2023年广东省普通高中学业水平选择考模拟测试（一）数学试卷及答案

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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（-）

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位

号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘

贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能

答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

I.已知集合M=\x\x（x-2）<0|,|x|x-l<0},则下列Venn图中阴影部分可以表示集合

I*I1Wx<2］的是

2.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个

圆锥和圆柱的侧面积之比为

L旦B5

A万B.2「an/3

2,

3）已知函数I-IT）,*<°若.八。）</（6-。），则实数a的取值范围是

A.(-3,+oo)B.(-oo,-3)C.(3,+oo)D.(-oo,3)

数学模拟测试（一）第1页（共6页）

4.如图所示是中国2012—2021年汽车进、出口量统计图，则下列结论错误的是

・进口量

0出口量

A.2012—2021年中国汽车进口量和出口量都是有•增有减的

B.从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量

C.2012—2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆

D.2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差

5.在复平面内，已知复数z满足|z-l|=|z+i|（i为虚数单位），记z°=2+i对应的点为点Z。/

对应的点为点Z,则点Z。与点Z之间距离的最小值为

A.2B.&C.2D272

6.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡

A.96种,,R64种C.32种D.16种

--2L1

7.已知双曲线C:a?/=(a>0,b>0),点B的坐标为(0,6),若C上的任意一

点P都满足则C的离心率取值范围是

+00

C（1，⑨D+8）

&水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相

切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为

数学模拟测试（一）第2页（共6页）

:、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小）,它在

"s）时刻相对于平衡位置的高度Mem）可以由/,=28in［y<+^jg

定，则下列说法正确的是暮

A.小球运动的最高点与最低点的距离为2cmW▲h>0

B.小球经过4s往复运动一次。卜

（h<0

C.Ce（3,5）时小球是自下往上运动’

D.当z=6.5时，小球到达最低点

10.在四棱锥ST独中，SD_1_平面/156。四边形4BCD是正方形，若SD=AD,则

A.ACLSDB.AC与SB所成角为60。

B

C.BD与平面SCD所成角为45。D.BD与平面S4B所成角的正切值为3

11-已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称，过点C的直线Z与

抛物线E交于A,B两点（点A和点。在点6的两侧），则下列命题正确的是

A.考■即为的中线,则|4F|=2|B尸］

B.若跖为乙”C的角平分线，则|4F|=6

c,存在直线z,使得=々］4尸］

D.对于任意直线Z,都有L+Ml>2|CF|

12.已知定义在R上的函数/（%）,对于给定集合4,若V0，出eR,当加时

都有一下（4）-/（出）eA,则称.f（x）是“4封闭”函数.则下列命题正确的是

A./（*）='是“［-1,1］封闭”函数

B.定义在R上的函数/&）都是“｛0｝封闭”函数

C.若/（X）是“｛1｝封闭”函数，则/（X）一定是“小｝封闭”函数（AeN*）

D,若/⑷堤“1>，口封闭”函数（*6eN*）,则/（“）不一定是“1出封闭”函数

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡的相应位

置上。

13.已知向量a=,0满足I。1=2,⑻=40-4）•°二°,贝a与b的夹角为•

14.在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边估所在直线斜率为26,则边AC所

在直线斜率的一个可能值为_____•

15.已知工（工）是定义在R上的奇函数，且人工）在［0,2］上单调递减，八*+2）为偶函

数，若/（工）=血在［0,12］上恰好有4个不同的实数根

数学模拟测试（。第3页（共6页）

16•已知动圆N经过点4(60)及原点0,点P是圆N与圆M:孑+(7-4)2=4.的一个公共

点,则当弘最小时，圆N的半径为•

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

在△48C中，角A,与C的对边分别为ab,c,己知cos24+cos2B-cos2c=1-2sinAsin

B

(1)求角C的大小；

(2)求sinA+sinB+sinC的取值范围.

18.(12分)

已知各项都是正数的数列।,前n项和S”满足d=2&-45WN")

(1)求数列1册1的通项公式.

(2)记P.是数列｛sJ'1

的前“项和，Q"是数列的前n〃项和当22时,试比

数学模拟测试(一)第4页(共6页)

19.(12分)

如图所示的在多面体中，AB=AD,EB=EC,平面ABDJ_平面BCD,平面BCE±平面BCD,点

F,G分别是CD,BD中点.

(1)证明：平面AFG"平面BCE;

(2)若BC：LBD,BC=BD=2,AB五,跳'=6.求平面MG和平面ME夹角的

余弦值.

20.(12分)

某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其

中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为；每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一

次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即

为不中奖

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列

和数学期望.

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，宜接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布

列和数学期望.

(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要

理由.

