专题8.6空间利用率的相关计算及晶胞结构分析-备战

空间利用率的相关计算及晶胞结构分析【考纲要求】能根据晶胞确定晶体的组成并进行相关的计算。考点一晶胞结构分析【核心知识梳理】1．晶胞结构的分析(1)判断某种微粒周围等距且紧邻的微粒数目时，要注意运用三维想象法。如NaCl晶体中，Na＋周围的Na＋数目(Na＋用“”表示)：每个面上有4个，共计12个。(2)记住常见晶体如干冰、冰、金刚石、SiO2、石墨、CsCl、NaCl、K、Cu等的空间结构及结构特点。当题中信息给出的某种晶胞空间结构与常见晶胞的空间结构相同时，可以直接套用该种结构。2．晶胞中微粒数目的计算方法——均摊法(1)原则：晶胞中任意位置上的一个原子如果是被n个晶胞所共有，那么，每个晶胞对这个原子分得的份额就是eq\f(1,n)。(2)方法A.长方体(包括立方体)晶胞中不同位置的微粒数的计算方法如图所示：B.非长方体晶胞中粒子视具体情况而定：a．三棱柱b．六棱柱A．NaCl(A．NaCl(含4个Na，4个Cl-)B．干冰(含4个CO2)C．CaF2(含4个Ca2+，8个F-)D．金刚石(含8个C)E．体心立方(含2个原子)F．面心立方(含4个原子)3．“均摊法”在晶胞组成计算中的应用(1)计算一个晶胞中微粒的数目非平行六面体形晶胞中微粒数目的计算同样可用“均摊法”，其关键仍是确定一个微粒为几个晶胞所共有。例如，石墨晶胞：每一层内碳原子排成六边形，其顶点(1个碳原子)对六边形的贡献为eq\f(1,3)，那么一个六边形实际有6×eq\f(1,3)＝2个碳原子。又如，六棱柱晶胞(MgB2晶胞)如图：。顶点上的原子为6个晶胞(同层3个，上层或下层3个)共有，面上的原子为2个晶胞共有，因此镁原子个数为12×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＝3个，硼原子个数为6。(2)计算化学式(3)=1\*GB3①单位换算：1nm＝10－7cm、1pm＝10－10cm②金属晶体中体心立方、面心立方堆积中的几组公式(设棱长为a)a．面对角线长：eq\r(2)ab．体对角线长：eq\r(3)ac．体心立方堆积：4r＝eq\r(3)a(r为原子半径)d．面心立方堆积：4r＝eq\r(2)a(r为原子半径)4．原子分数坐标(1)概念原子分数坐标参数，表示晶胞内部各原子的相对位置。(2)坐标原点的确定以立方体的三个棱延长线构建坐标轴，以晶胞边长为1个单位长度，O为坐标原点，其分数坐标规定为(0,0,0)、A的坐标为(1,0,0)、B的坐标为(1,1,0)、C的坐标为(1,1,1)。(3)晶胞投影①概念用一组光线将物体的形状投射到一个平面上去，称为“投影”。在该平面上得到的图像，也称为“投影”。②分类正投影和斜投影。正投影即是投射线的中心线垂直于投影的平面，其投射中心线不垂直于投射平面的称为斜投影。目前我们遇到的题目中所涉及到的都是正投影。③体心立方晶胞结构模型图的原子坐标与俯视图a.若原子1，原子3，原子7的坐标分别为(0,0,0)，(1,1,0)，(1,1,1)；则原子2，原子4，原子5，原子6，原子8，原子9的坐标分别为(0,1,0)，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))。b.沿x、y轴的俯视图为。④面心立方晶胞结构模型图的原子坐标与俯视图a.原子10～15分别位于六个面的面心，原子1的坐标为(0,0,0)，则确定坐标参数：10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，11eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，\f(1,2)))，13eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，14eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))。b.沿x、y轴的俯视图为。③金刚石的原子坐标与俯视图a.若a原子为坐标原点，晶胞边长的单位为1，则原子1,2,3,4的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,4)，\f(3,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(1,4)))。b.沿x、y轴的俯视图为。