2023届四川省眉山市高三第一次诊断性考试数学（文）试题1

眉山市高中2023届第一次诊断性考试

数学(文史类)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知集合A={x|(x+3)(x-2)<0},B={x[T<x<3},则()

A.(-1,2)B.(-1,3)C.(2,3)D.(0,3)

3+4i

2.已知i为虚数单位，则--=()

17.

A.-l+7iB.7+7iC.一一+-iD.

22

3.采购经理指数(PMI),是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指

数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通

用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用.制造业PMI高于5()%

时，反映制造业较上月扩张；低于50%,则反映制造业较上月收缩.下图为我国2021年1

月一2022年6月制造业采购经理指数(PMI)统计图.

2021年:2022年

根据统计图分析，下列结论最恰当一项为（）

A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩

B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张

C.2022年1月至4月制造业逐月收缩

D.2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张

4.已知函数/（x）=2，+U（xwR）,则的图象（）

A.关于直线x=l对称B.关于点（1,0）对称C.关于直线x=0对称D.关于原

点对称

5.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则构成该多面

体的面中最大的面积为（）

A.2B.9C.述D.公

222

v

6.已知命题p：VxGR,3'>2'♦命题q：3x0GR,使得所看二―2,则下列命题是真

命题的为（）

A.〃八4B.（^/7）AqC.”A（r）D.

（/）△（「4）

7.某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一

个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（）

A.-B.gC.-D.-

3234

8.如图所示形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角

垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….如图所示的程

序框图，输出的S即为小球总数，则S=（）

/输出s/

9.过抛物线C：V=2Px（p>0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线4与C交于两点A,B（横

坐标分别为乙，4，点A在第一象限），4为C的准线，过点A与4垂直的直线与4相交

于点机若目=忻用|,则%=（）

XB

10.已知sin的值为（

7472472

9~9~

II.已知椭圆C：千+斗=1（0<〃<2）的左焦点为E，直线卜=日（％。0）与C交于点M,

Q

乂若/加//=120°,|何耳|伊耳|=3,则椭圆C的离心率为（）

A.yB.—C.—D.逅

2223

12.设。=1.02,8=e°g,c=0.9+2sin0.06,则a,b,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.h<c<aD.

c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量。=（-1,3）,b=（2,-t）,若力。则实数f的值为____,

x-2y-4<0

14.若x,y满足约束条件《x-y—2N0,则z=2x-3y最大值为.

15.若函数/（x）=Asinx-cosx的一个零点为四，则4=；1=.

16.如图，在长方体ABC。一中，底面A8CD为正方形，E,F分别为B£,CD

的中点，点G是棱GA上靠近a的三等分点，直线8E与平面所成角为45。.给出

以下4个结论:

①瓦'//平面88QO；②

③平面EFC_L平面3RE；④8,E,F,G四点共面.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计.现收集了该产品的成本费y

（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量X（单位：吨）的20组数据.现分别用两种模型

①y=bx+a,②y=4+c进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值:

X

20202020

7£（%-元）2£（力-9）（-）

X79）a-元）

/=1/=1/=1;=1

14510665-4504

1_1驾

表中方=1，F=—X?,.

AiNUj=[

£（小）2

若用/?2=1--------刻画回归效果，得到模型①、②的R2值分别为R「=0.7891,

名收-方

i=\

为2=09485.

（1）利用82和g2比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25

（吨）时y的预报值.

附：对于一组数据（4，匕），（&,%），…，（玉，为），其回归直线9=2+的斜率和截

£（%-可（%-刃

距的最小二乘法估计分别为3=『-----------，a=y-px.

SU--J）2

<=!

18.已知｛q｝为等差数列，且q=l,%=3（勾一4）•

（1）求数列｛q｝的通项公式；

127

⑵若数列抄J满足：bn=|-：（nGN）,也｝的前〃项和为s“，求——成立的

<2,128

n的最大值.

19.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2cosA=+出£.

beabac

（1）求角A的大小；

（2）若c=3,且..ABC的面积为36，求的周长.

20.如图，在三棱柱ABC-AgG中，侧面A&BN为正方形，A4,_L平面A8C,

A3=3C=2,NABC=120°,E,F分别为棱AB和8片的中点.

