大学物理4-刚体的转动

第四章刚体的转动1刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体．(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组．)刚体的运动形式：平动、转动．⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的．说明：4-1刚体的定轴转动2刚体平动质点运动

平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．特点：各点运动状态一样，如：等都相同．4-1刚体的定轴转动3转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动

4-1刚体的定轴转动4刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成4-1刚体的定轴转动5一刚体转动的角速度和角加速度角位移

角坐标沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.4-1刚体的定轴转动约定6角加速度刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正、负来表示.4-1刚体的定轴转动7(1)

每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(2)

任一质点运动均相同，但不同；定轴转动的特点

(3)

运动描述仅需一个坐标．4-1刚体的定轴转动8二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动当刚体绕定轴转动的

=常量时，刚体做匀变速转动．4-1刚体的定轴转动9三角量与线量的关系4-1刚体的定轴转动10例1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s

时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

4–1

刚体的定轴转动第四章刚体的转动4-1刚体的定轴转动11飞轮30s

内转过的角度4-1刚体的定轴转动转过的圈数（2）时，飞轮的角速度12（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度4–1

刚体的定轴转动第四章刚体的转动4-1刚体的定轴转动2222nsm/6.31sm/)π4(2.0--=×==wra13例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的角速度，经300s

后，其转速达到18000r·min-1

．转子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转过多少转？解令，即，积分得4-1刚体的定轴转动14当t=300s

时4-1刚体的定轴转动15由得在300s内转子转过的转数END4-1刚体的定轴转动16PO

:力臂对转轴z

的力矩

一力矩

用来描述力对刚体的转动作用．*4-2力矩转动定律转动惯量力矩方向:右手螺旋法则17O讨论

（1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩4-2力矩转动定律转动惯量18O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．4-2力矩转动定律转动惯量19

例1

有一大型水坝高110m、长1000m,水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩.QyOxyOhxL4-2力矩转动定律转动惯量20解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元，作用在此面积元上的力yOhxyQyOxL4-2力矩转动定律转动惯量21令大气压为，则代入数据，得yOhxyL4-2力矩转动定律转动惯量22QyOyh对通过点Q的轴的力矩代入数据，得：4-2力矩转动定律转动惯量23O二转动定律

（1）单个质点与转轴刚性连接4-2力矩转动定律转动惯量24（2）刚体质量元(质点)受外力，内力外力矩内力矩O4-2力矩转动定律转动惯量刚体:25刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量O4-2力矩转动定律转动惯量26讨论（2）（3）（1）

不变转动定律4-2力矩转动定律转动惯量27三转动惯量

J

的意义：转动惯性的量度.

转动惯量的单位：kg·m24-2力矩转动定律转动惯量28质量离散分布

J的计算方法质量连续分布

：质量元4-2力矩转动定律转动惯量29

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度

：质量元4-2力矩转动定律转动惯量30刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置有关．（1）与刚体的密度有关．（2）与刚体的几何形状及密度的分布有关．说明4-2力矩转动定律转动惯量31

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元例2一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O4–2

力矩转动定律转动惯量第四章刚体的转动4-2力矩转动定律转动惯量324-2力矩转动定律转动惯量O´O如转轴过端点垂直于棒33ORO

例3一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量4–2

力矩转动定律转动惯量第四章刚体的转动4-2力矩转动定律转动惯量34四

平行轴定理质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO4-2力矩转动定律转动惯量35质量为m，长为L的细棒绕其一端的JP圆盘对P

轴的转动惯量OO1d=l/2O1’O2O2’4-2力矩转动定律转动惯量3637竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？4-2力矩转动定律转动惯量38(2)为瞬时关系．(3)转动中与平动中地位相同．(1)

,与方向相同．说明转动定律应用4-2力矩转动定律转动惯量39

例4

质量为的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B

从再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABC第四章刚体的转动40解

(1)

用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系．ABCOO4-2力矩转动定律转动惯量41OO4-2力矩转动定律转动惯量42解得：4-2力矩转动定律转动惯量43如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率4-2力矩转动定律转动惯量44（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程4–2

力矩转动定律转动惯量45ABC4–2

力矩转动定律转动惯量第四章刚体的转动46稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例5一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmgθ4-2力矩转动定律转动惯量47

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得m,lOmgθ4-2力矩转动定律转动惯量48由角加速度的定义代入初始条件积分得m,lOmgθEND4-2力矩转动定律转动惯量49

力的时间累积效应：冲量、动量、动量定理．

力矩的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理．4-3角动量角动量守恒定律50一质点的角动量定理和角动量守恒定律质点运动描述刚体定轴转动描述4-3角动量角动量守恒定律511

质点的角动量质量为

的质点以速度在空间运动，某时对

O

的位矢为，质点对O的角动量大小的方向符合右手法则角动量单位：kg·m2·s-14-3角动量角动量守恒定律52质点以作半径为

的圆周运动，相对圆心作用于质点的合外力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O

的角动量随时间的变化率.2

质点的角动量定理4-3角动量角动量守恒定律53质点角动量定理的推导4-3角动量角动量守恒定律54质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.

