2.4 一元一次不等式（组）（题型精练）（解析版）

第4讲一元一次不等式（组）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：不等式的定义题型二：不等式的解集题型三：不等式的性质题型四：一元一次不等式的定义题型五：解一元一次不等式题型六：一元一次不等式的应用题型七：一元一次不等式组的定义题型八：解一元一次不等式组题型九：一元一次不等式组的应用第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：不等式的相关概念(1)不等式:用不等号连接起来的式子,叫做不等式.(2)不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.(3)解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式.知识点二：不等式的性质(1)不等式两边都加(或减)同一个数(或整式),不等号的方向不变,即若,则.(2)不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若,且，则（）(3)不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即若,且，则（）知识点三：一元一次不等式的定义一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．知识点四：解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1(注意考虑不等号的方向是否需要改变)．知识点五：一元一次不等式组一元一次不等式组:含有同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.知识点六：一元一次不等式组的解集①一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.②不等式组的分类及解集()如下表类型解集数轴表示无解第二部分：课前自我评估测试1．（2022·浙江·平阳县建兰学校八年级期中）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、不等式的两边同时乘，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；B、不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；C、不等式的两边同时减去3，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；D、不等式的两边同时减去1，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D．2．（2022·北京·人大附中八年级期中）关于的方程解为负数，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴，∵关于的方程解为负数，∴，解得：，故选：C．3．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由数轴可知：x≥0且x>2，∴不等式组的解集为x>2，故选A．4．（2022·福建·明溪县教师进修学校八年级期中）一个不等式组的解集如图所示，请写出它的解集___________．【答案】【详解】解：根据题意得：该不等式组的解集为．故答案为：5．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】；见解析【详解】解：由，得：，由，得：，则不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下：第三部分：典型例题剖析题型一：不等式的定义典型例题例题1．（2022·山东·邹城市第十一中学七年级阶段练习）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．你认为其中是不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】解：∵用不等号表示大小关系的式子叫做不等式，其中常用不等号有：“”，∴属于不等式的为：，共有4个．故选：C例题2．（2022·河北承德·七年级期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（

）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【答案】C【详解】解：∵205×3％=6.15（g），蛋白质含量≥3%，∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，故选：C．例题3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期末）对于下列结论：①为自然数，则；②为负数，则；③不大于10，则；④为非负数，则，正确的有_______．【答案】②④【详解】①为自然数，则，错误；②为负数，则，正确；③不大于10，则，错误；④为非负数，则，正确；故答案为：②④．同类题型归类练1．（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期末）“a的5倍与3的和不超过”列出的不等式是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意，得5a+3≤-3，故选：B．2．（2022·福建省诏安第一中学八年级期中）下面给出6个式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝5；④a－b；⑤x＋3≤8；⑥3x≠0，其中不等式有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】解：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+3≤8；⑥3x≠0，这些都是不等式，共有4个，故选：C．3．（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：①3＞0是不等式；②4x＋y＜2是不等式；③2x＝3是等式；④x－1是代数式；⑤是不等式，共有3个不等式．故答案为B．题型二：不等式的解集典型例题例题1．（2022·福建福州·七年级期末）下列是不等式的一个解的是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【详解】解：，解得：所以A符合题意，B，C，D都不符合题意；故选A．例题2．（2022·山西省运城市运康中学校八年级阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，∴a﹣1＜0，∴a＜1，故选：A．例题3．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）关于的不等式的解集为，则的值为______．【答案】【详解】解：解不等式得，∵关于x的不等式的解集为，∴，解得，故答案为：．例题4．（2022·贵州铜仁·八年级期末）已知不等式的解集是，则“★”表示的数是_______________．【答案】－2【详解】解：设“★”表示的数a，则不等式是2x+a＞4，移项，得2x＞4-a，则x＞．根据题意得：=3，解得：a=-2．即“★”表示的数是-2，故答案是：-2．同类题型归类练1．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，∴m-1＜0，即m＜1，故选：B．2．（2022·江苏·七年级专题练习）下列各数中，能使不等式成立的是（）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】D【详解】解：当时，=1＞0，当x=5时，=0.5＞0，当x=4时，=0，当x=2时，=-1＜0，由此可知，可以使不等式成立．故选D．3．（2022·江苏·七年级专题练习）下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确；②把代入不等式，不成立，故不是不等式的解，正确；③不等式的解有无数个，正确．故选D.题型三：不等式的性质典型例题例题1．（2022·福建·明溪县教师进修学校八年级期中）若，则下列不等式中，错误的是(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、若a＜b，则a+3＜b+3，正确，该选项不符合题意；B、若a＜b，则a+3＜b+3，错误，该选项符合题意；C、若a＜b，则-a＞-b，则3-a＞3-b，正确，该选项不符合题意；D、若a＜b，则2a＜2b，则2b＞2a，正确，该选项不符合题意；故选：B．例题2．（2022·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）下列结果错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】解：A．若，则，故此选项不符合题意；B．若，则，故此选项不符合题意；C．若，则，故此选项符合题意；D．若，则，故此选项不符合题意．故选：C．例题3．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期末）若实数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，A、∵a＜b＜0，c＞0，∴ac＜bc，原不等式不成立，故本选项不符合题意；B、∵a＜b＜0，c＞0，∴a＜c，∴-2a＞-2c，∴b-2a>b-2c，原不等式成立，故本选项符合题意；C、∵a＜b＜0，c＞0，∴a+c＜b+c，原不等式不成立，故本选项不符合题意；D、∵a＜b＜0，c＞0，∴a＜c，∴a-b＜c-b，原不等式不成立，故本选项不符合题意．故选：B．同类题型归类练1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室八年级期末）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；B、∵，∴，故该选项正确，符合题意；C、∵，∴当时，，故该选项错误，不符合题意；D、∵，∴，故该选项错误，不符合题意．故选：B2．（2022·安徽·宣城市第六中学七年级期中）若x>y，则下列式子错误的是（）A． B．> C． D．【答案】C【详解】解：∵A.∵，故该选项正确，不符合题意；

