基于二维偏微分方程解的吸引子拓扑结构分岔的宏观经济建模

基于二维偏微分方程解的吸引子拓扑结构分岔的宏观经济建模

一对经济周期的理论经济研究非常重视经济的自发变化。各个时代、各种流派都对此进行了许多分析,也有许多建树。维克塞尔指出,“资本的自然利率”与“真实的货币利率”之间的差异,引起间接作用过程和累积过程,将使经济产生周期性扩张和收缩。米尔达尔更进一步认为,“资本的自然利率”实际上是实物资本的边际生产率,从而把理论与实际拉近了一步。哈伯勒在1937年把已经问世的经济周期理论划分为六种:纯货币理论,投资过度论,消费不足论,心理理论,收获论,凯恩斯的经济周期理论;他自己则指出:经济波动是一个自然累积和走向终结的相互转化过程。凯恩斯开创了宏观总量经济分析方法,以资本所有者的冲动投资作为经济周期的起因。但从该理论体系出发导致的经济周期是外生型的。而萨缪尔森更进一步扩展了凯恩斯的“冲动”范围,把“冲动消费”也纳入其中,提出由加速数—乘数相互作用产生周期。诺德豪斯开创性地研究了政府行为对经济周期的影响。卢卡斯则分析了市场信息对于供需双方的影响,认为供需双方的信息是不对称的,故而可由此导致产生经济周期。20世纪下半叶,产生了一场被称之为“非线性产生混沌”的革命,大家比之20世纪初遭遇漂浮在物理界的“光速不变”和“紫外灾难”两朵乌云时有着更多的心理准备和探索意识。人们欢呼并目睹着这种曾被科学史家库恩归纳、描绘为“科学范式”的革命如何在眼前发生、展开、站住脚根、生根开花结果。科学家们更是跃跃欲试,大量的领域被圈入到这场革命的领地,经济学也不例外。从证券交易所的股票价格变动,从延续了一个世纪之久的棉花价格变化,从长长短短的经济周期,在各种各样的层次上,经济学发现了混沌存在的各种踪迹。本文的论证就是基于这样的认识和这样的经济学事实。二不动点及其稳定性为了下文研究宏观经济的需要,我们先讨论可用二维非线性微分方程表示的动力系统解在相平面上的拓扑结构形式与它可能的种种变化。考虑定义在开集W⊂R2上的两维带参数μ∈Rn的动力系统:˙x=f(x,y,μ)‚˙y=g(x,y‚μ).(1)x˙=f(x,y,μ)‚y˙=g(x,y‚μ).(1)或者它的矢量形式:˙x=Φ(x,μ),x∈W⊂R2‚μ∈Rn‚(2)x˙=Φ(x,μ),x∈W⊂R2‚μ∈Rn‚(2)微分动力系统方程Φ(x,μ)通常也被看成一个矢量场。如果记Φt是系统Φ(x,μ)的轨迹或者流线。当存在一个时间序列t→∞,使limt→∞Φt(x,μ)=l‚limt→∞Φt(x,μ)=l‚则称点集l∈W为x∈W的一个吸引子。x∈W的所有吸引子集合L={l1,l2,l3,…}被定义为吸引子集合。开集W上的吸引子既可以连通也可以不连通;既可以仅为一个,也可以多为无限个。分析的目标是了解微分动力系统的最终趋向,即微分动力系统解在相平面上的吸引子集合。首先,我们看相平面W内这样的一个区域U,在这个区域U的边界C上,所有穿越边界的流线都是从外进入该区域的内部。于是,人们可以断言,此区域U内部必定有吸引子(图1)。其所以有上述结论,是按照拓扑学的一条最著名的定理:每一个平面向着自身的连续映射,即公式(1)的不断求解,必然至少存在一个不动点。不动点的含义是由平面这点重新又映射到平面自身的这点。对于图1中的U区域来说,能进不能出,这就是说,U区域内的点不管怎样映射,总还是落于U区域内,决不可能逸出U区域的边界。