模型C06 三角形全等-对角互补模型（解析版）

对角互补模型对角互补模型模型讲解模型讲解【结论一】（对角互补一般情况）如图，在四边形ABCD中，∠1+∠2＝180°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：①△BAE≌△BCD；【证明】：①证明：∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAC+∠C＝180°，∴∠BAE=∠BCD在△BAE和△BCD中AE=CD∠BAE=∠BCDAB=BC∴△BAE≌△BCD（SAS）．【结论二】（对角互补--含60°角）如图，在四边形ABCD中，∠1=60°，∠2＝120°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：①△BAE≌△BCD；②△BED为等边△【结论二】（对角互补--含90°角）如图，在四边形ABCD中，∠1=90°，∠2＝90°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：①△BAE≌△BCD；②△BED为等腰Rt△方法点拨例题演练例题演练1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝，OC＝，则另一直角边BC的长为．【解答】解：过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，作ON⊥BC于点N．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∵∠MON＝∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△AOM和△BON中，∴△OMA≌△ONB，∴OM＝ON，MA＝NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC＝，∴CM＝ON＝1．∴MA＝CM﹣AC＝1﹣＝，∴BC＝CN+NB＝1+＝．故答案为：．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．强化训练强化训练1．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，故答案为EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，∴∠ABG＝∠D，∴AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，∴∠EAG＝∠EAF，∵AE＝AE，AG＝AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG＝EF，∵EG＝BG+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．2．（2020秋•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．【解答】证明：如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．（1）求证：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的长．【解答】证明：（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四边形FBGP是矩形，∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABD＝∠FPB，∴FP＝FB，∴矩形FBGP是正方形，∴PF＝PG，∠FPG＝90°，∴∠FPE+∠EPG＝90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPC+∠EPG＝90°，∴∠FPE＝∠GPC，在△PFE与△PGC中，，∴△PFE≌△PGC（ASA），∴PE＝PC；（2）设EF＝x，∵△PFE≌△PGC，∴GC＝EF＝x，由BE＝2得：BF＝x+2，由正方形FBGP得：BG＝x+2，∵BC＝6，∴BG+GC＝6，∴（x+2）+x＝6，解得：x＝2，∴PF＝BF＝2+2＝4，△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PB2＝42+42＝32，∵PB＞0，∴PB＝．4．菱形ABCD中，∠B＝60°，∠MAN＝60°，射线AM交直线BC于点E，射线AN交直线CD于点F，连接EF，请解答下列问题：（1）如图1，求证：EC+FC＝AC；（2）将∠MAN绕点A旋转，如图2，如图3，请直接写出线段EC，FC，AC之间的数量关系，不需要证明；（3）若S菱形ABCD＝18，∠CAE＝30°，则CF＝3或12．【解答】解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°∴AB＝BC，∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝60°．又∵∠MAN＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴EC+CF＝EC+BE＝BC．又∵BC＝AC，∴EC+CF＝AC．（2）如图2所示：AC+CF＝EC．∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°∴AB＝BC，∠ACD＝∠B＝60°．∴∠ACF＝120°．∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB，∠ABC＝60°．∴∠ABE＝120°．∴∠ABE＝∠ACF．∵∠MAN＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴FC+BC＝BE+BC＝CE．∵BC＝AC，∴FC+AC＝CE．如图3所示：又∵BC＝AC，∴EC+CF＝AC．如图3所示：CF＝AC+CE．在△ACE和△ADF中，△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF．∴CF＝CD+DF＝CD+CE＝AC+CE，即CF＝AC+CE．（3）如图1所示：∵∠CAE＝30°，∠CAB＝60°，∴AE平分∠CAB．又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝CE．∴AE＝AB．∵S菱形ABCD＝18，∴AB•AB＝18．∴AB＝6．∴BE＝EC＝3．∴CF＝3．如图3所示：∵∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝90°．又∵AB＝6，∠B＝60°，∴BE＝12．∴CF＝AC+CE＝BC+CE＝12．综上所述，CF＝3或CF＝12．故答案为：3或12．5．（1）如图1，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝10cm；（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；（3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．故答案为：10．（2）EF＝BE+DF．证明：如图2所示，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，∴∠EAF＝∠FAG＝50°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF；（3）成立．证明：如图3，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE+BG，∴EF＝BE+FD；（4）EF＝BE﹣FD，理由如下：在BC上截取BH＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．1．（2018•阜新中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM；②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，∵∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）