】这个班学生成绩的众数是：88,

中位数；75,80,88,88,88,90,90,91,92,100,

生丝89,

2

故选：D.

【点睛】此题考查了众数、中位数的概念，解题的关键是熟悉众数、中位数的概念.

8.己知关于x的一元二次方程（a-2）d-2x+l=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是（）

A.a<3B.a>3C.av3且aw2D.a<-3

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于。的一元一次不等式组，解之即可得出结论.

【详解】解：关于X的一元二次方程(a—2)f—2x+l=0有两个不相等的实数根，

。―2w0

"A=(-2)2-4(a-2)>0'

解得：。<3且。。2,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方

程的定义结合根的判别式列出关于。的一元一次不等式组是解题的关键.

9.如图，.ABC和J死产是以点。为位似中心的位似图形，Q4:AT>=2:3,qABC的周长为8,则J)砂的

周长为()

A.12B.18C.20D.50

【答案】C

【分析】根据位似图形的性质，得到OAC^OFD,根据Q4:AD=2:3得到相似比为：

OA_OAOA_2

而=04+)0=»3»=g,再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案.

Cz/1H—CZri

2

【详解】解：和石厂是以点。为位似中心的位似图形，.・.OACsOFD,

.CA_OA

'~FD~~OD'

OA\AD=2:3,

CAOAOAOA2

‘.而=而=丽花=嬴线7'

2

.CABC__2

•・C^~FD~5f

CABC=8,

•r-

,,JDEF_'

故选：c.

【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键.

10.二次函数y=公2+/zx+c（a,b,c为常数，a<0）中，x与y的部分对应值如表：

X-i03

yn2n

对于下列结论：①b>0；②2是方程办2+笈+c=2的一个根；③当x>0时，y随x的增大而减小；④若

机>0,且点A（m，X）,6（m+2,%）在该二次函数的图像上，则%>当；⑤对于任意实数〃，都有

.其中正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④D.②③④⑤

【答案】B

【分析】根据表格信息求出二次函数的对称轴，已知。<0,就可判断b的正负；根据函数的对称性，分析出（2,2）

也在该二次函数上，所以②正确；对称轴x=l,根据函数的增减性判断，0<x<l时，y随x的增大而增大，当

x>l时，y随x的增大而减小；根据函数的增减性即可判断出④正确；根据对称轴，求出x=l时，该函数取得最大

值，即可推出最后结论.

【详解】解：，二次函数y=a/+bx+cQ,b,c为常数，。<0）,

.•.该函数图像开口向下，

由表格可知，对称轴为直线％=二巨0=1,

2

.">（）,故①正确，符合题意；点（0,2）在二次函数丁=双2+法+。的图像上，

（2,2）点也在二次函数、=依2+hx+c的图像上，

.•.2是方程以2+^+c=2的一个根，故②正确，符合题意；

当0<x<l时，y随x的增大而增大，当x>l时，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意：

若加>0,且点A（m,y）,8（加+2,乂）在该二次函数的图像上，则%>当，故④正确，符合题意:

•••对称轴为直线x=二9=1,

2

2a

b=-2。，

av0,

・•・当x=l时，该函数取得最大值，

・•・对于任意实数〃，都有cur+hn+c<a+h+c

即an1+bn<a+b，

an2+bn<a+（-2«）,

/.an2+bn<-a>故⑤正确，符合题意.

故选:B.

【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据已知条件求出对称轴，判断在其对应定义域内的增减性是解答本题

的关键.

二、填空题：（每小题3分，共15分）

11.六边形的外角和等于°.

【答案】360

【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案.

【详解】六边形的外角和等于360度.

故答案为360.

【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360。是正确判断的前提.

355

12.祖冲之发现的圆周率的分数近似值——«3.1415929,称为密率，比乃的值只大0.00（XXX）3,0.（XXX）003这

113

个数用科学记数法可表示为.

【答案】3xl0-7

【分析】科学计数法表示为ax10"的形式，原数的绝对值小于1,〃的值为负数，原数变成a小数点移动了7位所

以”的值为-7,即可确定答案.