这意味着这样的微分动力系统肯定存在着如此情景:x*=Φt(x*,μ)。而在不动点上,又必然有着˙x*=Φ(x*,μ)=0x˙∗=Φ(x∗,μ)=0这一特征(图2)。但是,不动点是可以分类的。根据系统受到干扰后,开始位于不动点上的状态点是持续地离开该不动点还是最终回归该不动点,不动点分成不稳定的和稳定两类。如何说明该点的稳定性呢?方法很简单,给系统在不动点x*处加以小小的扰动后,看扰动的持续发展是不断扩大,还是不断缩小,还是被限止在一定范围内。在不动点x*处,即(x0,y0)处施以扰动δx和δy,将x0+δx和y0+δy代入方程(1),取不动点δ(x0,y0)处雅可比矩阵J,可得线性方程δ˙x=∂f∂x|x0‚y0δx+∂f∂y|x0‚y0δy,(3)δ˙y=∂g∂x|x0‚y0δx+∂g∂y|x0‚y0δy.δx˙=∂f∂x|x0‚y0δx+∂f∂y|x0‚y0δy,(3)δy˙=∂g∂x|x0‚y0δx+∂g∂y|x0‚y0δy.由常微分理论知,线性方程(3)应有着eλt形式的线性组合解。其中的λ是雅可比矩阵J的特征值。雅可比矩阵为下列形态(∂f∂x∂f∂y∂g∂x∂g∂y)x0‚y0(4)⎛⎝⎜∂f∂x∂g∂x∂f∂y∂g∂y⎞⎠⎟x0‚y0(4)如果令p=-trJ,q=detJ,则特征值λ满足下面的特征方程λ2+pλ+q=0.(5)它的解是λ1,2=-p2±√p24-qλ1,2=−p2±p24−q−−−−−√.(6)在参数平面(p,q)上,由p和q决定根λ的各种各样流线分布情况见图3。由于解的基本形式是eλt,如果根λ的实部Reλ≠0的情况时,方程(3)的解不是指数性的增长,就是指数性的衰减。前者对应着不动点(x0,y0)附近的不稳定性,微量扰动δx和δy必将指数性地被放大增加。后者对应不动点(x0,y0)附近的稳定性,微量扰动δx和δy不但不会扩大,相反,它们将指数性地缩小。在图3中,对应着动力系统稳定的区域仅是p>0和q>0这一块子区域,此中,包括向内吸引的汇点和不断向内旋进的稳定焦点;而p,q取值落在其他区域导致动力系统都不稳定。由图3中看,它们包括向外发散的源点、不断向外旋出的不稳定焦点和在某两个方向上向内吸引,而又在另外两个方向上向外发散的鞍点。p,q两个坐标轴和p2=4q这条曲线,把整个p-q坐标平面分成了五个部分。在这五个部分的内部区域,解的拓扑结构完全相同。在以上的前提条件下,线性方程(3)和非线性方程(1)在相平面不动点(x0,y0)附近解的拓扑结构完全相同。如果线性方程(3)得到的结果是汇点,那么非线性方程(1)得到结果也一定是汇点。线性方程(3)得到的结果是不稳定焦点,那么非线性方程(1)得到结果也一定是不稳定焦点。顺此类推。我们一旦了解了线性方程(3)的稳定与不稳定情况,也就了解了非线性方程(1)在不动点附近的稳定和不稳定情况。但是,自然界是不断变化的,描述自然界某种运行的一个动力系统结构也在不断地变化。在数学上,我们可以把一个动力系统的这种结构变化认为是受参数μ的控制,这相当于雅可比矩阵中的每一个系数都是参数μ的函数。当参数μ发生变化后,使得p(μ)=-trJ(μ)和q(μ)=detJ(μ)数值变动。绝大部分情况下,p(μ),q(μ)的变动,并不会导致动力系统解的拓扑结构发生变化,源仍是源,汇仍是汇,因为此时,p(μ),q(μ)变化前后仍处在同一区域内。但是,不能排除,也有的时候μ的变化,会导致p(μ),q(μ)从一个区域进入另一个区域,这样,系统解的拓扑结构就一定发生变化。