B.∵>，故该选项正确，不符合题意；C.∵，故该选项错误，符合题意；

D.∵，故该选项正确，不符合题意．故选C．3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）已知实数，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、根据不等式两边同时减去同一个数不等号方向不变可知，若，则，故该选项错误，不符合题意；B、根据不等式两边同时加上同一个数不等号方向不变可知，若，则，故该选项错误，不符合题意；C、根据不等式两边同时除以同一个正数不等号方向不变可知，若，则，故该选项错误，不符合题意；D、根据不等式两边同时乘以同一个负数不等号方向改变可知，若，则，故该选项正确，符合题意；故选：D．题型四：一元一次不等式的定义典型例题例题1．（2022·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）下列各式中是一元一次不等式的是（

）A． B．C． D．-≥【答案】D【详解】解：A．2x-y≥0含2个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；B．的最高次项的系数是2，不是一元一次不等式，故不符合题意；C．>0的分母含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；D．x-≥是一元一次不等式，符合题意；故选D．例题2．（2022·河南·濮阳市第一中学八年级期中）若是关于的一元一次不等式，则（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，∴，解得：，故选：C．例题3．（2022·河南·林州市红旗渠大道学校七年级期末）若是关于的一元一次不等式，则＝________．【答案】-2【详解】∵是关于x的一元一次不等式，∴m2−3=1，且m−2≠0.解得m=−2.故答案为m=−2.例题4．（2022·陕西咸阳·八年级期中）已知是关于的一元一次不等式，求的值，并解这个一元一次不等式．【答案】，【详解】∵是关于的一元一次不等式，∴且，解得，则不等式为，解得．同类题型归类练1．（2022·江苏·七年级专题练习）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴，∵关于的不等式的解集为，∴，且，∴，解得：，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴．故选：C．2．（2022·浙江·八年级单元测试）下列不等式中，一元一次不等式有①②③④⑤A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B详解：①不是，因为最高次数是2；②不是，因为是分式；③不是，因为有两个未知数；④是；⑤是.综上，只有2个是一元一次不等式.故选B．3．（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）当______时，不等式是关于的一元一次不等式．【答案】－2【详解】解：∵不等式是关于的一元一次不等式，∴k−2≠0，，解得：k＝－2，故答案为：－2．4．（2022·全国·八年级）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是：___．（只填序号）【答案】②④【详解】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意；②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意；③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意；④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意；⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意．故答案为：②④题型五：解一元一次不等式典型例题例题1．（2022·四川南充·九年级期中）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：移项得：，合并同类项得：系数化为1得：，故选B．例题2．（2022·陕西·商南县富水镇初级中学七年级期末）不等式的正整数解有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【详解】解：，去括号得，移项得，合并同类项得，解得：，所以不等式的正整数解为1，2，3，4共4个，故选：B．例题3．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．不等式的解集为．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A选项，解得，符合题意；B选项，未知数的系数为正数，求解时不需要改变不等号的方向，不符合题意；C选项，解得，不符合题意；D选项，解得，不符合题意．故选A．例题4．（2022·浙江·八年级单元测试）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】B【详解】解：，去分母，得，故步骤甲错误．移项、合并同类项，得故步骤乙错误．合并同类项，得．化系数为，得．故选：B．例题5．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）不等式的解集为______．【答案】【详解】解：，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．例题6．（2022·新疆·库车县乌尊镇中学七年级阶段练习）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．(1)(2)(3)【答案】(1)，数轴见详解；(2)，数轴见详解；(3)，数轴见详解（1）解：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．此不等式的解集在数轴上表示如下：（2）解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．此不等式的解集在数轴上表示如下：（3）解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．此不等式的解集在数轴上表示如下：例题7．（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）下面是小征同学求不等式-≥解集并在数轴上表示解集的解答过程：第一步：-≥；第二步：×-×1≥；第三步：；第四步：；第五步：．(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；(2)第二步变形的依据是；(3)第三步变形的目的是．【答案】(1)见解析(2)乘法分配律(3)去分母（1）第一步：(4x-1)-(3x-2)≥；第二步：×4x-×1-×3x+×2≥；第三步：16x-4-18x+12≥5；第四步：-2x≥-3；第五步：x．在数轴上表示解集：（2）第二步变形的依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律；（3）第三步变形的目的是去分母，故答案为：去分母．同类题型归类练1．（2022·浙江·八年级专题练习）是不等式的一个解，则的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：解不等式，得，∵是不等式的一个解，∴，所以的值不可能是．故选：A．2．（2022·河北保定·八年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（

