2023届辽宁名校联盟高考模拟调研卷（二）数学试卷及答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学（二）

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座

位号填写在答题纸上.将条形码横贴在答题纸“贴条形码区”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求

作答的答案无效.

4.考生必须保持答题纸的整洁.考试结束后，将试卷和答题纸一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知z（l+i）=7+5i,则1=

A.6-iB.6+iC.3-2iD.12-i

2.已知集合。={x|f_7x_8W0},A={0,l,2},B={-2,-1,0,1,2,3,4},则@A）c5=

A.{0,1,2}B.{3,4}c.{-1,3,4}D.{-2,-1,3,4}

3.下列函数不是偶函数的是

13万

A./(x)=sin+尤B./(x)=2x+2-x

7

CJ（*）=黄广D.+1-X

4

4.使p:Vx>0,x+—2a的否定为假命题的一个充分不必要条件是

x

A.aN4B.a<4C.D.a这2

5.某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分

配2人，则不同的分配方法种数为

A.1918B.11508C.12708D.18

6.石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成

硝子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm的圆柱形碾滚的最外

侧与碾柱的距离为100cm,碾滚最外侧正上方为点A,若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A距碾盘的垂直

距离约为

A.15cmB.15百cmC.^3O-15-\/3jcmD.45cm

7.过圆锥内接正方体(正方体的4个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面)的上底面作一平面，把圆锥

截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为1:4,母线长为布，设圆台体积为匕，

V

正方体的外接球体积为匕，则」=

%

7732瓜7月幅

A.----B.----C.----D.----

9939

8.若a=200,/?=lg(101),c=1011g99,则a,b,。的大小关系为

A.a>c>bB.c>a>bC.c>b>aD.a>b>c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设a为第一象限角，cos^a--J=-,则

.}1(1

A.sin---a=——B.cosa-----\-——

l8)3I8)3

c.(13兀、2叵r,1万_“=_2&

C.sin1———a\=———D.tan1—

10.已知函数/(x)=x3+cx+b1(/?<0)14%=-l处有极值，且极值为8,则

A.7(x)有三个零点

B.b=c

C.曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为3x+y+4=()

D.函数y=/(x)—2为奇函数

11.已知抛物线C:f=4y的焦点为尸，直线4过点F与圆£：(%-2)2+尸=1分别切于4,B两点,交

C于点M,N和P,Q,则

A.C与七没有公共点

B.经过尸，A,B三点的圆的方程为x2+y2—2x—y=0

c.网=竽

D.|MN|+|P0|=T

kik

12.设正整数“=%-9°+%4+.+ak_l-9-+ak-9,其中qe{0,l,2,3,4,5,6,7,8}（i=0,l,2,，左）.记

。（〃）=4+4++%当九W8时,S（〃）=①（1）+8（2）++0（9〃），则

A.S⑺—S（/i—1）=9〃+28（〃N2）B.G（9〃+10）=69（n）+l

c.数列]为等差数列口.0（吐1]=〃

8

I〃1I）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=（—1）,=若恸>卜「12a—.=2j^,则???=.

14.已知随机变量X且p[x<—[=0.25,P（X>2）=0.1，则P（—1WXW-g卜.

15.如图①，在平行四边形A5C。中，AB=s/2BD=^AD=2y[2,将△ABO沿BO折起，使得点A到达

点P处（如图②），PC=26,则三棱锥P-BCD的内切球半径为.

Y

16.已知椭圆C:——十=1（。>。>0）的右焦点为尸,上顶点为B,线段6尸的垂直平分线交C于M,N

两点，交y轴于点P，。为坐标原点，BP=2P。，则C的离心率为；若△8MN的周长为8,

则八.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2sinA=3tan生上.

2

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为也，+求”.

18.(12分)某校有A,8两个餐厅，为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从A餐厅随机抽取了

67人，从B餐厅随机抽取了69人，其中在A,8餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.

(1)根据数据列出2X2列联表，并依据小概率值e=().OO5的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满

意度有关联？ss

(2)学校对大量用餐学生进行了统计，得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐

13

厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了A餐厅，那么本次到A,B餐厅的概率分别为一，一；如果前一

44

次去了B餐厅，那么本次到A,8餐厅的概率均为,.求任意一名学生第3次用餐到8餐厅的概率.

2

n(ad-be)?

附：Z2其中〃=〃+>+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

19.(12分)在数列｛〃〃｝中，4=9,3。〃+]=。〃+12.

