北师数学九上正方形的性质与判定

第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定（第2课时）山东省青岛市第五十三中学裴玮知识回顾正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形.2.对角线互相垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.4.有一组邻边相等的矩形是正方形.例题讲解例1已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.

求证：四边形BECF是正方形.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DBC=45°.图1∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF是菱形（菱形的定义）.在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°,∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.图1一个内角是直角对角线垂直一组邻边相等一组邻边相等对角线相等一个内角是直角平行四边形矩形正方形菱形想一想1.如图2，在△ABC中，

EF为△ABC的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A=

.②若EF=8cm，则AC=

.30°16cmBFECA图2想一想2.如图3，E，F分别为AB，AC的中点，

在AC的下方找一点D，作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的

关系？EH和FG呢？DHGBFECA3.四边形EFGH的形状有什么特

征？EF∥HGEH∥FG四边形EFGH是平行四边形.图3想一想如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四边形可以是：特殊四边形的中点四边形：平行四边形的中点四边形是平行四边形菱形的中点四边形是矩形矩形的中点四边形是菱形正方形的中点四边形是正方形特殊四边形的中点四边形：等腰梯形的中点四边形是菱形直角梯形的中点四边形是平行四边形梯形的中点四边形是平行四边形特殊四边形的中点四边形：平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形.归纳小结想一想1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么

中点四边形都由平行四边形变化为菱形？2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？3.你是从什么角度考虑的？4.你从哪里得到的启发？5.能用你的发现解释其他的图形变化吗？若原四边形为菱形，其中点四边形为矩形吗？对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形对角线相等的四边形的中点四边形是菱形对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中点四边形的形状一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.平行四边形菱形矩形正方形归纳小结ABCDEFGH四边形ABCD是凸四边形ABCDEFGHAB，AD在同一线段上ABCDEFGH四边形ABCD是凹四边形ABCDEFGH四边形ABCD是扭曲四边形拖动点A使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？结论：当四边形ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形.

图形