【详解】解：0.0000003=3?10-7.

故答案为：3x10〃.

【点睛】本题考查了科学计数法，确定小数点移动的位数是解答本题的关键.

13.因式分解：3f—i2>2=.

【答案】3（x+2y）（x—2y）

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式求解即可.

【详解】解：-12y2=3（%+2）乂%-2y）

故答案为：3（x+2y）（x—2y）

【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握提公因式法和公式法.

14.已知：点A（—2,y）,8（2,%），C（3,%）都在反比例函数y=g图象上（％>0），用表示）；、必、

力的大小关系是.

【答案】M<>3<必

【分析】由%>0,可知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即

可.

【详解】解：•.•反比例函数y=V中，k>Q,

x

・•・函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

•.-2<0,

二点4(—2,%)位于第三象限，

X<o,

0<2<3,

.•.点5(2,%)，。(3,%)位于第一象限，

%>%>°，，M<%<%，

故答案为：y<为<必•

【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

15.如图，将边长为1的正方形A8CO绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFC的位置，则图中阴影部分的面积

为.

【答案】2

12

【分析】过点M作于点H,利用正方形的性质和旋转的性质可证得4ADE为等边三角形，由等腰三

角形的判定可得4MDE为等腰三角形，继而求得。H=£〃=’,然后设=则。M=2x,根据勾股定理

2

列方程求解可得=正，进而由三角形面积公式即可求解.

6

【详解】如图，过点M作MH工DE于点H,

•.•四边形A8C。为正方形，

•••AB=AD=1,ZB=ABAD=ZADC=90°,

正方形ABCD绕点、A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置,

/.AE=AB=\,ZBAE=3O°,NA£尸=NB=90°

ZDA£=60°

...△ADE为等边三角形，

/.ZAED=ZADE=60°,Z)E=AD=1

/.ZMED=ZMDE=30°，

.,.△MDE为等腰三角形，

DH=EH=-.

2

在Rt_MDH中,设=则DW=2x,

(2x)2=x?+：解得：否=1巨，x-(舍去)，

4'6-6

・・MH=—，

6

：•S/WDE=]xDExMH.

_11V3_V3

2612

故答案为：

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形判定与性质，解直角三角形，利用等边三角形和等

腰三角形的性质求出OH=E"=’，NMED=ZMDE=30。是解题的关键.

2

三、解答题：（每题8分，共24分）

16.先化简，再求值：（a-2ab二吆一3心，其中a=；,b=l.

aa/

【答案】原式=a-b=-g.

【分析】先把小括号内的式子通分后分子分母分解因式，再把除法运算转化为乘法运算，约分化为最简后代入数值

计算即可.

2

【详解】（a-2ab-b）:空也

aa

_a2-2ab+b2a

―----------------

aa-b

_（a-b产a

-------------

aa-b

=a-b,

当a=1,b=l时,原式卷-1=-2".

【点睛】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意1

可以写出分子与分母相同的数.17.如图，AC与BD交于点O,OA=OD,ZABO=/DCO,E为8c延长

线上一点，过点E作EFCD,交8。的延长线于点用

（1）求证△AO的△DOC；

(2)若A5=2,BC=3,CE=1,求EE的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【分析】（1）利用对顶角相等和已知条件直接可以证明AAOB且/XOOClAAS）；

(2)由ZVIO的双%心得到A6=OC=2,由8C=3,CE=1得BE=4,再证明.BCDsBEF,得到

—,代入已知线段长度即可得到EF的长

EFBE

小问1详解】

证明：在和△DOC中,

ZABO=NDCO

ZAOB=NDOC,

OA=OD

：.AAQ的△OOC(AAS)；

【小问2详解】

解：由（1）得：AAO的△DOC,

AB=DC=2,

VBC=3,CE=1,

BE=BC+CE=4,

'：EFCD,

：.BCDSJ.BEF,

.DCBC

••=f

EFBE

238

即——=巳，解得：EF=~.

EF43

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是

解题的关键.

18.如图，在RtaABC中，NC=90°,NA=30°.

（1）尺规作图：作的平分线BO交AC于点。；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若。C=2,求AC长.

