2023年高考数学第06章 对称与对偶的思想方法

第06章对称与对偶的思想方法

对称思想的核心是对称变换，而“对称变换”是一种在保持一定不变性下的变换，有限次地重

复施行这一变换可以使对象回复到自身。高中数学中对称问题主要有中心对称、轴对称、平面

对称、多项式对称(轮换对称多项式)等。奇函数的图像关于原点成中心对称，偶函数的图像

关于y轴成轴对称，函数的周期性也可看成“具有对称性”，因为周期函数的图像是无限延

伸的曲线，在按若干个整周期平移下，可重合于自身，从而表现出整体的不变性。解析几何

中二次曲线的图形本身就有某些对称的特点。

对称性可以更广义地解释为某种相应性。如乘与除，微分与积分，二项展开式中的二项

式系数，等差数列的重要性质：若m+n-p+q^m,n,p,qeN"),则

am+a„=ap+aq,等比数列的重要性质：若m+n=p+q^m,n,p,qeN*),则

am'an=ap'aq0再如，在一定条件下，有一个关于极大值的命题，就相应地有-■个关于极

小值的命题。若原问题为“己知矩形周长为P,求使矩形面积S最大时的边长”，则其

对称问题是“已知矩形面积为S,求使矩形周长P为最小值时的边长”，这样构成的互

相对偶的问题，它们也具有结构上的对称性。

而对偶这一概念更为广泛，如问题间的对偶，和差对偶，共朝对偶，倒序对偶，奇、偶

数对偶等，对偶原理指出：两个互为对偶的定理，如果其中一个证明成立，那么另一个也必然

成立。

自然界的许多事物不论是在静止状态，还是在运动变化状态，往往呈现出各种各样的对

称性或对偶性，因而为了揭示和掌握这些对称或对偶事物及对称、对偶的变化规律，在数学

学习中应当提倡对称性思维方式，由于具有对称性的物体的形状、性质及其变化规律各式各

样，因而呈现出的对称性也有多种不同的形式，从事物发展的层次结构来考虑，对称或对偶

可分为空间直观、定性抽象和精确定量3种不同形式，与此相应的就有3种不同对称或对

偶考虑方式；即位置对称考虑、定性对称考虑、数式对称考虑。总之，对称与对偶思想是

数学中的一种美学思想，在平面解析几何中显得尤为突出，每年在高考命题中均有体现，所

以要掌握并运用对称与对偶的思想方法解题。

第三十五讲运用"对称变换"的思想方法解题

在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式：

1.中心对称：①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。

2.轴对称：①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。

3.平面对称：①点关于平面的对称：②曲线关于平面的对称。

4.多项式对称：①一般轮换对称；②顺序轮换对称。

几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转,的

变换，也是常见的对称变换。

例1定理一：函数y=/(x)满足/(«+%)=/(«-%)的充要条件是y=/(x)的图像

关于直线x=a对称。

定理二：函数y=/(x)满足f(a+x)-b^b-f(a-x)的充要条件是y=/(x)的图

像关于点(a,b)成中心对称。

定理三：函数y=/(x)满足尸(x)=/(x+a)—/(a)为奇函数的充要条件是y=

/(x)的图像关于点(a,/(«))成中心对称(注:若a不属于x的定义域，贝U/(a)不

存在.