(1)在棱A4上是否存在一点。，使得G。〃平面EFC?若存在，确定点。的位置，并给

出证明；若不存在，试说明理由；

(2)求三棱锥A-EFC的体积.

21.已知函数/(%)=比"一"13%2+尤-1).

(1)若4=一1,求“X)的极值；

(2)若xNO,/(x)>0,求“的取值范围.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则

按所做的第一题记分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

Y-J3+cos

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为一”,1,(y(，为参数).以坐标原点

y=tsina

)8

为极点，X轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为夕-=---------直线

5-3cos26

/与曲线C相交于A,B两点,M(V3,0).

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若AM=2M8,求直线/的斜率.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知。>0,b>0,且。+b=2.

(1)证明：y<(a+2)'+(/?+l)-<17；

(2)若不等式|3x+加+U+|3x—加—疝万+J布对任意xeR恒成立，求〃?的取

值范围.

眉山市高中2023届第一次诊断性考试

数学(文史类)

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1已知集合"={=3+3)(%—2)<0},B={x[T<x<3},则()

A.(-1,2)B.(-1,3)C.(2,3)D.(0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法先求出集合A,再利用集合的交集运算即可求解.

【详解】因为A={x|(x+3)(x-2)<0}={x[-3<x<2},

又因为8={x|-l<x<3},所以AcB={x|-l<x<2},

故选：A

3+4i

2.已知i为虚数单位，则--=()

1-i

「17.

A.-l+7iB.7+7iC.——+-1D.

22

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的四则运算即可求解.

3+4i(3+4i)(l+i)-l+7i17.

【详解】因---------=----------------------=-------------=--------1----1

1-i(l-i)(l+i)222

故选：c.

3.采购经理指数(PMI),是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指

数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通

用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用.制造业PMI高于50%

时，反映制造业较上月扩张；低于50%,则反映制造业较上月收缩.下图为我国2021年1

月一2022年6月制造业采购经理指数(PMI)统计图.

2021年：2022年

根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为()

A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩

B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张

C.2022年1月至4月制造业逐月收缩

D.2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与5()%比较，即可得到答案.

【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于50%,故A项错误;

对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于50%,故B项错误；

对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于5()%,故C项错误；

对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI

超过50%,故D项正确.

故选：D.

4.已知函数〃x)=2'+U(xeR),则/(x)的图象()

A.关于直线x=l对称B.关于点(1,0)对称C.关于直线尤=()对称D.关于原

点对称

【答案】A

【解析】

【分析】求出〃2-力以及/(-X)的表达式，根据函数的对称性，即可判断各项，得到结

果.

,2x4V44

【详解】对于A项，由己知可得，/(2-x)=2-+^T=4~+^7=2'+1r=/(x),

所以/(x)的图象关于直线x=l对称，故A项正确；

对于B项，因为〃2-x)=2'+?，则"2-x)H—“X),故B项错误；

对于C项，则故C错误；

对于D项，因为/(一耳=42+?，则/(—X)。—/(x),故D错误.

故选:A.

【点睛】设/(X)的定义域为。.

对于Vxe。，若/(助一力=/(力恒成立，则“X)的图象关于直线X=a对称；

对于VxeO,若/(加一x)=-/(x)恒成立，则/(x)的图象关于点(a,0)对称.

5.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则构成该多面

体的面中最大的面积为()

9近门9石

---L*.---

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据三视图可得多面体为三棱锥，结合条件及正方体的性质即得.

【详解】由三视图可得该多面体为三棱锥，借助棱长为3的正方体画出三棱锥A—38,

如图，

则A6=A0=3,BD=BC=CD=372,AC=3技

所以sABC=1x3x3a=sABD=yx3x3=^,

ZL乙乙

S/At8v/-/=、23X3亚旭2，Sg,』4\（3可J此2

所以构成该多面体的面中最大的面积为述.

2

故选：D.

6.已知命题p：VxeR,3*>23命题g3x0eR,使得ln/=-2,则下列命题是真

命题的为（）

A.〃A4B.（「〃）八4C.〃八（F）D.

（/）△（「“）

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断命题。与命题夕的真假，然后逐一判断四个选项复合命题的真假.

【详解】对于命题。，当x=o时，y=2x,故命题。为假命题；

对于命题4,当x0=e-2时，ln%=-2,故命题《为真命题.