【精准训练1】晶胞结构分析1.某晶体结构中最小的重复单元如图所示。A为阴离子，在立方体内；B为阳离子，位于立方体的顶点和面心，则该晶体的化学式为()A．B2AB．BA2C．B7A4D．B4A72.下列有关离子晶体的数据大小比较不正确的是()A.熔点：NaF＞MgF2＞AlF3B.晶格能：NaF＞NaCl＞NaBrC.阴离子的配位数：CsCl＞NaCl＞CaF2D.硬度：MgO＞CaO＞BaO3．某研究小组发现首例带结晶水的晶体在5K下呈现超导性。据报道，该晶体中含有最简式为CoO2的层状结构，结构如图(小球表示Co原子，大球表示O原子)。下列用粗线画出的CoO2层状结构的晶胞(晶胞是在晶体中具有代表性的最小重复单元)示意图不符合化学式的是()4．以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标。如图中原子1的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，则原子2和3的坐标中正确的是()A．原子2为(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))B．原子2为(0，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))C．原子3为(1，0，eq\f(1,2))D．原子3为(0，0，eq\f(1,2))考点二晶体中空间利用率的计算【核心知识梳理】空间利用率(η)(1)概念：指构成晶体的原子、离子或分子总体积在整个晶体空间中所占有的体积百分比。(2)金属晶体空间利用率空间利用率＝eq\f(球体积,晶胞体积)×100%，球体积为金属原子的总体积。(3)空间利用率的计算①简单立方堆积设原子半径为R，由于原子在晶胞棱的方向上相切，可以计算出晶胞参数：a＝b＝c＝2R，α＝β＝γ＝90°。每个晶胞中包含一个原子。η＝eq\f(1×\f(4,3)πR3,a3)×100%＝eq\f(1×\f(4,3)πR3,2R3)×100%≈52.36%。②体心立方堆积设原子半径为R，由于原子在晶胞体对角线方向上相切，可以计算出晶胞参数：a＝b＝c＝eq\f(4\r(3),3)R，α＝β＝γ＝90°。每个晶胞中包含两个原子。η＝eq\f(2×\f(4,3)πR3,a3)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πR3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3)R,3)))3)×100%≈68.02%。③面心立方最密堆积设原子半径为R，由于原子在晶胞面对角线方向上相切，可以计算出晶胞参数：a＝b＝c＝2eq\r(2)R，α＝β＝γ＝90°。每个晶胞中包含四个原子。η＝eq\f(4×\f(4,3)πR3,a3)×100%＝eq\f(4×\f(4,3)πR3,2\r(2)R3)×100%≈74.05%。④六方最密堆积设原子半径为R，根据原子在晶胞中的相切关系，可以计算出晶胞参数：a＝b＝2R，c＝eq\f(2\r(6),3)a≈1.633a，α＝β＝90°，γ＝120°。每个晶胞中包含两个原子。η＝eq\f(2×\f(4,3)πR3,a×\f(\r(3)a,2)×c)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πR3,2R×\r(3)R×1.633×2R)×100%≈74.05%。⑤金刚石型堆积设原子半径为R，由于原子在晶胞体对角线方向上相切(相邻两个碳原子之间的距离为晶胞体对角线的四分之一)，可以计算出晶胞参数：a＝b＝c＝eq\f(8\r(3),3)R，α＝β＝γ＝90°。每个晶胞中包含八个原子。η＝eq\f(8×\f(4,3)πR3,a3)×100%＝eq\f(8×\f(4,3)πR3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3)R,3)))3)×100%≈34.01%。【精准训练2】晶体中空间利用率5.Ga和As的摩尔质量分别为MGag·mol-1和MAsg·mol-1，原子半径分别为rGapm和rAspm，阿伏加德罗常数值为NA，则GaAs晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为_____。6.钛晶体的晶胞，如图所示。