【答案】（1）如图射线8。即为所求；见解析；（2）AC=6.

【分析】（1）利用尺规作出NABC的平分线交AC于点D；

（2）只要证明BD=AD,求出BD即可解决问题.

【详解】（1）如图射线BD即为所求；

.,.ZABC=60°,

；BD平分/ABC,

/A=/ABD=NDBC=30。,

；.BD=2CD=4,

；.AD=4,

AC=AD+CD=4+2=6.

【点睛】本题考查基本作图，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识，属于中考常考题型.

四、解答题：（每题9分，共27分）

19.我区某校想知道学生对“老瀛山”，“古剑山”，“东溪古镇”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生

进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：4.不知道；&了解较少；C.了解较

多；D.十分了解.将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问

ABCD选项

（1）本次调查了多少名学生？

（2）根据调查信息补全条形统计图；

（3）该校共有800名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？

（4）在被调查“十分了解'’的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名女生，学校想从这四名同

学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女

的概率.

【答案】（1）100名学生

（2）见解析（3）160名

2

（4）见解析，|

【分析】（1）用C选项的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；

（2）先求出B选项学生人数，再补全统计图即可；

（3）用800乘以样本中D选项的人数占比即可得到答案；

（4）画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好是一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即

可.

【小问1详解】

解：30+30%=100（名）.

答：本次调查了100名学生.

【小问2详解】

解：由题意得B选项的学生人数为100-10-30-20=40名，

补全统计图如下所示:【小问3详解】

20

解：800x—=160（名）.

100

...估计该校“十分了解”的学生共约有160名;

小问4详解】

如图

开始

男生女生女生男生女生女生男生男生女生男生男生男生

由列表可得共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中一男一女的有8种结果.

•P82

•,小

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正

确读懂统计图是解题的关键.

20.2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用6000元购进A、8两种世界杯吉

祥物共110个，且用于购买A种吉祥物与购买B吉祥物的费用相同，且A种吉祥物的单价是B种吉祥物的1.2倍.

（1）求A、8两种吉祥物的单价各是多少元？

（2）世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过16800元的资金再次购进A、8两种吉祥物

共300个，已知A、B两种吉祥物的进价不变.求A种吉祥物最多能购进多少个？

【答案】（1）A种吉祥物的单价是60元，B种吉祥物的单价是50元

（2）A种吉祥物最多能购进180个

【分析】（1）设B种吉祥物的单价是X元，则A种吉祥物的单价是L2x元，列出分式方程即可求解；

（2）设A种吉祥物最多能购进加个，则此时B种吉祥物能购进（300-加）个，且，〃为整数，根据题意列出不等式,

解不等式即可作答.

【小问1详解】

6000x16000x1

设8种吉祥物的单价是X元，则A种吉祥物的单价是L2x元，根据题意，有:------2-+------2.=110'

X1.2%

解得：x=50,

经检验，x=50是原方程的根,

1.2x=60（元），

答：B种吉祥物的单价是50元，A种吉祥物的单价是60元；

【小问2详解】

设A种吉祥物最多能购进加个，则此时8种吉祥物能购进（300一加）个，且用为整数，

根据题意，有：60m+50x（3OO-/W）＜16800,

解得：m＜180,

即：A种吉祥物最多能购进180个.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式的应用，明确题意，列出相应的分式方程和不等式是解答本

题的关键.

21.如图，AB是।。的直径，弦C£＞，A」B于点E,点尸在OO上，A77与CO交于点G,点”在QC的延长

线上，且用'是。。的切线，延长aF交的延长线于点M.

(1)求证：HG=HF；

4

(2)连接卸7,若sinM=y,BM=2,求所的长.

