2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷（解析版）

2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共计30分）

一3分）（加・哈尔滨的绝对值是（）

A.-7B.7C.--D.-

77

2.（3分）（2021•哈尔滨）下列运算一定正确的是（）

A.a2a=a3B.（a3）2=a5C.（a-1）2=a2-1D.a5-a2=a3

3.（3分）（2021•哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.®B.®COD.@

4.（3分）（2021•哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（

）

5.（3分）（2021•哈尔滨）如图，是OO的直径，3c是OO的切线，点8为切点，若AB=8,

3

tanZBAC=一，则BC的长为（）

A.8B.7C.10D.6

6.（3分）（2021•哈尔滨）方程」1_=7的解为（）

2+x3x-l

A.x=5B.x=3C.x=lD.x=2

7.（3分）（2021•哈尔滨）如图，AABC三ADEC,点A和点。是对应顶点，点8和点E是

对应顶点，过点A作AFLCD,垂足为点/，若NBCE=65。,则NC4F的度数为（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

8.（3分）（2021•哈尔滨）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球,

这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是

（）

A.-B.-C.—D.-

23123

9.（3分）（2021•哈尔滨）如图，在AABC中，DE//BC,4）=2,BD=3,AC=10,

则AE的长为（）

10.（3分）（2021•哈尔滨）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立

刻按原路回家.在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：M与他所用的时间，（单位：疝〃）

之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（）

C.75m/min,100m/minD.80m/min,100/n/nun

二、填空题（每小题3分，共计30分）

II.（3分）（2021•哈尔滨）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为米.

12.（3分）（2021•哈尔滨）在函数卜=上二中，自变量x的取值范围是___.

7x-5

13.（3分）（2021•哈尔滨）已知反比例函数y=A的图象经过点（2,-5）,则&的值为

X

14.（3分）（2021•哈尔滨）计算的结果是.

15.（3分）（2021•哈尔滨）把多项式分解因式的结果是.

16.（3分）（2021•哈尔滨）二次函数y=-3/-2的最大值为.

不等式组I”-7〈:的解集是

17.（3分）（2021•哈尔滨）

x-5„10

18.（3分）（2021•哈尔滨）四边形"CD是平行四边形，45=6,N54E）的平分线交直线8c

于点E,若CE=2,则QABCD的周长为.

19.（3分）（2021♦哈尔滨）一个扇形的弧长是8万cm,圆心角是144。，则此扇形的半径是

20.（3分）（2021•哈尔滨）如图，矩形的对角线AC,3。相交于点O,过点O作

OEA.BC,垂足为点£,过点A作力FJLO3,垂足为点尸.若3c=2AF,OD=6,则BE

的长为—.

三、解答题（其中21-22题各7分，23-2题各8分，25-27题各10分，共计60分）

21.（7分）（2021•哈尔滨）先化简，再求代数式（匚一-竺的值，其中a=2sin45。-1.

a-\a-1a-\

22.（7分）（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，AABC

的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上.

（I）在方格纸中将AABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到AM/VP

（点A的对应点是点“，点8的对应点是点N,点C的对应点是点P）,请画出AMVP；

（2）在方格纸中画出以。E为斜边的等腰直角三角形。EF（点尸在小正方形的顶点上）.连

接O,请直接写出线段O的长.

23.（8分）（2021•哈尔滨）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活

动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必

选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理

后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的

40%.请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）请通过计算补全条形统计图：

（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名.

人数

24

24

20

16

16

12

12

8

4

冰

冰

短

高

球

壶

山

道运动项目

滑

速

雪

滑

24.（8分）（2021•哈尔滨）已知四边形438是正方形，点E在边D4的延长线上，连接CE

交4?于点G,过点3作8WLCE,垂足为点M,8M的延长线交仞于点尸，交CD的

延长线于点H.

（1）如图1,求证：CE=BH；

（2）如图2,若连接CF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的

四个三角形（A4EG除外），使写出的每个三角形都与A4EG全等.

25.(10分)(2021•哈尔滨)君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛

笔.若购买3支A种型号的毛笔和1支3种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的

毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元.

(1)求每支A种型号的毛笔和每支3种型号的毛笔各多少元；

(2)君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最

多可以购买多少支A种型号的毛笔？

26.(10分)(2021•哈尔滨)已知0。是AA8C的外接圆，A3为0O的直径，点N为AC的

中点，连接QV并延长交G)O于点E,连接BE,BE交AC于点D.

(1)如图1,求证：ZCDE+-ZBAC=\35°i

2

(2)如图2,过点。作。G_L3E,10G交他于点尸，交于点G,连接OG,OD,

若DG=BD,求证：OG//AC；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接AG,若DN二迈,求AG的长.