晶胞的空间利用率为(用含π的式子表示)。7.碳元素能形成多种同素异形体，其中金刚石的晶胞结构如图所示。则一个晶胞的质量是______，该晶胞的空间利用率为______(用含π的式子表示)。8.一种铁氮化合物具有高磁导率，可用于制电子元件。该化合物密度为ρg·cm-3，其结构如图所示：计算Fe(Ⅱ)构成正八面体的体积为_____cm3。【真题感悟】1．【2021·全国乙卷节选】在金属材料中添加AlCr2颗粒，可以增强材料的耐腐蚀性、硬度和机械性能。AlCr2具有体心四方结构，如图所示。处于顶角位置的是_________原子。设Cr和Al原子半径为rCr和rAl，则金属原子空间占有率为____________________％（列出计算表达式）。2．【2021·河北卷节选】○、●分别用表示H2P4-和K+，KH2PO4晶体的四方晶胞如图（a）所示，图（b）、图（c）分别表示的是H2P4-和K+在晶胞xz面、yz面上的位置。②晶胞在x轴方向的投影图为（填标号）。3．【2021·湖南卷节选】下图是Mg、Ge、O三种元素形成的某化合物的晶胞示意图。①已知化合物中Ge和O的原子个数比为1:4，图中Z表示 原子(填元素符号)，该化合物的化学式为 ；4．【2021·山东卷节选】XeF2晶体属四方晶系，晶胞参数如图所示，晶胞棱边夹角均为90°，该晶胞中有 个XeF2分子。以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称为原子的分数坐标，如A点原子的分数坐标为(EQ\f(1,2)，EQ\f(1,2)，EQ\f(1,2))。已知Xe-F键长为rpm，则B点原子的分数坐标为；晶胞中A、B间距离d= pm。5．【2021·福建卷节选】类石墨相氮化碳（g-C3N4）作为一种新型光催化材料，在光解水产氢等领域具有广阔的应用前景，研究表明，非金属掺杂（O、S等）能提高其光催化活性。g-C3N4具有和石墨相似的层状结构，其中一种二维平面结构如下图所示。回答下列问题：每个基本结构单元（图中实线图部分）中两个N原子（图中虚线圈所示）被O原子代替，形成O掺杂的g-C3N4（OPCN）。OPCN的化学式为。6．【2020·全国=2\*ROMANI卷节选】LiFePO4的晶胞结构示意图如(a)所示。其中O围绕Fe和P分别形成正八面体和正四面体，它们通过共顶点、共棱形成空间链结构。每个晶胞中含有LiFePO4的单元数有____个。电池充电时，LiFeO4脱出部分Li+，形成Li1−xFePO4，结构示意图如(b)所示，则x=_______，n(Fe2+)∶n(Fe3+)=_______。7．【2020·山东卷节选】以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子的分数坐标。四方晶系CdSnAs2的晶胞结构如图所示，晶胞棱边夹角均为90°，晶胞中部分原子的分数坐标如下表所示。坐标原子xyzCd000Sn000.5As0.250.250.125一个晶胞中有_________个Sn，找出距离Cd(0，0，0)最近的Sn_________(用分数坐标表示)。CdSnAs2晶体中与单个Sn键合的As有___________个。【课时达标训练】如图是晶体Fe3O4的晶胞，该晶体是一种磁性材料，能导电。晶胞中氧离子的堆积方式与某金属晶体原子堆积方式相同，该堆积方式名称为。2.晶胞有两个基本要素：①原子坐标参数，表示晶胞内部各原子的相对位置。下图为Ge单晶的晶胞，其中原子坐标参数A为(0，0，0)；B为(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))；C为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)。则D原子的坐标参数为________。3．某种离子液体低温下的晶胞结构如图所示。已知该晶体的密度为ρg·cm－3，X＋和Y－半径分别为apm、bpm，X、Y的相对原子质量分别用M(X)、M(Y)表示，阿伏加德罗常数的数值为NA。该晶胞中离子的体积占晶胞体积的百分率为__________(列式即可)。4．金晶体是面心立方最密堆积，已知立方体的每个面上5个金原子紧密堆积，金原子半径为rcm，则金晶体的空间利用率为()A.eq\f(\f(4,3)π,2\r(2)3)×100%B.eq\f(4×\f(4,3)π,2\r(2)3)×100%C.eq\f(4×\f(4,3)π,\r(2)3)×100%D.eq\f(4×\f(4,3)r,2\r(2)3)×100%答案【精准训练1】晶胞结构分析1.