因此〃A4为假命题;

〃为假命题，为真命题，（」p）Aq为真命题；

4为真命题，为假命题，pA（「q）为假命题；（r?）A（p）为假命题.

故选：B

7.某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一

个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（）

A.-B.gC.-D.-

3234

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解.

【详解】解：记四名学生为甲、乙为A,B,另外2名学生为“，b,两个农场为〃，N,

则分配方案为：M农场AB,N农场ab；M农场ab,N农场AB；M农场Aa,N农

场班；M农场Ab.N农场Ba；M农场Ba,N农场Ab；M农场Bb,N农场Aa,

共6种,

甲、乙两名学生被安排在不同农场的分配方案为：M农场Aa,N农场班：M农场A。，

N农场Ba；M农场Ba,N农场4?；M农场Bb,N农场Aa,共4种，

故甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为&=2.

63

故选：C.

8.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角

垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….如图所示的程

序框图，输出的S即为小球总数，则5=（）

A.35B.56C.84D.120

【答案】B

【解析】

（分析】设第n层小球个数为%,根据程序框图可知，输出的S=q+/+/+%+%+4，

求出各个数即可得到.

【详解】设第〃层小球个数为对,由题意可知，。“一（〃之2）.

根据程序框图可知，输出的S=4+。2+。3+〃4+。5+。6，

又q=1,a2=3,%=6,包=4+4=10，%=%+5=15,a6=a5+6=2\,

所以5=1+3+6+10+15+21=56.

故选：B.

9.过抛物线C:y2=2Px（p>0）的焦点厂且倾斜角为锐角的直线人与C交于两点A,B（横

坐标分别为4,xB,点4在第一象限），4为C的准线，过点A与4垂直的直线与4相交

于点M.若=则丛=（）

XB

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可求得直线4的斜率为G，则直线4的方程为y=g1,联立直线

与抛物线的方程，可求出X3xB,即可解得结果.

【详解】设直线4的斜率为左，倾斜角为e,

由抛物线的定义知，|AM|=|A耳，X|AF|=|FM|,所以八47加为等边三角形，且AA〃/x

轴，所以。=Z.FAM=1，则氏=tan6=G-

FK,oj,则直线4的方程为y=

y2=2px

联立直线4的方程与抛物线的方程可得12/一20px+3p2=o,

y二

33,

解得X]=-P，x=—＞显然龙.＞》8，所以％A=-P，XB=~,

26226

xdP

所以，口=——=9.

4:P

故选：c.

10.已知sina+^]=g,则sin(2a+,]的值为()

472「4后7

L.----D.

~9~99

【答案】D

【解析】

TT

【分析】以a+工为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.

6

【详解】

/兀、(兀、

71

可2V=sin+—=cos2a+—=l-2sin2a+—

2(Y)2I6jI6)

故选：D.

22

11.已知椭圆C：?+《=1(o<〃<2)的左焦点为,直线y=kx(kH0)与C交于点M,

Q

M若/M6N=120°,WKHN用=§,则椭圆C的离心率为()

A.|B.立C.正D.也

2223

【答案】B

【解析】

【分析】由椭圆的对称性可知：四边形用耳”为平行四边形，结合椭圆的定义并在

中利用余弦定理求出关于。的值，进而可求出离心率.

【详解】设椭圆的右焦点为，如图，连接

CF2MF2,NF2,

因为。为MN,片K的中点，所以四边形玛为平行四边形，

所以|巾|=|町|,|N制=|叫由椭圆的定义可得：可盟+可闾=2a,

QO

又因为|“耳卜加玛=1所以阿剧.四图二三，

又因为NMGN=120。，所以/鸟/£=60°,

在△片MF?中，由余弦定理可得：

山居『=|峥「+1加周2-21MHM工|cos=（附用+可工『-3|孙卜幽玛|,

也即4c2=4片—8,因为4=4,所以。2=2,所以椭圆的离心率e=£=j£_=Y2,

a\a22

故选：B.

12.设。=1.02,b=e°3，c=0.9+2sin0.06,则mb,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.h<c<aD.

c<a<h

【答案】D

【解析】

【分析】先比较“，匕的大小，构造函数〃x)=e-x,求尸(x),根据/'(X)与。的符

号关系来确定/(x)的增减性，进而求得〃力>〃)血=1,再把x=0.02代入即可得到

*比较。，。的大小，根据当x>0时，有sinx<x,再把x=0.()6代入即可得到c<“，

从而即可得解.