5

27.(10分)(2021•哈尔滨)在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线丫=0?+云

经过A(10,0),B(.|,6)两点，直线y=2x-4与x轴交于点C,与y轴交于点。，点P为

直线y=2x-4上的一个动点，连接E4.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当点P在第一象限时，设点尸的横坐标为f,AAPC的面积为S,求S关于f的

函数解析式(不要求写出自变量I的取值范围)；

(3)如图2,在(2)的条件下，点E在y轴的正半轴上，且=连接CE,当直线

8P交x轴正半轴于点L,交y轴于点丫时，过点P作尸G//CE交x轴于点G,过点G作y

轴的平行线交线段VL于点尸，连接C尸，过点G作GQ//CF交线段也于点。，NCFG的

平分线交x轴于点M，过点M作用〃//6交尸G于点过点，作“RLC尸于点R,若

FR+MH=GQ,求点P的坐标.

图1图2

2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.（3分）（2021•哈尔滨）-■!•的绝对值是（）

7

A.-7B.7C.--D.-

77

【解答］解：|一口=」，

77

故选：D.

2.（3分）（2021•哈尔滨）下列运算一定正确的是（）

A.a2-a=a3B.（a3）2=a5C.（a—I）2=o2—1D.a5—a2=a3

【解答】解：A、a2-a=a\原计算正确，故此选项符合题意；

B、（6）3="6,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、（a-l）2=a2-2a+l,原计算错误，故此选项不符合题意；

£＞、“5与/不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意.

故选：A.

3.（3分）（2021•哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.㊉◎C.G◎

【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

4.（3分）（2021•哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（

)

正面

【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2,

故选：C.

5.(3分M2021•哈尔滨)如图，A3是。。的直径，8c是。0的切线，点8为切点，若A8=8，

3

tanZ.BAC=二，则BC的长为()

4

A.8B.7C.10D.6

【解答】解：・.・AB是0O的直径，3C是OO的切线，

：.ABLBC,

.・.ZABC=90°,

tanNBAC==—，

AB4

3

/.8C=二x8=6.

4

故选：D.

「I?

6.（3分）（2021•哈尔滨）方程——=----的解为（）

2+x31

A.x=5B.x=3C.x=1D.x=2

【解答】解：去分母得：3x-l=2(2+x),

去括号得：3x-\=4+2x,

移项合并得：x=5,

检验：当x=5时，(2+x)-(3x-l)*0,

分式方程的解为x=5.

故选：A.

7.（3分）（2021•哈尔滨）如图，^ABC^NDEC,点A和点。是对应顶点，点6和点E是

对应顶点，过点A作AFJ_CO,垂足为点尸，若ZBCE=65°,则NCA尸的度数为（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

【解答】解：AABC三及犯。，

/.ZACB二ZDCE,

•;ZBCE=65。,

/.ZACD=ZBCE=65°,

-.•AF±CD,

:.ZAFC=90°,

ZCAF+ZACD=90°,

ZC4F=90o-65o=25°,

故选：B.

8.（3分）（2021•哈尔滨）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球,

这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是

（）

A.-B.-C.—D.-

23123

【解答】解：•.•从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结

果数为8,

.•.摸出的小球是红球的概率为*=2,

123

故选：D.

9.（3分）（2021•哈尔滨）如图，在AABC中，DE//BC,4）=2,BD=3,AC=10,

则短的长为（）

【解答】解：・・・。石//8。，

ADAE

..----=-----，

ABAC

・.・AD=2,BD=3,AC=10,

,2AE

…2+3"I（r，

:.AE=4.

故选：B.

10.（3分）（2021•哈尔滨）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立

刻按原路回家.在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：⑼与他所用的时间/（单位：min）

之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（）

B.80/2?/inin,90/x/min

C.75"〃min,100m/minD.80/n/min,100/n/min

【解答】解：由题意，得:

小辉从家去图书馆的速度为：1500:20=75（加/加〃）；

小辉从图书馆回家的速度为：1500+（70-55）=100（〃?/加加）.

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11.（3分）（2021•哈尔滨）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为_3.396xl（）6

米.

［解答］解：3396000=3.396xlO6.

故答案是：3.396xlO6.

12.（3分）（2021•哈尔滨）在函数y^中，自变量x的取值范围是

•lx-57

【解答】解：7x-5wO,x^—.

7

故答案为：XH*.

7

13.（3分）（2021•哈尔滨）己知反比例函数y=4的图象经过点（2,-5）,则4的值为_-10

X

【解答】解：•.■反比例函数），=V的图象经过点（2-5）,

X

k=2x（—5）=—10,

故答案为：-10.

14.（3分）（2021•哈尔滨）计算加-2/的结果是_2忘_.

【解答】解：原式=3a-2x变

2

=30

=2>/2.