答案B解析根据题图知，属于该晶胞的A的粒子数为8，B的粒子数为8×eq\f(1,8)＋6×eq\f(1,2)＝4，故该晶体的化学式为BA2。2.答案A解析由于Na＋、Mg2＋、Al3＋的离子半径依次减小，所带电荷数依次增加，所以NaF、MgF2、AlF3的晶格能依次增大，即熔点依次升高，A错误；F－、Cl－、Br－的半径依次增大，NaF、NaCl、NaBr的晶格能依次减小，B正确；CsCl、NaCl、CaF2中阴离子的配位数分别为8、6、4，C正确；Mg2＋、Ca2＋、Ba2＋的半径依次增大，MgO、CaO、BaO的晶格能依次减小，即硬度依次减小，D正确。3．答案D解析CoO2层状结构的晶胞中含有Co原子数为1，含有O原子数为4×eq\f(1,2)＝2，所以Co原子数与O原子数之比为1∶2，正确；B项，CoO2层状结构的晶胞中含有Co原子数为1＋4×eq\f(1,4)＝2，含有O原子数为4，所以Co原子数与O原子数之比为1∶2，A项正确；CoO2层状结构的晶胞中含有Co原子数为4×eq\f(1,4)＝1，含有O原子数为4×eq\f(1,2)＝2，所以Co原子数与O原子数为1∶2，C项正确；CoO2层状结构的晶胞中含有Co原子数为1，含有O原子数为4×eq\f(1,4)＝1，所以Co原子数与O原子数之比为1∶1，D项错误。4．答案D解析原子1的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，则坐标系为，原子2在晶胞底面的中心，2的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)；原子3在坐标系z轴所在棱的一半，3的坐标为(0，0，eq\f(1,2))，故选D。【精准训练2】晶体中空间利用率5.答案eq\f(4π×10－30×NAρr\o\al(3,Ga)＋r\o\al(3,As),3MGa＋MAs)×100%解析分析GaAs的晶胞结构，4个Ga原子处于晶胞体内，8个As原子处于晶胞的顶点、6个As原子处于晶胞的面心，结合“均摊法”计算可知，每个晶胞中含有4个Ga原子，含有As原子个数为8×1/8＋6×1/2＝4(个)，Ga和As的原子半径分别为rGapm＝rGa×10－10cm，rAspm＝rAs×10－10cm，则原子的总体积为V原子＝4×eq\f(4,3)π×[(rGa×10－10cm)3＋(rAs×10－10cm)3]＝eq\f(16π,3)×10－30(req\o\al(3,Ga)＋req\o\al(3,As))cm3。又知Ga和As的摩尔质量分别为MGag·mol－1和MAsg·mol－1，晶胞的密度为ρg·cm－3，则晶胞的体积为V晶胞＝eq\f(4MGa＋MAs,ρNA)cm3，故GaAs晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为eq\f(V原子,V晶胞)×100%＝eq\f(\f(16π,3)×10－30r\o\al(3,Ga)＋r\o\al(3,As)cm3,\f(4MGa＋MAs,ρNA)cm3)×100%＝eq\f(4π×10－30×NAρr\o\al(3,Ga)＋r\o\al(3,As),3MGa＋MAs)×100%。6.答案eq\f(\r(3),8)π×100%解析令原子半径为r，则晶胞棱长为eq\f(4,3)eq\r(3)r。一个晶胞中包含两个Ti原子，故原子空间利用率为eq\f(\f(4,3)πr3×2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\r(3)r))3)×100%＝eq\f(\r(3),8)π×100%。7.答案eq\f(96,NA)geq\f(\r(3),16)π解析每个晶胞中，8个顶点、6个面上各有一个原子，晶胞内有4个原子，故一个金刚石晶胞中共有8个原子，物质的量为eq\f(8,NA)mol，质量为eq\f(96,NA)g。设晶胞参数为a，则晶胞面对角线长为eq\r(2)a，又设碳原子半径为r，则晶胞体对角线长度为8r，a2＋(eq\r(2)a)2＝(8r)2，r＝eq\f(\r(3),8)a,8个碳原子的总体积为8×eq\f(4,3)πr3，晶胞的体积为a3，由此求出空间利用率为eq\f(\r(3),16)π。8.