2023年高考数学第10讲 深刻理解反函数的定义

第10讲深刻理解反函数的定义一对应思想的运用

一、知识聚焦

一个函数有反函数时确定这个函数的对应是定义域到值域的一一对应，这是核心，所以反函

数并不是反解V=/(X)后所得到的用y表示X的式子.

一个函数有反函数时，若函数y=/(x)的定义域为D，值域为A,则它的反函数y=r\x)

的定义域是4值域是。.

严格单调函数y=/(x)必有反函数,这是因为严格单调函数的对应是定义域到值域的一一

对应，且反函数与原函数有相同的单调性;严格单调奇函数有反函数，且反函数也是奇函数.

函数y=/(x)的图像和它的反函数y=f-'(x)的图像特点如下.

⑴互为反函数的两个函数的图像是全等形.

⑵函数y=f(x)与函数x=f-'(y)虽互为反函数，但是在同一坐标系内，它们的图像却是重

合的.

⑶在同一坐标系中,y=/(x)的图像与y=/T(X)的图像关于直线y=x对称.

⑷关于直线y=x对称的两个图形所代表的函数不一定互为反函数.

⑸函数y=/(x)的图像与其反函数y=f~\x)的图像如果有公共点，则这些公共点或在直

线y=x上，或关于直线y=x对称地成对出现.

(6)若函数y=/(x)是单调增函数，则其图像与其反函数y=/T(X)的图像的公共点必在直

线y=x上.

二、精讲与训练

【核心例题1】求下列函数的反函数：

=2瓢0)；

⑵y=x|x|+2x;

x

⑶y=l+log2—；(x>0)；

x+1

⑷丁=2八2，+3（*.1）.

【解题策略】求函数y=/（x）的反函数的基本步骤如下.

（1）由y=/（x）解出x彳导x=/T（y）；

⑵将互换得，=尸（无）.

⑶由原函数的值域写出反函数y=r'（x）的定义域.

除了要掌握上述求反函数的3个步璟之外，还应掌握如下一些重要结论.

⑴函数y=fM的图像和它反函数y=f-'（x）的图像关于直线y=x对称;

⑵互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

⑶定义域上的单调函数必有反函数；

⑷奇函数的反函数也是奇函数；

⑸定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；

⑹周期函数在整个定义域内不存在反函数；

⑺分段函数的反函数可以分别求出各段的反函数后再合成.

【解】⑴由y=；"4（-2就0）得/=4-4/,且—2轴0,展卜1,

则x=-2J1-丁（网;1）,

，原函数的反函数为广匕）=-2J1—%2（喷山!）

x2+2x,x..0

（2）vy=\9c八

-x+2x,x<0

「•当天..0时,（x+l）2=y+l,「.x+l=Jy+1,即尤=-1+Jy+l（y..O）；

当x<0时「（尢一l）2=y—I,，％—1=—即％=1—7^（丁<。），

.—l+>/x+l,x..0,

・•・原函数的反函数为=\I_

l-Vl-x,x<0.

xx

⑶・「x>0,?.0<——<1,/.log2<0,/.y<1

x+lx+1

x2V-1

由y=l+log2--（x>0）得》=,

x+11-2）

,r-l

.•・原函数的反函数为广1（幻=1=7T（X<1）.

1-2

⑷x?-2X+3=(X-1)2+2..2,即y..4-,

由y=2*J2X+3QD得x=1+Jog2y-2(y..4).

原函数的反函数为/T(x)=l+Jlog2X—2(x..4).

【变式训练1】求下列函数的反函数：

(1)j=log2x+l(x.4)；

⑵y=logi(l-x)+2(x<l)；

2

(3)y=2-A/4-x2(-2^iJc0).

【变式训练2](1)已知函数/(x)="*(cH0,ad声。c),当a,b,c,d满足什么条件时,

cx+a

/(x)与其反函数是同一函数？

⑵设函数/(X)=9'-2x3\xeR,该函数是否有反函数?若有,求此反函数;若没有，在不改

变函数解析式的情况下，怎样才能使它有反函数？

【核心例题2]⑴已知函数70),求

(2)已知函数f(x)=a+尸S>0,〃声1)的图像经过点(1,3)，函数知-(x+a)(x>0)的图

像经过点(4,2).试求函数/T(X)的解析式.

l+3r

(3)已知函数f(x)=与函数g(x)的图像关于直线y=x对称,又函数h(x)与g(x+2)

l-2x

互为反函数，求力(4)的值.

【解题策略】解题要诀:按部就班，循序前进，不可“跳跃”.对于第⑶问,可以首先求出

x—1龙+11—lx

g(x)=——，其次求出g(x+2)=——，再求出〃(幻=-一-，最终求出〃(4)，但解答过

2x+32x+72x-l

程比较烦琐,若从形的角度研究互为反函数的图像特征，则解法相对简捷，这里面给出的正是

数形结合的解法.

【解】(1)设:=%,则工=3人f(/)='3=上±...丁=/(])=三

33rtx

yx=x+l,r.x(y-1)=1,/.x=—^―得f~'(x)=—.

y-\x-i

可得尸仔卜一~=展,即尸「卜告.

\3y工_］X—3\3JX—3

3-

(2)b>0,b^l,y=f(x)=a+b'~'，则/㈠=y-a,x-1=log〃(y-a).