故答案为：2夜.

15.（3分）（2021•哈尔滨）把多项式〃“一25。分解因式的结果是_h（a+5）（a-5）_.

【解答】解：a2b-25b

=b（a2-25）

=b（a+5）（。-5）.

故答案为：+5）（。一5）.

16.（3分）（2021•哈尔滨）二次函数y=-3d—2的最大值为2_.

【解答】解：在二次函数），=-3尤2一2中，

•.•顶点坐标为（0,-2）,

且a=—3<0,

抛物线开口向下，

.,・二次函数y=-3x2-2的最大值为-2.

故答案为：—2.

17.（3分）（2021•哈尔滨）不等式组的解集是_》<3

x-5„10

【解答】解：解不等式3%-7V2,得：x<3,

解不等式X-5“10,得：冗,15,

则不等式组的解集为xv3,

故答案为：x<3.

18.（3分）（2021•哈尔滨）四边形A58是平行四边形，AB=6,的平分线交直线8C

于点£,若CE=2,则口ABC。的周长为20或28.

【解答】解：当E点在线段5c上时，如图：

BEC

v四边形ABCO为平行四边形，

・•.BC//AD,

:.ZBEA=ZEAD,

・・・AE平分N84D,

:.ZBAE=ZEAD,

:.ZBEA=ZBAE,

;.BE=AB,

•・・AB=6,

BE=6，

・・・CE=2,

BC=BE+CE=6+2=8,

平行四边形A3C£)的周长为：2x(6+8)=28,

当E点在线段BC延长线上时，如图：

BCE

・••四边形ABCD为平行四边形,

/.BC//AD,

:.ZBEA=ZEAD,

・.4£平分二区40，

:.ZBAE=ZEAD,

:.ZBEA=ZJBAE,

BE=ABf

•・・AB=6,

/.BE=6，

・.・CE=2,

BC=BE—CE=6—2=4,

二.平行四边形ABC。的周长为：2x（6+4）=20,

综上，平行四边形MCD的周长为20或28.

故答案为20或28.

19.（3分）（2021•哈尔滨）一,个扇形的弧长是8万cm,圆心角是144。，则此扇形的半径是10

【解答】解：设扇形的半径为rem,由题意得,

144〃rc

-----二84,

180

解得r=10(cm)，

故答案为：10.

20.（3分）（2021•哈尔滨）如图，矩形45co的对角线AC,NO相交于点O,过点O作

OELBC,垂足为点石，过点A作AF_LO3,垂足为点尸.若BC=2AF,OD=6,则BE

的长为_3币＞

【解答】解：•.•四边形是矩形,

：.OA=OB=OC=OD,

•••OE1.BC,

:.BE=CE,ABOE=/COE,

又・・・3C=2AF,

・・・AF=BE,

在RtAAFO和RtABEO中，

(AF=BE

[AO=BO'

..RtAAFO^RtABEO(HL),

/.ZAOF=/BOE,

ZAOF=ZBOE=ZCOE,

又•.・NAOF+ZBOE+ZCOE=180°,

:./BOE=60。,

・.・OB=OD=6,

/.BF=O5sin60°=6x—=3^,

2

故答案为：373.

三、解答题（其中21・22题各7分，23・2题各8分，25・27题各10分，共计60分）

21.（7分）（2021•哈尔滨）先化简，再求代数式（二一-竺？）+，-的值，其中4=201145。-1.

a-\a-1a-\

2。+3ci—

【解答】解：原式

a-\a(Q-1)(Q+1)a

_32。+3

aa(a+I)

3(〃+1)2a+3

〃(4+l)。(。+1)

3a+3—2a—3

一_a(a+\)―

a(a+1)

1

^+T

当a=2sin45°-l=2x也一1=&-1时,

2

原式日考

22.（7分）（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，^ABC

的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中将AA8c向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到AMNP

（点A的对应点是点M,点3的对应点是点N,点C的对应点是点P）,请画出&WWP；

（2）在方格纸中画出以3E为斜边的等腰直角三角形。防（点尸在小正方形的顶点上）.连

接EP,请直接写出线段EP的长.

23.（8分）（2021•哈尔滨）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活

动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必

选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理

后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的

40%.请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）请通过计算补全条形统计图；

（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名.

人数

20

16

16

12

12

S

4

冰

冰

短

高

壶

球

山

道运动项目

滑

速

雪

滑

【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：24+40%=60（名）；

（2）最喜欢冰球项目的人数有：60-16-24-12=8（名），补全统计图如下:

冰

冰

短

高

球

壶

道

山运动项目

速

滑

滑

雪

（3）根据题意得：

12

1500x—=300（名），

60

答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名.