(1)证明：数列｛%—6｝为等比数列;

(2)求数列｛〃%｝的前〃项和

20.(12分)如图，在直四棱柱ABCO—AAGA中，底面ABC。为矩形，点”在棱4)上，AM=3MD,

AB=BB1=2,BD1C.M.

(1)求AD；

(2)求二面角4-MC1-8的正弦值.

21.(12分)已知一动圆与圆£:(尤+3)~+>2=18外切，与圆F:(x—3)~+丁=2内切，该动圆的圆心的轨

迹为曲线C.

(1)求C的标准方程；

(2)直线/与C交于A,B两点，点P在线段AB上，点。在线段AB的延长线上，从下面①②③中选取两

个作为条件，证明另外一个成立：

①P(8,l)；②⑷•忸&=网.闻；③。是直线/与直线x-y-1=0的交点.

注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.

22.(12分)已知函数/(力=心',g(x)=x+xlnx.

(1)证明：/(x)>g(x)；

(2)若|/(x)-1>ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.

数学(二)

一、选择题

7+5i(7+5i)(l-i)12-2i-

I.B【解析】z=——=匕一0~,=-----=6—i,故z=6+i.故选B项

1+i(l+i)(l-i)2

2.C【解析】由题意得[/=卜卜卜所以(0A)cB={-l,3,4}.故选C项.

3.C【解析】对于A项，/(x)=-cosx,所以/(-x)=-cos(-x)=-cosx=/(x),所以/(X)为偶函

数；对于B项，/(一力=2-*+2*=/(工)，所以/(X)为偶函数；对于C项，/(X)的定义域为

(9,O)U(O,4W),/(-x)=-^-x=-xf-^—+1"|=—所以/(x)=^^+x不是偶

z—11—ZJZ—1乙—1

函数；对于D项，/(%)的定义域为R,

/(一力=-xln(Jx2+1+.)=x]n,‘[---)=+1-x)=,所以

/")=灯11(五2+1一》)是偶函数做选©项.

44

4.D【解析】由题得：pNx>0,x+—2。为真命题，又X+—24,当且仅当x=2时等号成立，反之也

XX

成立.所以aW4是p为真命题的充要条件，a34是p为真命题的既不充分也不必要条件，。22是〃为真

命题的既不充分也不必要条件，aW2是p为真命题的充分不必要条件.故选D项.

5.B【解析】分组方法共有(2,2,5),(2,3,4),(3,3,3)三种情况，所以分配方法共有

(2r53r3\

；+234+.故选项.

A9：5CCC…丁3=11508B

IA；A；)

6.A【解析】由题意碾滚最外侧滚过的距离为2rxl(X)cm=2()0;rcm,碾滚的周长为2;rx30cm=6(hrcm,

所以碾滚滚过迎卫=W圈，即滚过了Wx360°=3x360°+120°,所以点A距碾盘的垂直距离为

60万33

30-30xcos(180°—120°)=15cm.故选A项.

7.A【解析】由圆台上底面与下底面的面积比为1:4,得圆台上底面与下底面的半径比为口=!,由题知正

r22

方体的棱长为低，如图，在RdA4,P中，APf,A?”AA="j，即(指『=广+(低了，

解得彳=0,则乂=g»x2x(2+8+4)=言，正方体的外接球半径为R=书二=6，

28乃

=9乃(6)2=46乃，所以匕=。-=迪,故选A项.

31，V24岳9

8.B【解析】解法一：设/(x)=(100-x)lg(100+x),xe[-l,l],当xe[-l,l]时，

/(力=—怆。00+力+器?lge

令g(x)=Tg(100+x)+：：；+；lge则

1,200

---------126lge<0所以函数g(x)在区间［-1,1］上单调递减，所以

100+尤6(100+X)2

ini121101

g(-l)=-lg99+—lge=lge"-lg99,又e甚<e?<99,所以g(x)<g(—l)<0,所以函数/(x)在区

间[—1,1]上单调递减，所以/(—1)=1011g99>/(())=1(X)1g1()0=200>/(1)=991g101=lg(101)w,故

>0.故选B项.

解法二：由题意得a=lglO2()<,=lglOOl,,o=lOOlglOO,人=991gl()l.令函数y(x)=(200—x)lnx,

r(x)=2£2_^-]nx=222-l-lnx,当xw(90,+oo)时，/"(x)<2^—l—ln90<0,所以/(x)在区间

(90,+oo)内单调递减，所以/(99)>/(100)>/(101),所以1011n99>1001nl()0>991nl01,即

99101>100ino>10r,所以c>a>6.故选B项.

