悬索桥多点激励下的随机地震响应分析

悬索桥多点激励下的随机地震响应分析

随着我国交通的快速发展，大拱桥结构被广泛修复。为了满足桥下景观设计的需要，大拱桥的结构逐渐成为桥梁建设者喜爱的对象。大横截面桥结构作为一个重要的生命线工程，其破坏和坍塌严重影响了地震的发展。因此，有必要对地震的抗疲劳分析。然而，我国现行的路桥抗声设计规则（jtrtb02-01-2008）和道路桥抗声设计规范（jtj004-89）只要求使用相同的地震激励。然而，实际的振动以波的形式在周围传播。地震的激励在很大的时间上是惊人的，比如行波效应、局部效应和相干效应。通常，对横跨小桥的地震响应分析可以忽视地震源的空间变异性。然而，大拱桥是一种多支架结构，具有前所未有的高差。当局部振动通过长距离传播时，不同传输点在同一时期内的地震激励非常不同。因此，有必要对大拱桥结构进行详细的抗弯分析，为制定相关的设计规范提供可靠的理论依据。目前,国内外学者对大跨悬索桥的抗震分析取得了一定的研究成果.焦常科探讨了行波效应对三塔悬索桥地震响应的影响,得出行波效应对悬索桥结构的影响与结构动力特性及地震波特性有关;刘春城探讨了行波效应和部分相干效应对自锚式悬索桥地震响应的影响,得出在纵向、横向和竖向地震分别作用下,行波效应和部分相干效应对结构地震响应的影响程度有较大差异;龙晓鸿探讨了一致激励、考虑行波效应和多点激励三种工况对悬索桥结构地震响应的影响,得出沿纵桥向,多点激励的影响较大.沿横桥向,三种工况结果相差较小;Abdel-Ghaffar、Rassem、Hyun等探讨了考虑行波效应和部分相干效应的视波速对悬索桥地震响应的影响.以上学者对悬索桥地震响应的影响,仅是假设地震激励是单维的,把地震动模拟成平稳的随机过程.然而大跨悬索桥结构具有明显的空间受力特点,仅考虑单维地震作用是不合理的,应考虑多维地震作用对结构的影响.悬索桥结构是柔性体系,应在抗震分析中考虑地震的非平稳随机过程.本文以四渡河特大悬索桥为研究对象,对其进行了随机地震响应的数值分析,研究了地震行波效应、部分相干效应、行波+部分相干、多维地震输入、多点激励、视波速与地震非平稳性对结构地震响应的影响,为相关桥型的抗震设计提供了理论依据.1多段地震资料分析及非稳定地震响应分析1.1结构体系拟静位移求解在绝对坐标系下,多点地震激励下结构的运动方程可用分块矩阵形式表示为:[ΜsΜsbΜΤsbΜb]{¨xs¨xb}+[CsCsbCΤsbCb]{˙xs˙xb}+[ΚsΚsbΚΤsbΚb]⋅{xsxb}=[0Ρb](1)式中:[M]、[C]、[K]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵;{¨x}、{˙x}、{x}分别为地震激励下结构的加速度、速度和位移向量;下标b和s分别表示支座节点和非支座节点;Pb表示地震作用于各支座节点的力.求解式(1)时,可将结构内部节点的绝对位移xs分解为拟静位移ys和动态相对位移yr两部分,其中拟静位移满足方程:[ΚsΚsbΚΤsbΚb]{ysxb}={0Ρ´b}(2)由上式可得:{ys}=-[Κ-1s][Κsb]{xb}=[F]{xb}(3)式中:[F]=-[K-1s][Ksb]称为拟静模态矩阵,其力学意义为结构支座节点的单位静位移引起的整个结构体系的拟静位移.展开式(1)的第一行得方程:Μss¨xs+Μsb¨xb+Css˙xs+Csb˙xb+Κsxs+Κsbxb=0(4)将拟静位移ys代入式(4)就可以求得yr.