24.（8分）（2021•哈尔滨）已知四边形A5CD是正方形，点E在边D4的延长线上，连接CE

交AB于点G,过点5作a0LCE,垂足为点M,3M的延长线交4）于点尸，交CD的

延长线于点H.

（1）如图1,求证：CE=BH；

（2）如图2,若连接CN,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的

四个三角形（A4EG除外），使写出的每个三角形都与AA£G全等.

【解答】证明：（1）・・•四边形ABCD是正方形,

:.BC=CD=AD=AB,ZBCD=ZADC=90°,

•;BM工CE,

/.ZHMC=ZADC=90°f

/.ZH+Z//CM=90°ZE+ZECD，

.,.ZH=ZE,

在A£DC和AHCB中，

ZE=/H

</EDC=NHCB=90。,

CD=BC

\EDC=\HCB{AAS），

:.CE=BH；

（2）ABCG,ADCF,NDHF,MBF,

理由如下：\'AE=AB,

:.AE=BC=AD=CD,

•・・AEDC3AHC8,

:.ED=HC,

\AD=CDf

;.AE=HD=CD=AB,

在AAEG和ABCG中，

/EAG=NCBG=90。

<ZAG£=4BGC,

AE=BC

MEG三ABCG(AAS),

AG=BG=-AB,

2

同理可证A4EB三由用，

AF=DF=-AD,

2

/.AG=AF^DF,

在AAEG和A4班1中，

AE=AB

<ZEAG=ZBAF=900,

AG=AF

:.^EG=MBF(SAS),

同理可证AAEG三ADHF,AAEG=ADCF.

25.(10分)(2021•哈尔滨)君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的4、B两种型号的毛

笔.若购买3支A种型号的毛笔和1支3种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的

毛笔和3支8种型号的毛笔需用24元.

(1)求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；

(2)君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最

多可以购买多少支A种型号的毛笔？

【解答】解：(1)设每支A种型号的毛笔x元，每支3种型号的毛笔y元；

3x+y=22

由题意可得:

2x+3y=24

.[x=6

解得：\,

[y=4

答:每支A种型号的毛笔6元，每支3种型号的毛笔4元；

(2)设A种型号的毛笔为。支，

由题意可得：6a+4(80-a)„420,

解得：4,50,

答：最多可以购买50支4种型号的毛笔.

26.(10分)(2021•哈尔滨)已知0O是A48c的外接圆，A3为OO的直径，点N为AC的

中点，连接QV并延长交。O于点E,连接BE,BE交AC于点、D.

(1)如图1,求证：NC£>E+，N8AC=135。；

2

(2)如图2,过点。作DG_L8E,Z)G交AB于点尸，交。。于点G,连接OG,OD,

若DG=BD,求证：OGHAC-.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接AG,若。N=2且，求AG的长.

5

图1图2图3

:.ZBAP=NCAP,

•.•点N为AC的中点,

AE=CE,

:.ZABE=/CBE,

・・・AB是。。的直径，

/.ZC=90°,

/.ZBAC+ZABC=90°,

ZQAB+4QBA=1x90°=45°,

/.ZAQB=NEQP=135。，

AAQ。中，ZEQP=NG4P+ZADQ=135°,

NCDE+-ABAC=135°;

2

(2)证明：在ADGO和AZMO中,

DG=BD

<OD=OD,

OG=OB

・•.XXX)三XDBO(SSS),

:.ZABD=ZDGO9

­.DGA.BE,

/.ZGZ)B=90°,

二ZADG+4BDC=90°，

・・,ZBDC+/CBE=9Cf,

;.ZADG=NCBE=ZABD=NDGO,

\OGHADx

(3)解：如图3,过点G作GK_LAC于K,延长GO交3C于点”,

图3

由(2)知：OG//AC,

:.GH//AC9

NOHB=/C=90。,

OH1BC,

:.BH=CH,

•・・NK=NC=NOHC=9Q°,

••・四边形G〃CK是矩形，

:.CH=GK,

设GK=y,则8C=2y,ON=GK=y,

由(2)知：ZADG=/DBC,

在AGKD和ADCB中，

ZADG=NDBC

<NK=NC，

DG=BD

/.AGKD=ADCB(A4S),

:.GK=DC=y,

•;OE/IBC,

:"E=/DBC,

.,.tanZDBC=tanE,

2逐

:.生=处,即二工，

BCEN2yEN

.口z4石

..EN=---,

5

2R

...A/V=CN=y+-^",ON=y,

由勾股定理得：AO2=ON2+AN2,

，(>+季)2=9+()，+挛)2,

27.(10分)(2021•哈尔滨)在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线》=0^+法

经过4(10,0),B(1,6)两点，直线y=2x-4与x轴交于点C,与y轴交于点。，点P为

直线y=2x-4上的一个动点，连接R4.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当点P在第一象限时，设