当然,我们最关心的是动力系统稳定性的变化。当随着μ变化,雅可比矩阵的特征值λ发生双曲性破坏,这时位于图3上p-q右上平面(代表稳定平面)上的点,可能会越过竖直轴q或者水平轴p,分别进入左上和右下不稳定区域内,或者沿着p2=4q曲线,越过O点。这时,系统的稳定性发生了深刻的变化——系统的吸引子会从一种形态变成另一种形态。吸引子的这种性质上的变化,已被授予一个专门的名词——分岔。见图4。首先,我们看一看在p-q右上平面上的点越过垂直轴q,系统会产生什么变化。只要受μ驱动的点运动的路径不是正巧经过原点O,即在原点O的上方经过q轴,此刻,有着Reλ=0,解的结构就有着e±iat形式。这提示,系统的运动是一种圆周性的周期运动。这相当于,系统由原来稳定于(x0,y0)不动点的静止状态,突然开始呈现环绕(x0,y0)不动点,作不停旋转的圆周运动。系统前后处于两种运动性质,这就是一种分岔,它被称作霍普分岔。当点越过q轴继续向左推进,则系统的运动是一种从焦点向外不停旋出的螺旋运动。霍普分岔后,动力系统是否稳定?这时,仅着眼不动点(x0,y0)附近区域进行分析远远不够,还必然要考察非线性方程(1)有意义的大范围区域,即图1中的U区域。运用一条被称作庞加莱—班狄克生的定理可以判断此刻的系统是否稳定。该定理说:如果x-y相平面上一条简单闭曲线C1套在简单闭曲线C2的外面,C1曲线上的矢量都指向内部,而C2曲线的矢量都指向外部;并且,C1和C2所围成的环形区域内不再有不动点,那么,这个环形区域内必定有一个稳定的极限环。在此,我们看到图1规定的U区域边界C上轨道穿越指向至关重要,它必须总是指向U区域内部。而我们又可以在不动点(x0,y0)附近作一封闭曲线,此时,从不动点向外螺旋旋出的轨线族总是自内向外穿越此封闭曲线。由这两条封闭曲线形成的环形区域内要是没有不动点的话,我们可以断定,环形区域内必然存在着一个极限环。此刻,系统的稳定解是一个环绕不动点不停旋转的周期运动。其次,让我们看一看在p-q右上平面上的点越过水平轴p时,系统会发生什么变化。在水平轴的上方,因为有着q=0+,所以得到λ1=-ε和λ2=-p,ε是一个极小的正数。而在水平轴的下方,因为有着q=0-,所以得到λ1=+ε和λ2=-p。水平轴上方,不动点应是汇点;水平轴下方,不动点就是鞍点。鞍点解的形式是Ae+εt+Be-pt。解的这种形式,说明在x-y平面的一个特征矢量方向上,随着时间t的正流逝,一个点将无限地接近不动点;而在另一个特征矢量方向上,随着时间的倒溯流逝,另一个点也将无限地接近不动点。这就是说,系统就从原来的汇点稳定状态突然变成了鞍点的状态。系统前后处于两种状态,这又是一种分岔,被称作为鞍—结分岔。当点越过p轴后深入下方,系统更是处在鞍点状态。欲了解鞍—结分岔后,系统是否稳定?这一分析过程更为复杂。我们仍要从动力系统式(1)有意义区域U的整体入手。因为在U区域的点,不管如何运动,都不可能跑出U区域外。我们设想,在无穷早的时刻-∞,有一个点离开(x0,y0)不动点出发,随着时间的流逝,它肯定在区域U内随意漫游。如果U内没有其它的吸引子,则它最后必将被吸引回原出发点(x0,y0)。按照定义,它回到原出发点的时刻是+∞。这个点在U区域内漫游行程画出的轨道,称作同宿轨道。在二维相平面内,由于式(1)的规定,区域U内的任一个点只有一个前进方向。如果同宿轨道自己相交的话,比如纠缠成8字形,那么在相交点上,必须会有两个前进方向。