由于大跨悬索桥结构的自由度较多,可先采用振型分解法对方程进行降阶处理.首先计算结构的前n阶自振频率及对应的振型,然后令:yr=φx=n∑i=1φixi(5)式中:φ为振型矩阵,x为广义坐标向量,φi为第i阶振型向量,xi为第i个广义坐标.将式(3)和式(5)代入式(4),解耦可得:¨xi+2ζiˉωi˙xi+ˉω2ixi=-ηi¨xb(i=1,2,⋯,n)(6)式中,ζi为第i阶振型阻尼比,ˉωi为第i阶振型频率,ηi为振型参与系数.对于均匀调谐非平稳激励,支座节点的加速度向量可表示为:{¨xb}=[G(t)]{¨xg(t)}(7)式中:[H(t)]为确定性的时间包络含数矩阵,{¨xg(t)}为平稳随机过程向量.它们满足:[G(t)]=diag[G1(t),G2(t),⋯,Gm(t)](8a){¨xg(t)}={¨xg,1(t)¨xg,2(t)⋯¨xg,m(t)}(8b)式中:[Gj(t)]=diag[gx(t-Τ),gy(t-Τ),gz(t-Τ)](9a){¨xg,j(t)}={x(t-Τj)y(t-Τj)z(t-Τj)}(j=1,2,⋯,m)(9b)其中:Tj为地震波从坐标原点到第j个支座时的时间差;为了便于计算,假定各向地震动激励相等,即g(t)=gx(t)=gy(t)=gz(t).1.2生长相干函数因具有空间变异性的地震动是随机的,故可用地面各点加速度功率谱密度函数矩阵来表示:式中:Skl(jˉω)=ρkl(jˉω)√Skk(jˉω)Sll(jˉω)(11)其中:Skk(jˉω)和Sll(jˉω)分别为k点和l点的自功率谱密度函数,Skl(jˉω)为k点和l点间的互功率谱密度函数,ρkl(jˉω)为相干函数,可表示为:ρkl(jˉω)=|ρkl(jˉω)|e-jˉωdkl/νa(12)其中:|ρkl(jˉω)|为ρkl(jˉω)的模,反映地面两点的相干程度;e-jˉωdkl/νa为ρkl(jˉω)的幅角,体现行波效应的影响;dkl为支座k点和l点之间的水平距离;νa为地震波的视波速.三维地震分量同时作用时,任意点的加速度功率谱密度函数矩阵可表示为:S(jˉω)=[SxSxzSxySzxSzSzySyxSyzSy](13)式中:x、z表示水平分量,y表示竖向分量;自谱密度取为相同值,并认为它们完全相关,则自谱和互谱的表达式为:Sx(ˉω)=Sz(ˉω)=Sxz(ˉω)=Szx(ˉω)(14)水平与竖向分量间的互谱按下式取值:Sxz(ˉω)=Syz(ˉω)=Szx(ˉω)=Szy(ˉω)=0.6√Sx(ˉω)Sy(ˉω)=0.6√Sz(ˉω)Sy(ˉω)(15)多维多点随机地震动场功率谱密度函数矩阵就是将单维地震分量的功率谱矩阵(10)按式(13)的三维地震分量的功率谱矩阵进行扩充.1.3按平方根法分解在各激励点完全相干情况下:E[¨xg(τk)¨xg(τl)Τ]=∫∞-∞ˉVR0S(ˉω)VΤejˉωτdˉω(16)式中:V=diag[e-jˉωt1,e-jˉωt2,⋯,e-jˉωtm];ˉV为V的共轭矩阵;R0为所有元素均为1的方阵.在各激励点部分相干情况下,式(16)中的R0可表示为:[R´0]=[1ρ12⋯ρ1mρ211⋯ρ2m⋮⋮⋮ρm1ρm2⋯1](17)式中:表示支座点k与支座点l之间地震激励的相干性;R′0为非负定实对称矩阵,其秩大于1.考虑到S(ˉω)为共轭矩阵,若令:D=R⋅S(ˉω)(18)对其按平方根法分解为:D=v∑u=1βuˉφuφΤu(19)式中:βu为第u个非零特征值;φu为相应的第u个归一化特征向量;ˉφu为φu的共轭向量.