依次解答如下问题：

⑴设函数y=f{x}的图像关于直线x=\对称，若%,1时，y=x2+l,求x>l

时y的解析式；

(2)若函数(二一上：+1的图像关于点(0,1)中心对称，求m的值；

(3)己知函数/(x)在(y,O)u(O,+8)上的图像关于点(0,1)中心对称，且当

xe(O,+e)时/(x)=%2+x+U根据定理二求出/(%)在(-60,0)上的解析式；

(4)设函数y=/(x),y=g(x)在定义域R上的图像都是关于点(a,b)中心对称,

则对于函数y=/(x)+g(x),y=/(x)—g(x)，y=/(x)・g(x)及y=指出

其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心

对称，并分别说明理由；

,(5+|x—3|]—2x—g的图像的对称性。

(5)讨论函数/(X)=x——x+—

<3八3

【解题策略】

第(1)问，直接利用定理一解；第(2)〜第(4)问,直接利用定理二解；第(5)问，直接利用定

理三解。

【解】

(1)/(%)的图像关于直线x=i对称，所以y(i+x)="i—x),即

〃x)=/(2-力。

当%>1时，2—工<1,

因为凡,1时，y=x2+1,所以x>\时，

/(x)=/(2-x)=(2-x)2+1=%2-4X+5。

⑵由函数/(x)=x+g+m的对称中心为(0,m),得〃x)+〃一x)=2,即

2m=2>得m=1o

(3)设x<0,贝ij-x>0,/(-x)=x2—x+lo

因为/(x)+/(—x)=2,所以/(X)+(X2-X+1)=2,得f(x)=-x2+x+\,

即当xe时，/'(%)=—%2+x+lo

(4)对于函数y=〃x)+g(x),

由于.f(a+x)+g(a+x)+/(a—x)+g(a—x)=4Z?成立。

则y=/(x)+g(x)的图像关于点(a,»)中心对称。

对于函数y=/(x)-g(x),

由于/(q+x)_g(a+x)+/(a_x)_g(a-x)=0成立，

则函数y=/(x)—g(x)的图像关于点(。,0)中心对称。

对于函数y=/(x>g(x),可以不关于点或中心对称。

反例：〃x)=g(x)=x,此时y=/(x).g(x)=x2,它的图像不关于点或中心对称。

对于函数y=44，可以不关于点或中心对称。

g(M

反例:/(力=2,g(%)=^此时y==它的图像不关于点或中

《）

心对称。

⑸当X..3时，/(x)=2x2-

57

当用，一§时,/(x)=-2厂+大

<Q<9

当一士<x<3?时，f(x)=-x-—o

3v739

由上可知函数的图像中间为一线段，右边为开口向上的抛物线的一部分，左边为开口向下的

抛物线的一部分，因而图像只可能是关于某点成中心对称，且此点的横坐标

277、

又/尤）=/%+=xx+—+x——-2x是奇函数,

tVI3337

、

2即（|,-4］成中心对称。

故/（X）的图像关于点

it-37

例2在平面直角坐标系xOy中,平行于X轴且过点A（3G，2）的人射光线4被直

线l：y=J反射，反射光线1交

2y轴于点B（如图6-1所示）o圆。过点A

3

且与12相切。

①求乙所在的直线的方程和圆C的方程。

②设P,Q分别是直线I和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐

标。

图6-1

【解题策略】

根据光学原理，光线的入射、反射问题具有轴对称的特点.。在解第（2）问时，还应注意运

用点关于直线对称的方法.

【解】

⑴直线小＞=2,设4交/于点D,则。（26,2）,因为I的倾斜角为30,

所以/2的倾斜角为60。所以卜=6

所以反射光线/2所在的直线方程为y-2=V3（x-2V3）,即Gx—y-4=0。

已知圆C与/,切于点4,设C（«,b）,因为圆心C在过点D且与I垂直的直

线上，

则7所以》=一四+8①

a-2yj3

又因为圆心C在过点A且与/,垂直的直线上，所以a=36②

由①②得|“=3百'•故圆c的半径r=|C4|=2-（-l）=3

所求圆C的方程为（x-3G）2+（y+l）2=9。

（2）由⑴知点8（0,-4）关于/的对称点为8'5,%）,则且

=,联立得夕（一26,2）。

由点与圆的位置关系知当B',P,Q3点共线时，PB+PQ最小，且直线B'Q过圆心C,

故PB+PQ的最小值为忸'C|-3.

y+i2+1

k>=kPC,

BcX—3-^3-2—3-^3

设P(x,y),由<73得'

卜=丁，V3

y=~yx，

［昱

X~2,ail

解得即1P~T,2

1\/

rr

最小值|附-3=J(-20-3份+(2+_3=2⑨-3.