既然点只能有一个前进方向,又怎么能向两个不同方向运行呢?因此,同宿轨道自己不相交,也不会纠缠打结。它必定是一条简单封闭曲线。又因为在(x0,y0)点上,有两个出发方向,又有两个归宿方向,所以,从鞍点出发而又回归的曲线必然画出二个简单的封闭曲线环。见图5。两条同宿轨道可以把U区域分成三个隔绝的部分。为什么如此?如果系统的初始状态落于同宿轨道上,则它的运动归缩就是沿着同宿轨道奔向(x0,y0)不动点。如果系统的初始状态没有落于同宿轨道上,则它永远不会归并到同宿轨道上。这是因为同宿轨道无穷早时刻-∞就已从(x0,y0)点出发,它囊括了后来所有时刻落于同宿轨道上的系统初始状态的归宿。而不在同宿轨道上的系统初始状态,之后也就绝不会并于同宿轨道上。这就是两条同宿轨道把U区域分成三个隔绝部分的理由。系统初始状态落于那个部分,系统今后的运行状态就必然归于该部分,从不逾规。一旦动力系统初始状态落在边界C内和平卧8字形同宿轨道之外的环形区域内,它的运行状态怎样?结论是:只要在这个区域内没有不动点的话,就有一个环绕于平卧8字形同宿轨道之外的周期运动稳定解,即在此区域内存在着极限环。道理很简单。我们想象,把这个环形区域分成若干个子区域,因为没有不动点,这意味着˙x≠0‚˙y≠0x˙≠0‚y˙≠0。这样,就不可能出现点状的吸引子,又由于此,则这个子区域内也绝对不会产生极限环。这时,就应有雅可比矩阵的迹trJ不变号,也就是∂f∂x+∂g∂y在此子区域内的不变号。不用说,一个从一边进入这个子区域内的点,总会从相对的另一个边滑出这个子区域。由于,所有的子区域是从环形区域分割出来,一个子区域的出边,必然是邻接子区域的入边,它们的合并保证了状态点不断向前运动时,顺序经过环形的每一个子区域,最终形成了一个周而复始的极限环。如果动力系统初始状态落在平卧8字形两个同宿轨道之内的一个区域中,那系统将又有怎样的运行规律呢?对此的第一反映,则是此区域内必然存在至少一个新的不动点。因为,在图1中已经说明,一个区域内部的点连续不断地映射到该区域内部的话,至少应存在着一个不动点。由于同宿轨道是一道戒备森严的隔绝“墙”,绝不会让落进区域内部的点重新逸出。这样,区域内的点按照公式(1)不断地行进映射,必然会产生至少一个不动点。最后,让我们看一看在p-q右上平面上的点沿着图3中p2=4q曲线,越过垂直轴q后,系统会发生什么变化。点沿着p2=4q曲线移动,则雅可比矩阵J的特征值λ是重根,即λ1,2=-p2。当p>0时,λ<0,系统最终状态被吸引于不动点,不动点是一汇点吸引子。而当p<0时,λ>0,系统状态则从不动点处被排斥向外发散,不动点成为源点。按照上述霍普分岔的性质,可知,在U区域内,这种向外发散的运动也会形成一个环绕不动点旋转的极限环。叙述至此,可以知道,一旦系统参数μ驱动点(p,q)从右上平面运行到其他平面中去后,相平面就从一个汇点吸引子,至少分岔出一个极限环。如果有可能出现鞍点的情景,则除了一个极限环外,在两条同宿轨道内,还会出现两个新的不动点。我们不妨缩小视野,对其中的一个同宿轨道的内部区域进行再分析。这样的分析过程完全可以套用以上对于区域U的一切分析。在这个缩小的区域内,可以有自己的点状吸引子,也可以有自己的极限环吸引子,甚至,还可以再出现自己的鞍点!如果出现了鞍点的话,我们又可以得到新的两条同宿轨道。于是,又可以再套用这些分析。这样的分析可以不断地无穷地进行下去,这是所谓的自嵌套分析。