_|

•••/(x)=log/;(x-a)+l(x>a)，可得/T(x+a)=log%x+1./(x)=a+&i的图像经

过点(1,3),可得a=2.

f-\x+a)=log,,x+1的图像经过点(4,2)，可得b=4.

f~'x=log4(x-2)+1(JC>2)

(3)设A(4)=九则点(4,r)在函数y=h(x)的图像上,又函数h(x)与g(x+2)互为反函数，

・・•点(f,4)在y=g(x+2)的图像上，即g(f+2)=4,也即点(f+2,4)在函数y=g(x)的图像

1+3元

上，又函数与函数g(x)的图像关于直线y=x对称...・点(4/+2)在

1-2%

...l+3x_,13c27c，,八27

fM=——图像上,，f+2,；/=一;~.即力(4).

1-2%-777

2c

【变式训练1】/(%)=〃+—与双］)=—1+—互为反函数求a”i?c的值.

x+b7x-3

【变式训练2］已知函数/")=卫'(a丰的图像与它的反函数的图像重合，求a的值.

x+aI2)

2x4-3

【变式训练3］已知/。)=一「，若函数gO)的图像与丁=尸(》+1)的图像关于直线

x-l

y=x对称，求g(3)的值.

X.1

【核心例题3】设，上可

(1)求/(x)的反函数尸(x).

(2)判断并证明r'(x)在(i,+w)上的单调性.

⑶令g(x)=l+log“x，当［zn,n］c(l,+oo)(/n<n)时，f'(x)在［m,n］上的值域是

［g(〃),g(〃z)L求。的取值范围.

【解题策略】本例的难点在第⑶问，首先确定a的取值范围，其次依据/'(x)在［九〃］上的单

调性确定其值域.比照题设得到方程组转化为含参数a的一元二次方程有两个不等且大于1

的实数根，最后正确运用方程理论解关于a的不等式组求出«的确切范围.

优+1v-1

⑴【解】令y=-~,得/(y+i)=y-i,a'=r>o,，y>i或y<-i.

l-ay+1

.,.尤=log“上二，故反函数为f~'(x)=log(1土，(x>1或x<-1).

y+1x+1

(2)判断:当a>1时，广(x)在(1,+w)上单调递增;当0<a<1时,尸(力在(l,+oo)上单调递

减.

证明:任取X,工2且1<%<入2<+8，

则士1=2也X2)Q.

%+1X2+1(X,+l)(x2+1)X,+1X2+1

由对数函数的增减性可知，当a>1时,/T(%)</-'(%2)；

当0<a<1时,/T(玉)>f-'(x2)，故判断正确.

(3)【解】由题知,g(〃)<g(m)，又〃

M-11，%-I

由⑵知广。)在［加,〃］上的值域为logfl---7,log。-----=［l+logfln,l+logu7??］.

可知m,n是一元二次方程ax2+(a-l)x+1=0的两不等实数根，且

0<Q<1,

a~—6a+1>0,

△二(Q-1)2-4Q>0,\—a_.

,二<即------2>0

(m-l)+(n-l)>0,a

(/??-1)(/2-l)>0.1a—11八

一+----+l>0,

aa

解得0<a<3—2正

・・.。的取值范围是((),3-2虚).

【变式训练1］设/(%)=/+力同时满足条件，(0)=2和对任意xeR都有/(x+l)=

2/(x)-1成立.

(1)求/(x)的解析式.

(2)设函数/(%)的定义域为［-2,2］,且在定义域内g(x)=/(x)，求gT(x).

(3)求函数丁=8(%)+8一匕)的值域

2

【变式训练2］已知函数y=/(%)与y=---1的图像关于y=x对称，函数y=g(x)与

2+1

y=心的图像关于原点对称,尸(%)=/(x)+g(x).

x-2

(1)求F(x)的解析式和定义域.

⑵若当0<x<1时,F(x)<m恒成立，求实数机的取值范围.

【核心例题4】为研究"原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y=x上”这一课

题，我们可以分3步进行研究：

(1)首先选取如下函数:y=2x-l,y=-y=求出以上函数图像与其反函数图像

x+1

的交点坐标：

X—1

丁=2彳+1与其反函数丁=-5一的交点坐标为(-1,-1).

2rx

y=--与其反函数y=--的交点坐标为(0,0),(1,1),

尤+12-x

丁=一471与其反函数)；=/一1(%,0)的交点坐标为［匕*,上渣?|,(_1,o),(o,—1).

［22)

(2)观察分析上述结果得到研究结论.

⑶对得到的结论进行证明.请完成⑵和(3).

【解题策略】本例研究函数/(x)与其反函数/T(X)的交点有什么特点，是一个很好的研究

性课题.一是交点的个数，二是交点的位置，这些疑点，本例可以破解,y=2x+l与其反函数

JCJC

y=——只有一个交点，且在y=x上.y=—；与其反函数y=--的交点有两个，且都在

2x+12-x

y=%上.y=与其反函数y=/-1(%,0)的交点有3个,不都在y=x上.

第⑶例是一个很好的研究点,|>=-VAT1(X...-1)=>=/_]

[y=x2-l(x„0)

两边平方得

x+1=x4-2x2+1=>x4-2x2-x=0=>x4—x2-x2—x=Onx2(x+l)(x-l)

-x(x+l)=0=>工(％+1)(工2-x-l)=Onx=O或1=-1或无=1土,.由于

在丁=%上.又比如函数

y=--的反函数就是其本身，图像不与直线y=x相交，但关于直线y=x对称，图像上每一

x

点都是它与反函数的交点，故可以说有无穷多个交点且关于直线y=x对称.根据上面的分析

可以得出如下结论：)，=/*)与丁="1(冷的交,点可能在直线y=x上，也可能不在直线

y=x上,若不在