）A．只有丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁【答案】D【详解】解：，3（1+x）-2（2x+1）≤6，故甲错误；3（1+x）-2（2x+1）≤3，3+3x-4x-2≤3，故乙错误；3+3x-4x+2≤3，-x≤-2，故丙正确；-x≤-2，x≥2，故丁错误；故选：D．3．（2022·上海市进才实验中学八年级阶段练习）不等式的解集为___________．【答案】【详解】解：由，得，，，即．故答案是：．4．（2022·浙江·杭州市采荷中学八年级阶段练习）满足不等式的最小整数是______．【答案】3【详解】解：不等式去括号得：，移项得：4x+3x＞6+8，合并得：7x＞14，把x系数化为1得：x＞2，则不等式的最小整数解为3．故答案为：3．5．（2022·浙江·平阳县建兰学校八年级期中）解不等式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，，解得；（2）解：，，，解得．6．（2022·浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）解下列不等式．(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；（2）解：，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．题型六：一元一次不等式的应用典型例题例题1．（2022·山东省临邑县宿安中学七年级阶段练习）北京2022冬奥会吉样物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，借价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：设购买冰墩墩礼品件，则购买雪容融件，由题意得，故选D．例题2．（2022·宁夏·中卫市第七中学九年级期中）某种商品的进价为80元，标价为120元，由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打_______折．【答案】7##七【详解】解：设打x折出售，由题意得：，解得，∴最低可打7折出售，故答案为：7．例题3．（2022·山东青岛·九年级期中）水果专柜张经理发现，如果以每千克2元的价格购进富士苹果若干，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，后通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克．(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是千克（用含的代数式表示）；(2)张经理现有资金500元，如果希望通过降价销售销售这种水果每天盈利300元，张经理需将每千克的售价降低多少元？【答案】(1)(2)张经理需将每千克的售价降低元．【详解】（1）解：若将这种富士苹果每斤的售价降低元，则每天的销售量是(千克)．故答案为：；（2）解：根据题意得，整理得，解得或．因为张经理现有资金500元，，解得：，故张经理需将每千克的售价降低元．答：张经理需将每千克的售价降低元．例题4．（2022·湖南·长沙競才修业培训学校九年级期中）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被平为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？【答案】(1)21道题(2)24道题【详解】（1）解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题，依题意得：，解得：．答：该参赛同学一共答对了21道题；（2）解：设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，依题意得：，解得：．