对每一特征对构造如下的虚拟激励:代入式(6)右端可得虚拟激励下的解耦方程:¨ˆxi+2ζiˉωi˙ˆxi+ˉω2iˆxi=-ηiv∑u=1√βuG(t)Vφuejˉωt(i=1,2,⋯,n)(21)对上式在[0,t]区间进行Duhamel积分,得到:ˆxi=-∫t0Li(t-τ)ηiv∑u=1√βuG(t)Vφuejˉωtdτ(i=1,2,⋯,n)(22)式中:Li(t-τ)为w维对角矩阵.(w为悬索桥支座节点激励的自由度数),满足:Li(t-τ)=diag[li(t-τ),li(t-τ),⋯,li(t-τ)](23)式中:li(t-τ)=e-ζiˉωi(t-τ)ˉωi√1-ζ2isin√ˉω2i-ˉω2iζ2i(t-τ)dτ(i=1,2,⋯,n)(24)将式(22)代入式(5)即可求得虚拟激励下结构的动态相对位移r.由于包络函数G(t)随时间变化较慢,可认为拟静位移主要由虚拟激励向量的平稳部分产生,则虚拟激励下结构拟静位移向量可简化为:ˆys=-βG(t)v∑u=1√βuVφuejˉωtˉω2(25)由此虚拟激励下结构总位移s等于动态相对位移r与拟静位移s之和,从而依据结构力学理论求得结构内力.1.4非平稳响应计算由于非平稳地震激励下,结构响应均为非平稳随机过程,为方便计算结构峰值响应,可采用持时为T的等效平稳随机过程代替非平稳过程,并令两者的平均能量相等.对于经典的三段式时间包络函数描述的非平稳地震激励为:g(t)={(t/t1)20≤t≤t11t1≤t≤t2e-d(t-t2)t≥t2(26)其等效平稳地震动的持时T可取为强度超出峰值1/2的时间,即T满足:Τ=t2+ln2d-t1√2(27)在持时T内,将非平稳响应对应的时变功率谱取平均,得到等效平稳响应功率谱密度函数为:S´y(ˉω)=∫t1/√2+Τt1/√2S(ˉω,t)dtΤ(28)由此按照文献中平稳响应结果的处理方法得到结构响应的均值与方差.2数值模拟分析2.1悬索桥有限元模型选用湖北沪蓉西高速公路四渡河特大悬索桥为工程背景.该桥全长1365m,跨径为900m,采用双铰钢桁架加劲梁形式,主塔采用钢筋混凝土门型塔,运用通用有限元软件ANSYS建立该桥的三维有限元模型,全桥共被离散为2516个节点和5039个单元.在建模时,主缆和吊杆采用LINK10单元模拟;加劲梁和中央扣采用BEAM44单元模拟;桥塔采用BEAM188单元模拟.全桥结构的边界条件为:二个桥塔的承台底面完全固结;主缆在两侧锚碇和塔顶处分别固结;加劲梁在桥塔位置处用塔连杆连接,加劲梁两端设横向约束.悬索桥的初始平衡构型是基于恒载下桥的变形建立,计入重力刚度的影响;模型中主缆的初张力通过编制的MATLAB调索程序来完成.全桥模型如图1所示.2.2悬索桥动力特性本文采用ANSYS软件中的BlockLanczos法计算了悬索桥前50阶模态,表1列出了前10阶的自振频率及振型特点.由表1及模态分析可以得出,该悬索桥的基本周期16.45s左右,表现为主梁横向对称弯曲,其频率带宽为0.06Hz～9.82Hz,分布极为密集.以桥塔振动为主的振型出现较晚,如横向振动在第27阶,频率为0.672Hz,纵向振动出现在第50阶,频率为1.285Hz.