数学模拟测试(一)第5页(共6页)

2,1.（12分）

^=+亡-］（〃>〃>0）

己知点儿点〃和点C为椭圆C:『b1~’上不同的三个总，当点4,

点6和点。为椭圆的顶点时，△48C恰好是边长均2的等边三为形

（1）求椭圆C的标准方程；

22.（12分）

已知函数.f（x）=比"、

（1）求f（x）的极值;

匕），（a+1）%+lnx+2

数学模拟测试（•）第6页（共6页）

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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）

数学参考答案

评分标准：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可#〉据试题的主

要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

题号12345678

答案BCDDCBAC

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

题号9101112

答案BDACDADBC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上。

13.y14.-挈或罗）15.2416.5

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）因为cos24+cos28-cos2c=1-2sinAsin民所以1-2siMA+1-2siEB-（1-2

sin2C）=1-2sinAsinB,.........................................................................................1分

整理得sii?/+sin2B-sin2C=sinAsinB,...................................................................2分

由正弦定理得/+沪一/二必..........................................3分

2z2,2[

由余弦定理得cosc=二亍......................................................................4分

因为C丘（0,TT）,所以C二#......................................5分

数学模拟测试（一）参考答案第1页（共8页）

2TF

(2)sin/4+sin8+sinC6分

=smA+$m^^AccsA-cos^AsmA+A-

332

3.A

=届心+gj+给.......................

8分

在AMC中，因为C=f所以0＜4＜「,9分

所以于〈人+于＜¥,所以前WT所以石〈屈血（4+朋+jw打2

所以sinA+sinB+sinC的取值范围为（石伊分

18.解：（1）当"=1时，a;=2S,-«!=«!,所以幻=1或s=0（舍去）........1分

._L..\dn=2S„-dn,

当心2时，有..................................2分

=2S-J,

两式相减得a;-a二i=2a”_a"+a”“=a"+a”"，....................3分

整理得（a"+a-i）（«„=5+«,J....................................................................4分

因为｛的各项都是正数，所以

所以｛a”｝是首项为1，公差为1的等差数列..........................5分

⑵由⑴得S”n（n+1）,则右2II\...........................

-26n(n+1)IH〃+1J'

所以P”杂石L…+第*f手耳盲+“4_R)5I1I'。心

8分

由⑴得_L19分

所以*?，尸-+-+_1-…+」一=11_2/_?1\

2-2'-1",I—2”)

Cr4|一

..........................................................................................................................10分

因为2"=(1+1)°=1+n+''&\1)+...>1+n>0(nA2),

所以故1诗>1-二，

数学模拟测试（一）参考答案第2页（共8页）

所以当心2时，P„<Q„.12分

19.解：（1）如图，取BC中点连接因为仍幽访以M1瓦；……1分

又因为平面BCE_L平面BCD,平面比制平面BCD=BC,

EHU平面BCE,所以£7/_L平面BCD,........................................2分

同理可得4G，平面BCD,

所以...................................3分

又因为4G（7平面比瓦平面8笫所以4G〃平面

因为点F,G分别是CD,中点，所以股勿叫

又因为FGQ平面BCE,BCU平面BCE,所以FG"平面BCE,5分

又因为4GGFG二G,AG,FGU平面4FG,所以平面4FG"平面BCE.……6分

（2）方法一：/为EC1.BD,比"%所以FG_L

由（1）知4G屹4G_L平面BCD,GFU平面BCD,所以

4G±GF,

所以GF,能以两两相互垂直...................7分

如图，以点G为坐标原点，GF,第以分别为％轴，

y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为43二Q,BE='5,所以GA=GB=1,EH=2,BH=1,

则4(0,0,1),C(2,1,0),E(l,1,2),..............8分

平面4FG的一个法向量为亦二(0,2,0)...........9分

设平面4CE的法向量为A=（x,Y,z）,由4C=。1,-1),CE=

(10.2),

3x

nAC=0,(2x+y-z=.)'=~"2„ZE3

得一。即解得i取%=2,得A-3,1),

.nCE=O,%+2z—0..

..............................................................................................................................................10分

设平面4叨和平面4位的夹角为0,

rmi八IfTTnHz?•DBI63y/14

贝I]cos0-|cos<n,DB,|=----=-----产=------,

所以平面板和平面431的夹角的余弦值为牛理I2分

方法二.,因为平面〃平面BCE,所以平面和平面4CE的夹角即二面角

A-CE-B.

如图，过点4作4M._LCE,垂足为点M,过点M作MV_LEC交BE于点N,则/、AMN为

二面角4-位-8所成平面角........................................7分

数学模拟测试（一）参考答案第3页（共8页）

在以46笫中，GC-VB@+BC二点,

在RtzMCG中，AC=VA6f+Ge=V6,

(AG//EH,i

在直角梯形4G皿中，T[______T「二GH=*DC=!S,

所以力£=/(2-l)?+(历$=启,

Ac解+况一任4

在MCE中，cos乙

2-AC-CE同'

/14

所以sinZACE=“30?