它的无限递归可在区域U内形成了一个图6所示的康托尔集合。而这种康托尔集合形式就是系统混沌出现的必要保证。由于大自然的巧合,一个二维的动力系统的结构参数μ恰使得它的状态运动相平面形成了图6的康托尔集合,那么,我们就可以判别出该动力系统最有可能采取的运动方式——极限环吸引子。经过上面的讨论后大家自然都很清楚:系统的运动,除了与系统的结构有关外,还必然与系统的初始状态密切相关,即系统的初始点落在图6的康托尔集合的哪一区域上。在康托尔集合中,虽然有着无穷多的雅可比矩阵J特征根λ的实部小于0的不动点,从而对它的小小邻域中产生巨大的吸引力。但由最简单的几何等比级数可知,这些产生稳定点区域的总和与整个康托尔集合区域相比,仍是无穷小。所以,把系统的初始状态随机地掷在康托尔集合中,一般地,它们当落在形成极限环的区域中,从而开始或大或小的周期循环。再考虑到系统的运行除了受到公式(1)决定性刻画的作用之外,还会受到许多其他因素的影响。这些影响相当于把状态点在康托尔集合中作有规律或者是随机的移动,状态点在各个极限环区域之间跳动,必然使得系统的运行呈现出丰富多彩的周期运行特性。三卡尔多s形投资函数与b点自1936年凯恩斯开创性地提出宏观经济分析方法以来,人们为寻找宏观经济周期波动的解释进行了不懈的努力。卡尔多1940年提出的经济周期模型是在动态经济学中研究非线性作用的最初尝试之一。在卡莱茨基关于商业周期的研究和凯恩斯理论的启发下,他分析研究了储蓄和投资函数之间的相互作用,并且检验了为呈现周期运动而对模型特征的基本要求。但是,卡尔多模型并没有获得应有的重视。由于该模型假设的非线性相当特殊,并且它对实际经济生活中的解释也不能真正令人信服,所以,它起的基本作用不超过在高级宏观经济教材中作练习之用。但是,有识之士一致认为,它与其他模型不同,这是一个真正具有内在自行发生周期变化的经济模型。同时由于它具有显著的纯朴表述、雅致风格,仍然受到人们的不断重视和不停分析,也作为构造其他周期模型的胚模。下面我们简略叙述这个模型。在每一时点上投资I均是国民实际产出Y的一个函数,Ι=Ι(Y),dΙdY>0.(7)进而,考虑一个凯恩斯的储蓄S函数,S=S(Y),dSdY>0.(8)为了说明它们能够导致经济产生周期运行,必需先阐述线性的投资和储蓄函数相互作用情况。在图7(a)中,由于表示着dSdY>dΙdY这么一种情景,一旦E点的均衡受到了干扰,经济运行还会重新返回平衡点E。于是,这种系统具有全局渐近稳定的结构特征。而图7(b),由于dSdY<dΙdY,一旦E点的均衡受到了干扰,经济运行将永远离开平衡状态E。此系统具有全局不稳定的结构特征。仅是图7所示的线性函数,当然不会产生周期运行。卡尔多假设了相当特殊的S形投资函数I(Y)和镜像的反S形储蓄函数S(Y)。图8中,这两条函数曲线形成了A,B,和E三个交点。显然,E点处于不稳定平衡状态上,而A点和B点都是渐近平衡处。从而,初始产出Y低于E点的将会有一个趋于低点B的调整过程,而初始产出Y高于E点的将有一个趋于高点A的调整过程。仅是图8所示的S形函数仍然不会引发周期运动,最终结果只能得到两者占一的低点或高点平衡。但是,投资函数I(Y)和储蓄函数S(Y)并不恒定,这两条曲线会在坐标系中上下浮动,从而导致周期运动。其过程机理是:在高点A附近处,投资I不断投入,使得资本存量K不断增加。但是,资本存量增加会降低资本的边际收益。