二、选择题

冗

9.BD【解析】由题意得a—-也是第一象限角

8

A项错误

(7兀、(7L\(万)1

cosa+——=cosa—+7t\=-cosa—=——B项正确

I8)I8)I8j3

C项错误

10.AC【解析】由题意得了'(x)=3x2+2/?x+c，又/(―1)=3—2Z?+c=0,又/(-!)=—1+/?—c+〃=8,

4=3{b=-2

解得《(舍去)或《，故B项错误；/(x)=V—2i—7x+4,

c=3c=-7

/'(x)=3f—4x—7=(x+l)(3x—7),当xe(-oo,—1)时，f(x)>0,/(x)单调递增，当时，

/'(x)<0,/(x)单调递减，当xe(g,+oo]时，/'(x)>0,单调递增，又/(一3)<0,/(-1)>0,

/(1)<0,/(4)>0,所以/(x)有三个零点，故A项正确；又/'(2)=—3,/(2)=-10)则曲线y=/(x)

在点(2,/(2))处的切线方程为y+10=-3(x-2),即3x+y+4=(),故C项正确；

/(—x)—2=-丁—2/+7%+2#—/(x)+2,故D项错误.故选AC项.

x2=4y,v-4

11.BCD【解析】联立<,、,得（工一2）一+二=1,因为x=2是方程的一个根，所以C与E有

（X-2）”2=I16

公共点，A项错误；连接E4,EB,则£4,£4,EBLFB,所以尸，A,B,£四点在以FE为直径的

圆上，圆的方程为（x-l>+y-,化简得/+），2一2%-丁=0,B项正确；由题得

4

\AB\_\EA\x\FA\_1x2,所以|AB|=W，C项正确；设过点/且与圆

照=Jm2-=2,所以

2~~\EF\~^5'

£:（工一2）2+》2=1相切的切线方程为〉=丘+1,由增生=],解得左=0或&=一&.不妨设4：y=l,

\lk2+13

x2=4y

4OO

则联立,得9y2—82y+9=0,所以外+%=J，所以

12:y=x+1,|MN|=4,-京+1

y9

\PQ\=yP+yQ+2=—,所以|MN|+|PQ|=4+图=四,D项正确.故选BCD项.

999

12.ACD【解析】当〃三2时，5（〃）一5（〃-1）=0（9〃-8）+0（9〃—7）+0（9〃一6）+0（9〃一5）

+<y（9〃—4）+<y（9〃—3）+<y（9〃—2）+<y（9〃—1）+<w（9〃）>又9/?—8=1,9°+（n—1）-91,所以

。（9〃-8）=1+〃-1=〃，同理9〃一7=29°+（〃-1）©,所以0（9”-7）=2+〃-1=〃+1,…，

9n-l=8-90+（n-l）-9',所以上（9〃-1）=8+〃-1=〃+7,9n=0-9°+n-9,所以。（9〃）=”,所以

o2kk+

S（〃）-S（〃-l）=9〃+28,A项正确；97?+lO=O-9+«o-9'+a,-9++ak_]-9+ak-9'+9+1,

G（9〃+10）=1+1+/+4+&++%=69（〃）+2,B项错误当n-\时

S（l）=0（l）+o（2）++0⑼=1+2++8+1=37当时

5（n）=5（H）-5（n-l）+5（w-l）-5（n-2）+.+S⑵-S⑴+S⑴=9〃+28+9（〃-l）+28+.+9x2

c。c.c。〃（9〃+65）9n2+65n

+28+9x1+28=-----L=--,---当--〃--=1时也符合，所以s（〃）=2，所以

22

巫L史土竺，所以出Ls（〃i）=处先_型出=2,所以数列!刨'

、为等差数列,C项正确:

n2nn-\222n

9"_ilx（l-9"）n

23f9-l

--------------2=90+9'+9+9++9"T,co=1+1++1=〃，D项正确.故选ACD项.

81-9I8

三、填空题

13.373【解析】由题意得@=3+1=4,停=疗+1,ah=>/3m-l,所以

12a—4-4p/|-4a-h+1/>|=16-4\/3m+4+w2+1=12,所以，/一4百+9=0,解得加=3百或

加=百.当，72=行时，1卜卜卜不符合题意；当加=36时，忖〉|[.所以加=3百.

14.0.15【解析】由题意知〃,所以P（X<-l）=P（X>2）=0.1,所以

P（-1WXW」、P（X<_；-P（X<—1）=0.15.