1

利用三角形等面积可得S△伽二才•40CE-sin乙4CE二

六区x6x篇二:如CE=F/5•久

M.所以4M二

晋，EM=]37=牛9分

因为cos乙BEC二2cos?乙BE7/—1二宁，所以E7V二芋，MN=二.............10分

过点N作NP_1.BC于P,r二1一筹二寻，贝二誓，NP=

/14

GP二+gp2二半,所以如V二加)J+小：3,

...........11分

141614

二吕尹，所以平面和平面4CE夹角的余弦值为葺尹I2分

20.解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率

、LC；+

1__4

列7A2二9,1分

因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数x服从二项分布，即X〜B（2,£2分

所以X的所有可能取值为0,1,2,则

0

p（X=O）二C;•45225

*811

数学模拟测试（一）参考答案第4页（共8页）

40

81?

”x《）

所以X的分布列为

X012

254016

P

818181

4分

所以X的数学期望为E（X）=2xy=|-.5分

（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数］的所有

可能取值为0,1,2,6分

,+,Cl+Cf13

p(y=2)(；-f；--o

=,GF63,

所以『的力布物力

Y012

201013

P

632163

9分

所以『的数学期望为£（「）=ix2i+2x63=T10分

（3）（答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可）

因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，

即磐第⑴不中奖的概率比第（2）问小，即k|j,

回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方

式进行抽.........................................................12分

回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.

....................................................................................................................................12分

21.解：

（1）当点£点「和点C为椭圆的顶点时，MPC恰好构成边长为2的等边三角形,

数学模拟测试（一）参考答案第5页（共8页）

①当点久点〃和点C中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时,

不妨设点力，点"为上顶点和下顶点，点c为右顶点，此时，。二0,6二1,

..................................................................................................................................2分

②当点久点"和点C中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，

不妨设点久点〃为左顶点和右顶点，点C为上顶点，此时，。二1,6二阿（舍去），

..................................................................................................................................3分

2

所以椭圆的标准方程为y+y2=l...................................................................................4分

（2）设/（p,g）,B（%i,yj,C（%2,y*

因为QI+OB+OC=0,所以p+%[+%2二0,g++y2=0,

①当直线斜率不存在时，即衍二兀2,71=-）则人（-2衍，0）,因为点4在椭圆上，所

所以IBCI=0,点4到8c的距离为13儿=于

此时SAABC=*X岛X=£..................................................................................5分

②当直线PC斜率存在时，设直线PC方程为y=也+叫(y—kx+m,

x22消去丁整理得(1+3应2)兀2+6hnx+3W-3=0,

T+y",

满足Z1二(6kmF-12(1+3k^)(m2-1)=12(3^+1-zM)>0,

由韦达定理得+兀2二衍%2Z13;;3J)..............................................................6分

所以71+丁2二应(衍+兀2)+2肌2m

1+3旷

KH匕r、r/、6km/■.2Tn7分

所以p=-(Xi+X2)53",g=_d+y2)=-仃菜'............................&分

又因为点4血湃椭圆;+晨=1上，所叫芒制.(二!).，

化简得加？=1+3&..........................................................................................

所以|〃C|=M+斥一%\=、/1+Z?.一6；；,_43(ZM-1)

\1+3A;2

力+X.2源J3无2+]肌力+X,也物”

21+3斥

"+斥.HIM=J1+Z?6l772|_3/_+Z?〔0分

1+3斥4m22\m\

数学模拟测试（-）参考答案第6页（共8页）

6km2m

所叫到直线BC的距离d=*="7=心,

11分

所以SAx(ic=y•ECI-*13)1+X/5/77/

2ImI71+A2

9|zn|彳_9|zn|$_2

1+3A;24/nz4

Q

综上所述，/MEC的面积为j.........................................................................................12分

22.解：(1)求导得r(x)=(x+l)er.......................1

分

所以当/'(%)>0时」>-1;当广(x)以Bt,%v-1,

tlCKl//-rr\-tr/c〃/\L品■:田，；6天//Ic\L品•:田，至44Mlc/I

⑵方法一：由题知不等式x/i(a+l)x*2在兀丘(0,+GO)上恒成立，则原问题

等价于不等式饥小在兀丘(0,+Q上恒成立，

5分

i己g(x)=In%-%-2,贝(Jg'(x)=(%+!)e"t-1一(%+1)(e

6分

记则小)=厂+」＞0恒成立，

A

所以人(兀)在(0,+G0)上单调递增，又h[~\=ei+e2-e2<0,h(1)=-1>0,

\el

所以存在％丘(J,1),使得h(%o)=0...........................................................................7分

即当％V%日寸,A(%)〈0,此日寸g<x)<0;