(这是假定在技术水平不变的情况下)这意味着对于每一产出水平Y而言,投资I会伴随着资本存量K的增加而降低,投资曲线I就在高点附近整体下降。另一方面,在高点A附近处,随着人们的财富积累,即对资本存量K的拥有增多,人们的积蓄愿望进一步增加,使得储蓄曲线整体向上移动。两条曲线一高一低的相对运动,使得原来间距很远的E,A两点逐渐接近,最终,E,A两点融合成一个点:E-A。原本一直向右支撑着A点的力量突然失去,E-A点在前拉后推的两股力量协同作用下,从高点的A向着低点的B退行。见图9。退行至低点B处,因重新获得了向右支撑的力量,经济系统又处于平衡中。这是一种痛苦的平衡:大量的工人失业和大量的企业破产。人们的储蓄量急剧地减少,使得S储蓄曲线逐渐地下降,而企业破产使得社会资本保有量K大大降低,能够坚持生产厂家的资本边际收益很高,这使得I投资慢慢升高。B点与E点越来越接近,最终形成了B-E点,此后,高昂的投资I带动着国民生产总值Y不断上升,最终在高点A重新达到了平衡。见图10。自此而始,将重新进行一轮新的周期循环。卡尔多提出的经济系统产生周期运动的必要条件可以用数学语言表达如下:(1)在Y≥0时,I(Y,K)>0,并且∂Ι∂Y≥0。可以找到一个Y1,使得∂2Ι∂Y2>0当0<Y<Y1时,并且使∂2Ι∂Y2≤0当Y1<Y时。(2)在Y≥Y0>0时,S(Y,K)>0,并且∂S∂Y≥0。可以找到一个Y2,使得∂2S∂Y2<0当0<Y<Y2时,并且使∂2S∂Y2≥0当Y2<Y时。(3)∂Ι∂Κ<0,∂S∂Κ>0。(4)在某一个YE上,存在有S(YE,K)=I(YE,K),并且在此点上,∂Ι∂Y|YE>∂S∂Y|YE。上面数学语言表达的卡尔多周期运行模型有两个基本变量:生产总量Y和资本存量K。因此,可以用基本变量Y,K重建该模型,并且用更清晰的方法显示出卡尔多模型的周期性。我们采用剥离了通货膨胀的净价值概念,建立两维微分动力系统如下:˙Y=α[Ι(Y,Κ)-S(Y,Κ)]‚˙Κ=Ι(Y,Κ)-β(Κ).(9)式中表示,总产出Y的变化率与投资数量I与储蓄数量S之差成函数关系,资本存量K的变化率是投资数量I与资本折旧β(K)之差。为了保证该动力系统的运行轨道必然被限定在一个有意义的相关区域里,我们应该寻找一条简单封闭曲线,并判定该曲线上的矢量均指向封闭曲线内部区域。首先,考虑能使资本存量不变的那些点(Y,K)的集合˙Κ=0=Ι(Y‚Κ)-β(Κ).通过全微分可得:dΚdY|˙Κ=0=-ΙYΙΚ-βΚ>0.上式的dΚdY表示在YK相平面上,˙Κ=0的轨迹总为一条向上倾斜的曲线。之所以如此,是由于IY总是正值,IK总是负值,而βK随着资本存量K的边际增长,它也边际增加。所以斜率的分子总为正,分母总为负,加上符号“-”的运算后,它总是大于0。˙Κ=0曲线形状见图11。很明显,对于˙Κ=0曲线上面的所有K,由于IK-βK<0,它的变化率朝下,有˙Κ<0。反之,对于曲线˙Κ=0下面所有的K,有˙Κ>0。这样,以曲线˙Κ=0为分界,它的上部,矢量的K分量都朝下,它的上部,矢量的K分量都朝上。其次,考虑能使总产出量Y不变的那些点(Y,K)的集合˙Y=0=α[Ι(Y,Κ)-S(Y,Κ)].此轨迹的在相平面上的斜率是dΚdY|˙Y=0=ΙY-SYSΚ-ΙΚ.因为SK>0,而IK<0,上式分母总大于0。又由于IY>0,SY>0,均为正值,分子的正负以及曲线的斜率就都取决于IY和SY的量值大小。