【答案】（1）证明见解析

力8V10

5

【分析】（1）连接在，根据切线性质得出N”R9=90°=NOR+N"RG,根据余角的性质证明

/HFG=ZAGE,根据对顶角相等得出NAG£=N"GF\求出NHFG=NHGF,即可证明结论；

BFFM4OF4OF4

（2）连接班\证明工得出---=-----,根据sinAf=—得出-----=—,即-------=—,求

AFAM5OM5OB+25

出09=8,得出OM=10,AM=18,AB=16,根据勾股定理求出版=而庐二3尸=6,证明班"::4尸，

最后根据勾股定理求出结果即可.【小问1详解】

证明：连接。尸，如图所示：

ZA=ZOFA,

■:CD1AB,

：.ZAEG=9Q°,

：.ZA+ZAG£=90°,

,/"口是＜。的切线，

：.OF±HM,

:.AHFO=90。=AOFA+ZHFG,

：.NHFG=ZAGE,

'：ZAGE=NHGF,

：.ZHFG^ZHGF,

：.HF=HG；

【小问2详解】

解：连接施，如图所示：

由（1）得，ZOFM=90°,

/BFO+NBFM=骄,

：AB是。。的直径，

ZAFB=90°,

：.ZA+ZABF=90°,

'：OB=OF,：.ZABF=ABFO,

ZBFM=ZA，

'：ZM=ZM,

，.BFMs..FAM，

.BF_FM

,“4

VsinA7=—,

5

.OF4

••=,

OM5

,:BM=2,OB=OF,

.OFA

••----=一，

OB+25

OF—8，

OM=10,AM=18,AB=16,

:・FM^OM=OF?=6,

.BFFM1

**AF-7M-3?

・・・BF=-AF

39

AF2+BF2=AB2

（iy

AAF2+-AF=162.

（3J

...从尸=生叵（负值舍去），

5

•叩sVio

••Dr=---------

5

【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，三角函数的应

用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明cMWs二E4M.

五、解答题：（每题12分，共24分）

22.（1）如图1,将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与。重合，三角板的一边交AB于

点尸，另一边交8c的延长线于点Q.则OPDQ（填或“="）；

（2）将（1）中“正方形A8CD”改成“矩形A8CZT,且AO=2,8=4,其他条件不变.

①如图2,若尸。=5,求AP长.

②如图3,若BD平分NPDQ.则。P的长

【分析】(1)先证明△AOP0△CQQ,即可求解：

-APAD21

(2)①先证明△AOPs^cOQ,可得踵=而=^=5，设AP=x,则CQ=2x,

再由勾股定理，即可求解;

②过点B作尸交。P延长线于点E,BFLDQ于点、F,根据△AOPs^c。。，可得N4PD=N。，—=

答=：=3，从而得到/8PE=/Q,再由角平分线的性质定理可得BE=B尸，进而证得ABEP丝△BFQ,得到

BP=BQ,从而得到AP=g,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解：(1)在正方形4BC。中，

ZA=ZBCD=ZDCQ=ZADC=90°,AD=CD,

VZPDQ=90°,

：.ZPDQ=ZADC=90Q,

ZADP+NPDC=NCDQ+ZPDC=90°,

ZADP=ZCDQ,

：./\ADP^/\CDQ,

：.DP=DQ-,

故答案为：=

(2)①•..四边形ABC。是矩形，

ZA=ZADC=ZBCD=90°.

'：ZADP+ZPDC=ZCDQ+NPDC=90。,

/ADP=NCDQ.

又：NA=NQCQ=90。.

APAD21

：.4ADPs4CADQ,=——=一=

CQCD42

设AP=x,则CQ=2x,

PB=4—x,BQ=2+2x.

由勾股定理得，在RAPB。中，P¥+8Q2=PQ2,

代入得（4一元）2+（2+2x）占52,

解得冗=1,即AP=1.

・・・AP的长为1.

②如图，过点8作8ELOP交。P延长线于点E,BFLDQ于点F,

由①得：&ADPsRCDQ,

APAD2

：.ZAPD=ZQ

fCQCD42

：.CQ=2AP,

•：NAPD=/BPE,

：.ZBPE=ZQ,

・.・3。平分NPQQ,BE上DE,BF上DQ,

：.BE=BFf

VZE=ZBFQ=90°,

:.[\BEP义XBEQ,

:.BP=BQ,

设AP=〃%则BQ=8尸=4-m,CQ=2m,

2

/.2+2m=4-m,解得：m=—,

3

即