例3（1）已知直线/过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点

A（—1,0）和8（0,8）关于/的对称点都在C上，求直线I和抛物线C的方程；

（2）是否存在实数a,使抛物线y=ax2-l上总有关于直线y=；x对称的两个

点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围。

【解题策略】数学的对称美充满了整个数学世界，利用对称处理数学问题的思想方法即对称思

想方法。在处理解析几何问题中，充分林拜对败余件，引入对称点坐标参数，从而巧妙解答问

题便是对称思想方法的灵活运用。第（1）问，A,B两点坐标已知，对称轴/过原点，可

引入倾斜角3为参数，则/的方程为y=tan8x,依次求出A,B两点关于直线I对

称的A,B'坐标，根据A,ff两点在抛物线上，将其代入抛物线方程y2=2px,得到

两个关于tan。和p的方程组，解方程组即可求得tan。和p的值，则直线/和抛物

线C的方程即可求得。第（2）问，解法有两种：（1）如果存在对称的两点A,B满足题设要

求，显AB的中点”（七,为）在托物线内部，构成一个含有a的不等式，从而确定a

的取值范囿；（2）按照对称问题的一般处理方法，即A,B两点连线与对称轴＞=gx垂直,

AB的中点M（与,%）在对称轴上,且直线AB与抛物线y=ax2-\必有两个交点，消

元后的一元二次方程必有两个不等的实根,判别式应大于0,进而可求解.

【解】

（1）设I的倾斜角为0,则/的方程为y=tan"x。设B,B'关于/对称，如图

6-2所示，BB'与/交于点例，则^BOM=90-0,^B'Ox=-90+20,从而

8'的坐标为(8sin2，,一8cos2夕)。同理点A关于/的对称点A的坐标为

(―cos26,-sin26),再将A,B'的坐标分别代人/=2px,得

82cos22。=2p-8sin2电)

浊①②解得tan326=—8,即tan28=—2。

sin22^=2p(-cos26)②

由tan2^=2tan6>=-2解得tane=』(l+后)(6为锐角,

1-tan2^2、八

去)，

则P=g后，故/的方程为y=l(l+V5)x,抛物线方程为了2=半%。

(2)假设存在抛物线上两点A(±,y),B&,y2)关于直线y=gx对称，记线段

AB

的中点为M(%%),则点M在y=；x上，即%=—%)。

aX

联立\'两式相减，得yx-y2=a(x[+x2](x[-x2)o

y2=ax2-l,

因为直线AB垂直于直线y=-x,所以入二&=一2。

2xl-x2

又因为X1+=2.XQ,所以由。(玉+工2)=”..-得工0=--9%=_“0=----°

x,-x.a22。

①若。>0,则点%）在抛物线y=ax2-\内部，得关系式

%>以oT，

a>0,

由不等式组《

②若a<0,则点A/伍，%）在抛物线y=ax2-I内部，得关系式先<3一1,

«<0,a<0,

由不等式组《整理得

>1,砒时无解。

3

综上所述，a的取值范围为«>-.