【详解】令〃x)=e*—x,则r(x)=e*-l,

当x>0,f(x)>0,此时〃x)单调递增,

当x<0,/(%)<0,此时〃X)单调递减,

所以"x)>/(o)=e°-0=1,

所以/(0.02)=e002-0.02>1,即e002>1,02，

所以h=e°35>e°m>l.()2=a;

又设g(x)=sinx-x,g'(x)=cosx-140恒成立，

...当x>0,g(x)单调递减，g(x)=sinx-x<g(0)=0

当人>0时，有sinx<x,则sin0.06<0.06,

所以c=0.9+2sin0.06<0.94-2x0.06=1.02=。，

综上可得cvavb.

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量：=(-1,3),b=(2,-t),若皿,则实数f的值为_____.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据平面向量的数量积坐标运算，由得数量积为0,即可求得实数。的值.

详解】解：已知向量：=(…1,3),力=(2,T),若a’b，则由b=2(…l)+3(T)=0,

解得：t——2.

故答案为：一2.

x-2y-4＜0

14.若x,y满足约束条件,x—y—220,则z=2x-3y的最大值为

y40

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，通过平行＞=确定z的最大值.

【详解】如图，作出不等式组所表示的平面区域,

x-2y-4=0x=4

联立方程＜，解得〈c,即C(4,0),

y=0y=0

2z

由z=2x—3y,即y表示斜率Z=—，横截距为一的直线/,

32

通过平移可得当直线/过点C时，横截距最大，即Z最大，故Zmax=2X4—3X0=8.

15.若函数/(x)=Asinx-cosx的一个零点为四，则A=

6

【答案】①.K②.1

【解析】

【分析】根据x=2是函数的零点，代入即可求出A的值，然后再将代入即可求解.

63

TT

【详解】因为x是函数/(x)=Asinx-cosx的一个零点，

所以"*=Asi吟一。唠=暴一日"解得：A=5

所以函数/(x)=Asinx-cosx=>/3sinx-COSX，

则有/(y)=V3sin-cosx-1-=1,

故答案为：\/3;1.

16.如图，在长方体ABC。—中，底面A8CD为正方形，E,尸分别为BC，CD

的中点，点G是棱G2上靠近G的三等分点，直线8E与平面A8片4所成角为45。.给出

以下4个结论：

③平面£FC_L平面8RE；④B,E,F,G四点共面.

其中，所有正确结论的序号为.

【答案】①②③

【解析】

【分析】设ACBD=O,由题可得。旦//ER,然后根据线面平行的判定定理可判断①,

根据长方体的性质结合条件可得。g，AC,进而可判断②，根据线面角的概念可得

ZB,BE=45°,进而可得BE_LEC,然后根据线面垂直及面面垂直的判定定理可判断③，

根据条件可作出过AE,尸的平面，进而可判断④.

所以OF//4E,OF=gE,

所以四边形OgE尸为平行四边形，

所汝OBJ/EF,又OB|U平面BB0Q,斯.平面BBQO,

所以七户//平面8用。力，故①正确；

连接4片,用。，因为底面ABCD为正方形，

所以4用=用。，

所以OB|_LAC,又AC//4G，OB、HEF,

所以EF，4G，故②正确；

由题可知EB]±平面ABB.A,,

所以/々BE为直线8E与平面所成角，即/旦5后=45°,

则BB]=EB]=ECi=gB£,ZBtEB=ZC,EC=45,

所以BE_LEC,又尸C_L平面BCCM，BEu平面BCGB-

所以BE_LFC,又FCCE=C,fCu平面EFC,CEu平面EFC,

所以BE,平面MC,又BEu平面8。£,

所以平面EFC,平面BRE,故③正确；

延长BE交CC,的延长线于H,连接HR交GA于/，连接BF，则B,E,尸确定平面BHF，

H

由―-——-=~,可得—-=---—,又点G是棱GA上靠近a的三等分点，

BCHC2FCHC2

所以G任平面5”尸，故④错误，

所以所有正确结论的序号为①②③.