I2

7

Mi_n/o

15.-~二^【解析】如图，过点。作OE〃J5C,且DE=BC,连接F£,CE,由题意可知尸。_1_班）,

3

BC±BD,所以BOL平面尸OE,所以BDLPE,所以CE工PE,所以PE=JPC?—CE?=2.乂BDu

平面BCED,所以平面BCEDJ_平面PDE.取£>E的中点。，连接OP,则OP_L平面BCED，且OP=百,

111,n1

所以三棱锥P—BCD的体积Vp_BCD~—SMCD,OP=1X—X2X2X>/3=-----.又S4BCD=—X2X2=2,

33

x?222

S„PBC=S^PCD=2x^（272）-1=V7,5Arao=^x2>/2x^2-（V2）=2,所以三棱锥P—BCO

的表面积S=SaB8+S»Bo+S“e+S4Bc=2（2+B），设三棱锥P—3C£>的内切球半径为r,则

3V73721-273

K—__-______—_________

一S-2+近一3

I91

16.-6【解析】由5户=2P。，可得忸尸卜”，|。”=丁，连接尸尸，在RCPO尸中，由勾股定

理得时=附2,所以（2）+。2=（|“,整理得/=3,2,所以/"2=302,即"=4。2,

C1\OF\C1

所以C的离心率e=—=—.在RtZ^B。产中，cosZBFO=\~所以/BR9=60°.设直线MN交

a2\BF\a2

x轴于点尸，交BF于点H,在RtAW"中，由=_—=a=2c,所以尸'为C的左焦点，又

11cosNBFO

眼目=|用耳，|N8|=|N/|,所以ABMN的周长等于AFMN的周长，又ARWN的周长为4“，所以4a=8,

解得a=2,所以。=1,故〃=yja2—c2—>/3.

17.解：(1)由题得2sinA=3tan二二4=——__2J

AA3COS—X-

所以4sin—cos—=------｛，又0<A<4,所以0<一<一,

22.A22

sin—

2

AAA3

所以0<cos—<1,0<sin—<1,所以sin)=—==，

2224

g、i.Ay/3A7TIK

所以sin—=—,所以一=一,故4=—.

22233

(2)由题得，从sinA=，"cx卫=6,所以0c=4,又|45+47|=JAB?+AC?+2AB.AC=#,

222I।

27r

所以加+c2+2bccos——=6,故居+C2=6+Z?C=1(),

3

由余弦定理得/=〃+。2—2力ccosA=10-2x4x14,所以a=E.

18.解：（1）零假设为”o：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出2x2列联表如下:

不满意满意合计

A餐厅155267

8餐厅66369

合计21115136

136x（15x63-52x6『〜4881<7879一

Z

-67x69x21x115〜"881<7.879-与0G5，

根据小概率值a=0.005的独立性检验，没有充分证据推断〃。不成立，因此可以认为“°成立，即认为用餐学

生与两家餐厅满意度无关联.

（2）设事件4="第，次在A餐厅用餐”，事件与="第，次在8餐厅用餐”，其中i=1,2,3,

由题意A,与瓦互斥，且P（4）=P（4）=；，P（4|4）=；，P（因A）=+p（4|q）=；,p（84q）=g,

由全概率公式得尸（4）=P（A）P（4|A）+P（BJP（4|A）=；X；+；X；=|,

Z4ZZ0

531

P（fi）=l-P（A）=->又P（用%）=rP（B3\B2）=~,

22o4Z

335]19

由全概率公式得P（B,）=尸（4）P（B3|4）+P（BJP（4怛2）=、X1+鼻xj=石.

o4oZ3L

19.（1）证明：由3《用=。“+12,得见+|='；2,即令加一6=%|上一6=%刍=；（凡一6）,

又弓一6=3,所以a“一6/0,所以数列｛a“—6｝是以3为首项，g为公比的等比数列.

二MV-11

（2）解：由（1）可知，6Z-6=3x—=,

/z\3y3

1n

所以4=产+6,故〃。“=产+6〃，

设数列｛6〃｝的前〃项和为P„,数列[言]的前〃项和为7；.

所以数列｛nan｝的前〃项和S“=Tn+Pn,

/、n（n+l]0

所以月=6（1+2+.・.+〃）=6X-^~^=3/+3〃，

n-2

r=ix+2x

-©++〃xI,①

3/J

、〃一1

1

-T=lx-+2x(y+••・+”fl

⑴,②

357

\0n-2、〃一1

2

由①-②得一7；啕,如眇••陪「-喔

7

39272〃+3

所以（=5I

244x3"-

272〃+3

故数歹IJ{〃%}的前〃项和S“=r+与=w+3“2+3〃一

4X3"2

20.解：（1）连接CM,由题意得CG，BO,

又C£cGM=G，所以3O_L平面GCM，

又CMu平面GCM,所以比)J.