2

例4在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3,0）的距离的4倍与它到直线x=2的

距离的3倍之和记为d。当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和。

（1）求点尸的轨迹C的方程；

（2）设过点尸的直线与轨迹C相交于M,N两点，求线段MN长度的最大值。

【解题策略】

在第（1）问中，求点P的轨迹C的方程，由于涉及点到直线的距离，须用到绝对值符号

,所求方程一般是分段的，解题过程势必烦琐，分类讨论是不可避免的。第（2）问，过

点F的直线与第（1）问求得的轨迹方程交于M,N两点，由于轨迹方程是分段的，所

以需要讨论交点M,N在哪一段曲线上。若F是轨迹方程的焦点，本题就成了与圆锥曲

线的焦点弦或焦半径有关的问题，一般情况下，在平面直角坐标系分析解决问题比较普遍与灵

活，如果圆锥曲线是标准方程，对于椭圆、双曲线而言，其图形既关于坐标轴对称，又关于原

点对称，对于抛物线，总有一条坐标轴为其对称轴。抓住对称性会给解题带来便利，要立足

于学会并善于在平面直角坐标系中分析解决常规问题，对于圆锥曲线焦点弦的问题，在极坐标

系中是否可能使问题变得容易解？如果直接进行两种不同坐标系的转换（即极点为直角坐标系

的原点，极轴为x轴的正半轴），则圆锥曲线的极坐标方程形式复杂且不同的圆锥由线方程

又不统一，直接转换没有优势，只有通过重建极坐标系（即以焦点尸为极点，Fx为极轴重

建极坐标系），则圆锥曲线的极坐标方程是统一的，焦点弦长的计算就变得非常方便，问题的

解决会简捷许多，对称性的运用可以减少运算过程。特别要强调的是，这里不是两种坐标系

的“互化”，而是重新建系，这是一种极其有效的解题策略。

【解】

设点P的坐标为（x,y）,则4g_3）2+4+3|x—2|=18+x①

_______________.22

当尤>2时，由①式得7u-3）2+y2=6-^x化简得三+2=1

23627

②__________

当其，2时，由①式得近-3）2+/=3+x化简得y2=\2x③

22

故点P的轨迹c是椭圆=i在直线尤=2的右侧部分

2

与抛物线C2:y=12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线

x=2的交点）所组成的曲线，如图6-3所示.

⑵

【解法1】

解法一（在已知平面直角坐标系内求解，充分利用图像的对称性）如图6-4所示，易知直线

x=2与C„C2的交点都是A（2,2V6）,B（2,-2V6）,直线AF,BF的斜率分别为

&F=-2>/6,kgp=2\/6.

由于点F是椭圆和抛物线的共同焦点，故可以用焦半径求解：

当点P在£上时，由②式知|PF|=6—④

当点P在C2上时，由③式知\PF\=3+x⑤

①当k„kAF或k..kBF,即k,,-2^6或k..2屈时，直线I与轨迹C的两个交点

”（%,乂）,汽（工2，必）都在G上，此时由⑷式知囚尸|=6-3七,|可司=6-3々，

（、/、y=k（x-3）

从而|MN|=|MF|+|KV卜6Txl+6_g》2=12_；G+Z）・由，/产得

|,36+27-

（3+4F）X2-24Z:2X+36F-108=0,,

则x,,x2是这个方程的两根，

24k2

所以32=许，

物|=12一乱+々）=12一黑•

JI'Irv

因为当k„-276或k..2屈时，F..24.

…I./“I12k21212100

所以M门2-诋=12-丁^,,12-于^7r

F+4—+4

k224

当且仅当％=±2几时，等号成立.