答案EQ\f(8π(2eq\o\ac(r)\o\al(3,Cr)＋eq\o\ac(r)\o\al(3,Al)),3a2c)×100%解析晶胞中Fe(Ⅱ)数目为6×1/2=3，Fe(Ⅲ)数目为8×1/8＝1，共4个，N原子位于体心，数目为1个，所以氮化铁的化学式为Fe4N。晶胞质量m＝238/NAg，若晶胞边长为acm，则晶胞质量m=ρV=ρa3=238/NA，a3=238/ρNA。Fe(Ⅱ)围成的八面体相当于两个正四棱锥，底面为正方形，对角线长为晶胞边长，并且两对角线相互垂直，S底=1/2a2cm2，正四棱锥的高等于1/2acm，根据V锥=1/3S底h=1/3×1/2a2cm2×1/2acm=a3/12cm3，正八面体的体积为2V锥＝a3/16cm3=119/3ρNAcm3。【真题感悟】1．答案AlEQ\f(8π(2eq\o\ac(r)\o\al(3,Cr)＋eq\o\ac(r)\o\al(3,Al)),3a2c)×100%解析根据题意知AlCr2具有体心四方结构，根据晶胞结构可知黑球个数为：8×EQ\f(1,8)＋1=2，白球个数为8×EQ\f(1,4)＋2=4，即AlCr2(黑白2)，由此可知，黑球（顶角、体心）原子为Al，白球（棱边、体心）原子为Cr；晶胞的体积为a2c，金属原子所占的体积为EQ\f(4πeq\o\ac(r)\o\al(3,Cr),3)×4＋EQ\f(4πeq\o\ac(r)\o\al(3,Al),3)×2=EQ\f(8π(2eq\o\ac(r)\o\al(3,Cr)＋eq\o\ac(r)\o\al(3,Al)),3)，所以金属原子的空间占有率为EQ\f(EQ\f(8π(2eq\o\ac(r)\o\al(3,Cr)＋eq\o\ac(r)\o\al(3,Al)),3),a2c)×100%=EQ\f(8π(2eq\o\ac(r)\o\al(3,Cr)＋eq\o\ac(r)\o\al(3,Al)),3a2c)×100%。2．答案②B解析②依据K+和H2P4-在晶胞中的相应位置，在x轴方向的投影图应为B选项。3．答案①O Mg2GeO4解析由晶胞结构可知，晶胞中位于顶点、面心、棱上和体内的X原子为8×EQ\f(1,8)+6×EQ\f(1,2)+4×EQ\f(1,4)+3=8，位于体内的Y原子和Z原子分别为4和16，由Ge和O原子的个数比为1：4可知，X为Mg原子、Y为Ge原子、Z为O原子，则晶胞的化学式为Mg2GeO4。4．答案2(0,0,EQ\f(r,c))；d=eq\r(EQ\f(1,2)a2+(EQ\f(c,2)-r2))pm解析XeF2晶胞中Xe原子有8个位于顶点，1个位于体心，F原子有8个位于棱上，2个位于晶胞内部，每个晶胞中含有Xe原子的个数为1+8×(1/8)＝2，F原子为2+8×(1/4)＝4，所以每一个晶胞中含有2个XeF2分子。由A点原子的分数坐标可知，B点的坐标为（0,0，r/c），根据空间两点间距离的计算公式：d=eq\r(EQ\f(1,2)a2+(EQ\f(c,2)-r2))pm。5．答案C3N3O解析将二维平面结构图延伸，该基本结构单元内共有6个C原子、7个N原子，而处在“顶点”上的N原子为三个基本结构单元共用，根据均摊法，含N原子数为：EQ\f(1,3)×3+7=8。若将图中虚线圈所示的N原子用O原子代替，则O原子完全属于该基本结构单元，故该基本结构单元含有6个C原子、6个N原子、2个O原子，则形成O掺杂的g-C3N4(OPCN)的化学式为C3N3O。6．答案43/16或0.187513:3解析由题干可知，LiFePO4的晶胞中，Fe存在于由O构成的正八面体内部，P存在由O构成的正四面体内部；再分析题干中给出的(a),(b)和(c)三个不同物质的晶胞结构示意图，对比(a)和(c)的差异可知，(a)图所示的LiFePO4的晶胞中，小球表示的即为Li+，其位于晶胞的8个顶点，4个侧面面心以及上下底面各自的相对的两条棱心处，经计算一个晶胞中Li+的个数为个；进一步分析(a)图所示的LiFePO4的晶胞中，八面体结构和四面体结构的数目均为4，即晶胞中含Fe和P的数目均为4；考虑到化学式为LiFePO4，并且一个晶胞中含有的Li+，Fe和P的数目均为4，所以一个晶胞中含有4个LiFePO4单元。对比(a)和(b)两个晶胞结构示意图可知，Li1-xFePO4相比于LiFePO4缺失一个面心的Li+以及一个棱心的Li+；结合上一个空的分析可知，LiFePO4晶胞的化学式为Li4Fe4P4O16，那么Li1-xFePO4