在Rt^BOC和Rtz^CMD中，因为NBDC=NCMD,所以RtZ^BDCRtACMD,

所以丝2=生，又AM=3MD,所以BC=4MD,

DCBC

即4MD2=£)c2=Ag2=4,所以儿〃)=1,即AD=3。=4M£)=4.

（2）直四棱柱ABC。—44GA中，底面ABC。为矩形，所以以点。为坐标原点，DA,DC,所在

由(1)可得£)(0,0,0),M(1,0,0),4(40,2)，C,(0,2,2),3(4,2,0),

则MC；=(—1,2,2),从驾=(3,0,2),MB=(3,2,0),

设平面A|MG的法向量为〃2=（不，加4），

m-MC,=-x,+2y,+2z.=0

由＜1171'取4=-3,得利=（2,4,-3）,

m•AM,=3玉+2Z]=0

设平面BMC1的法向量为〃=（工2，必/2），

n-MC=-x+2y2+2z=0,

由V]22取必二3,可得”=(—2,3,T),

n-MB-3X2+2y2-0

mn_20

cos(m,n一，所以sin（，”,〃）=

|/?z|-|n|V29xV2929'/

故二面角A.-MQ-B的正弦值为—.

21.（1）解：设动圆的圆心为M（x,y）,半径为r,

则|ME|=r+3VL9尸|=一血，所以眼目一明耳=4正＜忸同，

由双曲线定义可知，M的轨迹是以E,尸为焦点，实轴长为4夜的双曲线的右支,

所以2a=4&，2c=6,即a=20,c=3,所以。'=c2一/=1,

所以C的标准方程为土一丁=1,

8-

（2）证明：若①②二＞③：

由题可设直线/:x-8=m（y-l）,A（X],yJ,8（七,必），Q（芍，X）），M）/1，

由直线/与。交于A,8两点，所以一20cm＜20,

x-8=m(y-l)

联立4X22।得(加2—8)y2-2m(m-8)y+(m—8)--8=0,

---=1

8

“2m(m-8)(m-8)~-8

所以乂+%=卞丁，

^\AP\-\B^=\BP\-\AQ\,得”[=国!，即丛二1=如二21

BP\\BQ\'l-y2y0-y2

由题知陷所以叫H1,即P异于AB的中点，所以X+%关2,即加#1,

\BQ\\BP\力及

2(加-8)2-16.

得%=2.yM-(y+%)=_]+22yizl=_i+始-8一2=]_2,

%+%-2必+%-22加(相一8)m-\

F二8-2

x—86

又与-8=搐(％-1)，所以机=」)_-，故%=1----二^—，化简得%-%-1=0,

>0-1x0-81

所以点。在直线x-y—1=0上，又。是/上的点，所以③成立.

若①③3：

设A&,y)，B(%,%)，。(如%)，%#1，则%-%-1=0・

由P,A,B,。四点共线，设4P=4A。，BPfBQ,其中%>0且2工1,〃<0,

则「得‘空打一8_〃%-1

〃一1'2//-I

又点A在。上，所以五一寸=1,

8-1

所以（丸；11一（专一）=1'整理得（看一8火-8"2-16■-%一1"+48=0,

又小一为一1=0,所以（片一8乂一8）丸2+48=0,

48

同理（片一8%一8）/?+48=0,所以%=〃2

又几>0,〃<(),所以4=一〃，故AP=-〃AQ,BP=1/BQ,

APBP

所以——=i”,故网.|网=网卜q,叫AP|.忸@=忸叫叫成立，所以②成立.

AQBQ

若②③=①:

由题设A（x，x）,5（芍,力），尸（只川，。（如治），由|明.忸二=忸斗得图=图

2,

又点P为线段AB上一点，点。为线段AB延长线上一点,

所以设AP=4A。，BP=-ZBQ,其中九>0且；1工1,

则寸―

2

x'-Ax0

又点在上，所以互：所以1-2

AC-y=i,1,

8-181-2)

222

整理得(片一8公-8)A-(2/x0-16yy0-16)2+/-8/-8=0,

同理(片一8y；-8)22+(2x*)—16办0—16"+/-8/2-8=0,

所以2x'x0-16y'y0-