图6-4

②当kAF<k<kKF,即-276<k<2y/6时，直线I与轨迹C的两个交点

M（x,y,）,N（9%），分别在G，Q上，不妨设点"在G上，点N在

C,上（根据对称性，只需考虑这种情形），则由④⑤两式知，

町=6-；xjNE|=3+々。

设直线AF与椭圆C,的另一交点为E（x°,%）,则x2<2,x0<xt,

有阿可=6—<6—!/=|所|，加目=3+々<3+2=a可。

所以|肱7|=|环'|+|加上|£耳+|4同=|/1£|。而点4E都在G上，且％=-2几，

由①可知|AE|=甲，所以〈与，若直线/的斜率不存在，则%=々=3,

此时|MN|=12—3（可+々）=9（岑

综上，线段MN长度的最大值为—o

11

【解法二】

以点F为极点，射线Fx为极轴重建极坐标系，则此时曲线G（椭圆部分）和曲线。2

（抛物线部分）的极坐标方程分别为

eP[9（1JP6

p、=-----------=----------e=-,P]=—=9,p?=----------=----------

1一ecos。2-cos6（2c）1+cos。1+cos。

①当arctan2遥领B万-arctan26时，直线I只与曲线C,相交，此时有

\MN\=p+p

MN2+cos。2-cos04-cos2^

对arctan2通轰^arctan276,有一,领fcos。-,故cos/c0,—

所以\MN\=—生〒

114-cos20

②当0领Barctan276或万一arctan2而，0<7t时,，直线I与曲线C,和C2都

相交。

根据对称性，只考虑其一即可，不妨取噫上arctan2遥，且点N在G上，点

M

在C上，则有|脑”=夕^+月”=-----------------1----------------

22+cos。1+cos。

设仁cosOe-.1,则|MN|=/(/)=」一+2在上是减函数

.5J11\'2+t\+t[5_

故有/⑴，/1)=6,当。

由①②可得此时＜9=arctan276或万一arctan2",直线为AF或

BF.

第三十六讲构造“对偶式”，巧解数学问题

在解答某些数学问题时，针对已知式M的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子

N,使M与N经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的

转化和解决。这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。

通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程（组以及

求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式

例1求证：2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4A,,5»

【解题策略】

本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶

式，则比较容易证明

【证明】

设A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x,B=2cos4x+3cos2xsin2x-i-5sin4x,

贝(JA+8=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x=7(sin2x+cos、)-8sin2xcos2x

=7-2sin22X=5+2COS22X,①

A-B=3(cos4x-sin%)=3cos2x,②

①+②，得24=5+2cos-2x+3cos2x=5+2fcos2xH—[-----

)16

„5+2jl+成一斗=10所以A,5,命题得证

I4j16

例2.已知a,P是方程X2-7X+8=0的两根，且a>4，不解方程，求

*+3/2的值。

a

2?

【解题策略】若要不解方程求一+3/2的值，因为—+3仍是非对称式，无法化为明及

aa

22

a+p的形式，所以需要构造一+3/2相应的对偶式方+3a>两者结合就可以化为必及

ap

2

a+(3的形式，然后运用韦达定理，从而求出一+349-的值.

a

【解】

设A=-+3/32,构造对偶式3=—+31。

a0

a,P是方程x2-7x+8=0的两根，/.a+/=7,a/3=8。

a>P，:,a-P-+0)2_4a0=V17o

:.A+B^2-+—+3(a2+Z?2)=^^^+3[(a+/?)2-2tzy9]=—,①

一扑、3("一分)=2(小一a)/、/、

A-B=2|-—^~^+3(/+a)(£_a)=_亚②

la4

①+②403-85V17

得A=

28

.2+403-85V17o

a8

例3求下列各式的值：

(1)sin210+cos240+sin10cos40；

(2)sin6sin42sin66sin78。

【解题策略】本例两小题都可以通过三角恒等变形求值，但解题过程不简捷。如果

利用正余弦三角函数的互余对偶，构造对偶式求解厕解题过程非常简捷，此时原问题转化为代

数方程组，利用加减消元法获得结果，或两对偶式相乘结合诱导公式直接消去引进的对偶式即得

结果.

【解】：

(1)设A=sin210+cos240+sin10cos40,

另设B=COS210+sin2404-cosl0sin40，:

则A+5=l+l+sinl0cos404-coslOsin40=2+sin50=2+cos40

A-B=cos8()-cos20-sin(4()-10j=-sin50-g=-g-cos40

33

两式相加，得2A=—,即A=—o

24

3

因此，得sin210+cos240+sin10cos40=一。

4

(2)设A=sin6sin42sin66sin78,

另设B=cos6cos42cos66cos78。

贝！JAB=—sinl2sin84sinl32sinl56=—sinl2sin84sin48sin24

1616

=——cos78cos6cos42cos66=——B。

1616

A=—,艮［Jsin6sin42sin66sin78=—

1616

例4(1)若函数/(尤)满足af(x)+bf(^\=cx(其中a,b,c是不等