采用中央扣把在跨中主缆与加劲梁连接在一起,对其动力特性产生了显著影响,纵飘振型不再出现,振型的空间耦合性加强.2.3低通滤波器参数分析本文采用Clough和Penzion提出的修正Kanai-Tajimi模型,地面加速度功率谱可表示为:S(ˉω)=1+4ζ2g(ˉω/ˉωg)2[1-(ˉω/ˉωg)2]2+4ζ2g(ˉω/ˉωg)2⋅ˉω4(ˉω2-ˉω2f)2+4ˉω2ˉω2fζ2fS0(29)式中:S0为谱强因子;ˉωg和ζg分别为场地土的卓越角频率和阻尼比;ˉωf和ζf为地面低通滤波器的2个参数.谱强因子S0=6.60cm2/s3;按Ⅰ类场地分析:ωg=15rad/s,ζg=0.60,ωf=1.50rad/s,ζf=0.60;坐标取x、z分别为顺桥向和横桥向,y为竖向.当考虑三向地震动联合作用时,x、z、y方向加速度峰值的比例为1∶0.85∶0.65,x向自谱密度为S0=6.60cm2/s3,z向自谱密度取x向的0.7225倍为S0=6.20cm2/s3,y向自谱密度取x向的0.4225倍为S0=3.63cm2/s3;各阶振型阻尼比均取为0.05.本文采用经典常用的屈铁军-王君杰相干函数模型:|ρkl(dkl,ˉω)|=e-a(ˉω)db(ˉω)kl(30)式中:a(ˉω)=a1ˉω2+a2,b(ˉω)=b1ˉω2+b2.a1=0.00001678,a1=0.001219,b1=-0.0055,b2=0.7674.式(26)的各参数取值为t1=7.1,t2=19.5,c=0.16.依据结构的自振频率,选取频域积分区间为ˉω∈[0,6.0]rad/s,步长0.20rad/s,选取用于非平稳随机计算时的时域积分区间为t∈s,步长为0.5s.2.4计算结果和分析1结构的地震响应本小节选取地震动视波速为2000m/s,探讨单维与多维地震输入下,一致激励、部分相干效应、行波效应、部分相干+行波效应、多点激励等地震激励类型对结构非平稳随机地震响应的影响.表2-表5分别为顺桥向、横桥向、竖向和三维地震作用下的考虑一致激励、部分相干效应、行波效应、相干+行波和多点激励等地震激励类型的结构峰值响应期望值.由表2可以看出,顺桥向地震作用下,行波效应对结构的地震响应影响较大;部分相干效应的影响则较小,仅比一致激励时的结构响应略大一些;同时考虑部分相干与行波效应时,结构的地震响应与仅考虑行波效应的差别不大;多点激励下,结构地震响应比一致激励下的大得多.由表3与表4可以看出,结构在横桥向或竖向地震作用下,其地震响应随不同地震激励类型的变化趋势与顺桥向地震作用的一致.可见在单维地震作用下,行波效应对结构地震响应的影响较为显著.仅采用一致地震激励时算得的结构响应值严重偏小.由表5可以看出,在相同地震激励类型下,三维地震作用得到的结构地震响应比单维地震作用的大得多;三维地震作用下,行波效应同样对结构地震响应影响显著,部分相干效应则对其影响较小,同时考虑部分相干与行波效应下的结构响应与仅考虑行波效应的差别不大,多点激励也比一致激励算得的结构响应值大,可见地震动的空间效应对结构响应的影响也较大.可见为了精确计算大跨悬索桥的地震响应,必须采用多维多点的地震输入.2视波速对结构非平稳随机地震响应的影响本小节选取地震动视波速为200m/s、500m/s、1000m/s、2000m/s、3000m/s、4000m/s、5000m/s和6000m/s等8种视波速工况,考虑行波效应与部分相干+行波效应两种地震激励类型下的视波速变化对结构非平稳随机地震响应的影响.图2绘出了结构峰值响应的期望值随视波速增大而呈现的变化规律.由图2可以看出,随着视波速的增大,结构地震响应逐渐降低.表明视波速的增大,会降低行波效应对结构地震响应的影响力;仅考虑行波效应与同时考虑部分