故答案为：①②③.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计.现收集了该产品的成本费y

（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据.现分别用两种模型

①y=+②y=4+c进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：

X

£20（七一可.20£20（为—刃（再一可之20(名-刃&-『)

Xy7Z(—)

;=11=\/=!/=1

10665-4504

t（2）2

若用户=1—----------刻画回归效果，得到模型①、②的R2值分别为R「=o.7891,

£（%-寸

/=1

R；=0.9485.

（1）利用和氏2?比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由;

（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25

（吨）时y的预报值.

附：对于一组数据（为，匕），（巧，儿），…，（%，%），其回归直线亨=6+纵的斜率和截

£（七-T）（必-刃

距的最小二乘法估计分别为P=J-----------,a=y-px.

£（苍-寸

1=1

【答案】（1）选择模型②，理由见解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根据已知Rz?〉"：，根据R2的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模

型②；

（2）y与，可用线性回归来拟合，有？=济+i,求出系数2,2,得到回归方程£=1OOr+2,

即可得到成本费y与同批次产品生产数量X的回归方程为£=U&+2,代入X=25,即可

x

求出结果.

【小问1详解】

应该选择模型②.

2

由题意可知，/?2>R；,则模型②中样本数据的残差平方和9）2比模型①中样本

1=\

数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.

【小问2详解】

由已知/=成本费y与「可用线性回归来拟合，有$=济+"

X

20

一（%-刃4

由已知可得，2=上\-----------=--=100,

£（-）2。。4

/=1

所以£=5—方=10-100x0.08=2,

则y关于7的线性回归方程为y=100r+2.

1（V）

成本费y与同批次产品生产数量x的回归方程为$=——+2,

X

当x=25（吨）时，y=—+2=6（万元/吨）.

所以，同批次产品生产数量为25(吨)时y的预报值为6万元/吨.

18.已知｛%｝为等差数列,且4=1,a6=3(«4-«2).

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(1127

⑵若数列也｝满足：b,=-(〃eN*)，也｝的前〃项和为S“，求S“W——成立的

'7128

n的最大值.

【答案】(1)an=n

(2)7

【解析】

【分析】(1)代入公式求出公差即可求通项公式;

(2)代入等比数列的前〃项和公式即可.

【小问1详解】

设数列｛4｝的公差为：d，

%=3(%-《2)，q=i

q+5d=3(q+3d—q-d),

•'d=\.

/.an=a1+(〃-1)4=1+〃-1=力，

即a〃=几.

【小问2详解】

("N*)，为=〃，

,数列出｝为等比数列，所以S,

0/27…1127

由S<----，即1------W—，

〃1282〃128

化简得：解得1W〃W7,

1282''

127

所以，要使—成立的”的最大值为：7.

128

「心j一一…八r…厂2cosAcosBcosC

19.已知.ABC的内角A,B,。所对的边分别为mb,c,且------=------+-----.

beabac

(1)求角A的大小；

(2)若。=3,且。的面积为3g，求的周长.

7T

【答案】(1)-

3

(2)V13+7

【解析】

【分析】(1)由已知等式可得2acosA=c、cos3+〃cosC,结合正弦定理与三角形内角关

系可求得cosA=,，即可得角A的大小

2

(2)由三角形得面积公式可得8=4,又结合余弦定理得a=JF，从而得..ABC的周长.

【小问1详解】

.2cosAcos5cosCccosB+bcosC

解：由题意有-------=-----+-----=----------------，

beabacabc

BPW2acosA=ccosB+Z?cosC,

由正弦定理得：

2sinAcosA=sinCcos5+sin5cosC=sin(5+C)=sin(n-A)=sinA,

又A«0,7i),所以sinA/O,则cosA=L所以A

【小问2详解】

解：由(1)知A=］，因为c=3,且_A8C的面积为36，

由SABc='〃csinA得：36=」x36sin'='竺，所以匕=4，

■2234

由余弦定理得：a~-b~+c~-Ibecosi4=16+9—2x4x3x—=13,所以a=JT^,

2

所以一ABC的周长为a+人+C=JI5+7.

20.如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面为正方形，A4,，平面48C,

Afi=BC=2,NABC=120。，E,尸分别为棱AB和8片的中点.

（1）在棱A4上是否存在一点。，使得〃平面EFC?若存在，确定点。的位置，并给

出证明；若不存在，试说明理由：

（2）求三棱锥A-MC的体积.