对于高水平和低水平产出时,IY-SY<0,而对于中间水平产出时,IY-SY>0。因此,此曲线在高Y和低Y区间时,不断向下倾斜,在中间Y区间时,却昂头返回向上。曲线走向见图12。根据dΚdY|˙Y=0<0‚>0‚<0,把相平面分成高、中、低三个区域,在高和低区域中,由于IY-SY<0,对于曲线右边(左边)的点(Y,K),产出是减少的(增加的)。在中区域中,由于IY-SY>0,对于曲线右边(左边)的点(Y,K),产出是增加的的(减少的)。把这些结合标于图12中,可以发现,整个区域以˙Y=0曲线划界,位于曲线右上方的Y分矢量均向左,说明产出减少;位于曲线左下方的Y分矢量均向右,说明产出增多。把图11和图12相叠加,得到图13。作出矩形封闭曲线C1,则可看到,矩形的每一条边上,都有一个分矢量与之平行,另一分矢量指向C1曲线内部区域。不言而喻,这表明穿越C1曲线的轨线仅为从外进内,而不可能从内向外。相平面中被C1包围的内部区域,必然至少存在着一个不动点,示于图13中,这就是˙Y=0和˙Κ=0两条曲线的交点E。对于不动点的分类,可由位于不动点上的雅可比矩阵进行判断。公式(9)在不动点E上的雅可比矩阵为J=[α′(ΙY-SY)α′(ΙΚ-SΚ)ΙYΙΚ-βΚ].(10)当不动点E是一个渐近稳定点时,应有trJ<0和detJ>0同时成立。即{α′(ΙY-SY)+ΙΚ-βΚ<0,(SΚΙY-SYΙΚ)-βΚ(ΙY-SY)>0.(11)在一般的凯恩斯假设IY-SY<0的情况下,因α′,βK,SK均大于0,而IK<0,所以,不管如何,上式的结论都成立。故在这样的情况下,不动点必定是一渐近稳定点。公式(11)还可以化成下列的形式{ΙY-SY<βΚ-ΙΚα′,ΙY-SY<SΚΙY-SYΙΚβΚ.(12)此时,只要ΙY-SY<min(βΚ-ΙΚα′,SΚΙY-SYΙΚβΚ),即可保证不动点仍是一渐近稳定点。这里我们看到,卡尔多当年所提出的当斜率IY-SY>0时,图8的E点肯定是一个不稳定点的结论是错误的。这可能是因为在图形分析中,将资本存量K对系统稳定性的影响忽略了。一旦trJ>0和detJ>0,系统发生了霍普分岔,不动点E变成一个旋出的焦点。此时公式(12)的上一式不等号改向,即{ΙY-SY>βΚ-ΙΚα′,ΙY-SY<SΚΙY-SYΙΚβΚ.(13)发生这种情景,可以是分子βK-IK变小,也可能是分母α′变大,或者两者的同时组合变化,总之,可以在上述三个数的笛卡尔乘积集合中寻得一个临界曲面μ0,使得临界曲面μ0两边的元素恰使得上述不等号改向而发生霍普分岔。因为示于图13区域边界C1上的矢量一概朝内,所以,发生霍普分岔后,必在此区域中产生一个极限环吸引子。由此,经济系统自动开始周期性的波动振荡。一旦系统不动点处的detJ>0变成了detJ<0后,系统就发生鞍—结分岔,此时的不动点是为鞍点类型。我们看一看此时系统参数间数值的相互关系。ΙYSY>SΚβΚ-1ΙΚβΚ-1.始发于这个鞍点并且最终归宿于这个鞍点的两条同宿轨道,可把系统的相平面分成了三个互相隔绝部分。系统的初始状态落在哪个区域中,它的运动轨道就被限在那个区域部分中。如果系统的初始状态落在两个同宿轨道之外的区域中,系统运行就是周期性的振荡运动。但如果系统的初始状态落在两个同宿轨道之中的一个区域,则系统运行规律就视该区域中新产生不动点处的雅可比行列式的性质而定。新的不动点可能是渐近吸引子,也可以是极限环吸引子,还可以是不稳定的鞍点。对于后者来说,又