恒矢量

3

质点的角动量守恒定律冲量矩4-3角动量角动量守恒定律55

例1

一半径为R

的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m

的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A

(该点在通过环心O

的水平面上)，然后从A点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点B

时对环心O

的角动量和角速度．4-3角动量角动量守恒定律56解小球受力、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理4-3角动量角动量守恒定律因为57得由题设条件积分上式4-3角动量角动量守恒定律58例2一质量为m=1.2×104Kg的登月飞船，在离月球表面高度h=100Km处绕月球作圆周运动．飞船采用如下登月方式：当飞船位于点A

时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点B

,且OA

与OB

垂直．飞船所喷气体相对飞船的速度为试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?(已知月球半径R=1700km,g=1.62m．s-2)4-3角动量角动量守恒定律59BhORA已知4-3角动量角动量守恒定律求所需消耗燃料的质量.60解设飞船在点A的速度,月球质量mM

,由万有引力和牛顿定律BhORA4-3角动量角动量守恒定律61BhORA4–3角动量角动量守恒定律第四章刚体的转动当飞船在A点以相对速度

向外喷气的短时间里,飞船的质量减少了Δm

而为

,并获得速度的增量,使飞船的速度变为,其值为4-3角动量角动量守恒定律624–3角动量角动量守恒定律质量

在A点和B

点只受有心力作用,角动量守恒BhORA4-3角动量角动量守恒定律63飞船在A点喷出气体后,在到达月球的过程中,机械能守恒BhORA第四章刚体的转动4-3角动量角动量守恒定律64A点水平方向动量守恒BhORA4–3角动量角动量守恒定律(以月球为参考系,喷前动量为零,喷后动量也为零)4-3角动量角动量守恒定律65661

质点的角动量大小的向符合右手法则4-3角动量角动量守恒定律

力矩的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理．67质点以作半径为

的圆周运动，相对圆心2

质点的角动量定理4-3角动量角动量守恒定律68

恒矢量

3

质点的角动量守恒定律冲量矩4-3角动量角动量守恒定律69二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

1刚体定轴转动的角动量O4-3角动量角动量守恒定律70

刚体2

刚体定轴转动的角动量定理质点mi受合力矩Mi4-3角动量角动量守恒定律713

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若=常量对定轴转动的刚体，受合外力矩M，从到内，角速度从

变为

，积分可得：4-3角动量角动量守恒定律72

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.讨论

在冲击等问题中常量4-3角动量角动量守恒定律73许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水点击图片播放4-3角动量角动量守恒定律74自然界中存在多种守恒定律动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等4-3角动量角动量守恒定律75

例3

质量很小长度为l

的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处，并背离点O

向细杆的端点A

爬行．设小虫与细杆的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O4-3角动量角动量守恒定律76解虫与杆作为一个系统，碰撞前后系统角动量守恒4-3角动量角动量守恒定律77转动后由角动量定理考虑到4-3角动量角动量守恒定律78以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.讨论子弹击入沙袋细绳质量不计4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理79子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒．角动量守恒；动量不守恒；4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理80圆锥摆圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒．4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理81

例4一杂技演员M由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．设跷板是匀质的，长度为l，质量为

，跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动，演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh4-3角动量角动量守恒定律82解碰撞前M落在

A点的速度碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度4-3角动量角动量守恒定律lll/2CABMNh83M、N和跷板组成的系统，角动量守恒ll/2CABMNh4-3角动量角动量守恒定律84解得演员N以u起跳，达到的高度：END4-3角动量角动量守恒定律85力的空间累积效应：

力的功、动能、动能定理．力矩的空间累积效应：

力矩的功、转动动能、动能定理．4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理86力矩的功一力矩作功4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理87二力矩的功率比较三转动动能4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理88四刚体绕定轴转动的动能定理——刚体绕定轴转动的动能定理比较

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理89例1

留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率

作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为

，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度

时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理90Rrdrdlo解(1)

如图取面积元ds

=

drdl，该面元所受的摩擦力为此力对点o的力矩为4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理91于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为Rrdrdlo4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理92

(3)

由

可得在0

到t的时间内，转过的角度为

(2)

由转动定律求

，(唱片J=mR2/2)（作匀加速转动）驱动力矩做的功为由

可求得4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理9394例2

一长为l

,质量为m’

的竿可绕支点O自由转动．一质量为m

、速率为v

的子弹射入竿内距支点为a

处，使竿的偏转角为30o

.问子弹的初速率为多少?解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理95射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E=常量．END4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理96Rhm'mm

和、分别为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度.

例3

一质量为

、半径为R

的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m

的物体.问物体在静止下落高度h

时，其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计.

解拉力对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力的力矩所作的功为m4–4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理97物体由静止开始下落解得对物体m，由质点功能定理m并考虑到圆盘的转动惯量第四章刚体的转动y98

例4

质量为

m1和m2的两物体A、B,分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R

和r

，两轮的转动惯量分别为J1和J2

，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。第四章刚体的转动A4–4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理99解：分别对两物体及组合轮作受力分析，根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有