【答案】（1）答案见解析；

⑵a

2

【解析】

【分析】（1）AA的中点。，4月的中点M,可证明DM〃防，MCJ/EC,根据面面平

行的判定定理可得平面MDC、H平面EFC,即可证明CyD//平面EFC；

（2）点。到的距离为h,根据等面积法可求/?=百,由面面垂直的性质可得点C到AB

的距离即为点C到平面ABB】A,的距离，利用匕_EFC=VC.EF=』xx〃可求解.

“aillJK--Zll1^1勺i_Iz11

【小问1详解】

存在点D,使得C,DU平面EFC.

取A4的中点。，4片的中点M,连接。厕。A/〃A81.

因为E,尸分别为棱AB和的中点，

所以EF//AB,，所以DM//EF.

连接MG,则MG//EC.

因为。=M,DM,MC}u平面M£）G,EFcEC=E,EF,ECu平面EFC,

所以平面MOG〃平面EFC.

因为G。u平面MDC,，所以G。〃平面EFC.

所以存在D（D为AA1中点），使得G。〃平面EFC.

【小问2详解】

求三棱锥A-EFC的体积相当于求三棱锥c-4所的体积.

因为A、_L平面ABC,44,u平面ABB^,所以平面ABBX\1平面ABC.

设点C到45的距离为〃，则有LAB/=4A61Csinl20。，其中A8=5C=2,

22

解得h-V3.

因为平面A8g4_L平面ABC,平面平面48C=AB,

所以点。到AB的距离即为点C到平面的距离，为h=6

在正方形A6B|A中，AB=2.则EF=dBE?+8尸=5+1?=母，

AE=yjAE2+A4,2=712+22=旧，=小4尸+4理=Vl2+22=6.

取EE的中点N,连接AN,则A}NLEF,

所以AN=4A尸一N尸“⑸—住）;除

所以即可。夜*半=|,

x

所以匕「EFC=匕-AEF=S"EFxh=——-

所以三棱锥A-EFC的体积为B.

2

21.已知函数/(无)=xe*—+x—1).

(1)若a=-l,求〃x)的极值；

(2)若xNO,/(x)>0,求。取值范围.

।3

【答案】⑴"X)的极小值为——无极大值.

e2

(2)回&]

【解析】

【分析】⑴由a=T得，/(x)=xe'+1x2+x-l,求导函数得/'(力=(彳+。伫+1),

根据xeR,判断函数单调性即可得/(x)的极值；

⑵求导函数可得/'(x)=(x+D(e'-a),分别讨论当a<l时，当a>l时，函数的单

调性，确定是否满足xNO,〃x)wo恒成立，从而可得。的取值范围.

【小问1详解】

解：若。=-1,则〃x)=xe*+；/+*一1,

所以/'(X)=ev+xe*+x+1=(x+l)(ev+1),

则当x<-l时，F'(x)<0,所以/(x)在(—8,-1)上单调递减；

当%>-1时，制勾>0,所以/(力在(-1,4w)上单调递增；

/、13

所以，当x=—l时，/(X)取得极小值为------，无极大值.

e2

【小问2详解】

解：由题得，r(x)=e、+xe*-a(x+l)=(x+D(e*—a),

由于xNO,则e'Nl

当aWl时,可知/'(x)“，函数”X)单调递增,

故xNO时，f(x)>f(O)=a>O,所以OWaWl满足条件；

当a>l时，/'(力=0,得x=lna,则可得0<x<lna时，/'(x)<0,/(九)单调递减;

%>Ina时,用勾>0,/(x)单调递增.

所以在区间［0,+8)上，当无=lna时，/(x)取得极小值，也即为最小值.

由于xiO,恒成立。

则九n(%)=/(Ina)=Ina-em"-a—In2iz+ln«-l^O,即有

V2)

tzlna-t/(^ln2tz+lndf-lj>0,

又a>1,

1广

所以可得/In?.a41,解得i<q〈e&，

综上，”的取值范围是［0,e&］.

【点睛】本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了利用导数研究函数的单调性与极值、

利用导数研究函数的最值，对于不等式恒成立问题，常见的解法有：参变量分离法、数形结

合法、最值法等，属于中档题.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则

按所做的第一题记分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］