∵y为正整数，∴y最小取24．答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”．例题5．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）李老师准备购买12个文具盒和若干本练习本作为运动会奖品赠送给获奖学生，已知文具盒每个15元，练习本每本3元，现有两个商家可供选择．设甲商家购买的费用（元），乙商家购买的费用（元），练习本个数（＞12）．甲：买一个文具盒赠送一本练习本；乙：练习本和文具盒按标价打九折出售．(1)请分别写出与练习本个数的函数关系式；(2)请帮李老师抉择选择哪个商家更实惠？并说明理由．【答案】(1)(2)当时，选甲商家，当时，两家花费一样，当时，选乙商家，理由见解析（1）解：依题意，；∴，（2）令即解得，∴当时，两家花费一样，当时，即，解得：，∴当时，选乙商家，当时，即，解得：，∴当时，选甲商家，综上所述：当时，选甲商家，当时，两家花费一样，当时，选乙商家．同类题型归类练1．（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打（

）折．A．7 B．8 C．8.8 D．9【答案】C【详解】解：设可以打折，由题意得：，解得：，∴至多打折；故选C．2．（2022·福建师范大学平潭附属中学九年级期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为5米），围成长方形花圃．设花圃的宽为x米，面积为S平方米，(1)求S与x的函数关系式；(2)求出自变量x的取值范围；(3)如果要围成面积为平方米的花圃，的长是多少米？【答案】(1)S与x的函数关系式为：(2)自变量的取值范围是(3)的长为8米【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为x米，则为米，，∴S与x的函数关系式为：；（2）解：∵,∴，即自变量的取值范围是；（3）解：由题意，得，解得，，∵，∴不合题意，舍去，∴的长为8米．3．（2022·山西省运城市实验中学九年级阶段练习）商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价2元，则平均每天销售数量为______件．(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？【答案】(1)24(2)每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元【详解】（1）解：（件）．故答案为：24．（2）解：设每件降价x元，根据题意，得，方程可化为，解这个方程，得，．每件盈利不少于25元，，解得，．答：每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元．4．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）某水果经销商从水果批发市场进货再进行零售，每天需要付摊位租金元．苹果和桔子的批发价与零售价如下表：水果品种苹果桔子批发价（元/千克）零售价（元/千克）请解答下列问题：(1)第一天该经销商用元购进苹果和桔子共千克，求购进的两种水果当天全部售出的利润；(2)由于第一天苹果和桔子都很畅销，第二天该经销商用元购进这两种水果．如果批发价和零售价都不变，进的货当天能售完，那么该经销商想在第二天至少比第一天多获利元，请帮他分析购进的苹果数量具备什么条件时才能实现这一目标．【答案】(1)元(2)购进苹果的数量不超过千克（1）解：设第一天购进苹果千克，则购进桔子千克；根据题意得：解得：购进的两种水果当天全部售出的利润是：（元）答：购进的两种水果当天全部售出的利润是元．（2）解：设第二天购进的苹果为千克，则购进的桔子为千克；根据题意得：解得：答：要使第二天至少比第一天多获利元，则需购进的苹果数量不超过千克．5．（2022·河南开封·八年级期末）某经销商销售的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元，已知卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为9万元，二月份的销售额只有8万元．(1)二月份每台冰箱的售价为多少元？(2)为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（），请问有几种进货方案？【答案】(1)二月份冰箱每台售价为4000元(2)共有五种购物方案（1）解：设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份每台售价元，依题意得解得经检验可知是原方程的根．∴二月份冰箱每台售价为4000元．（2）依题意得：解得，∵，且是正整数，∴，9，10，11，12∴共有五种购物方案．题型七：一元一次不等式组的定义典型例题例题1．（2022·全国·八年级）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（

）①；②；③；④；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，答案：B．例题2．（2021·全国·七年级课时练习）下列是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：是一元一次不等式组．故选：B．例题3．（2020·全国·七年级课时练习）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】①是一元一次不等式组，故①正确；②是一元一次不等式组，故②正确；③是一元二次不等式组，故③错误；④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误；⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；⑥是一元一次不等式组，故⑥正确.故选：C．同类题型归类练1．（2018·全国·七年级单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（

）(1)(2)(3)(4)A．(3) B．(4) C．(1)、(3) D．(2)、(4)【答案】A【详解】根据一元一次不等式组的概念，可知（1）、（2）、（4）是一元一次不等式组，（3）中含有两个未知数，且最高次数为2，故不是一元一次不等式组.故选A.2．（2018·全国·七年级课时练习）下列四个选项中是一元一次不等式组的是()A． B．C． D．【答案】D【详解】A、不是一元一次不等式组，故此选项错误；B、不是一元一次不等式组，故此选项错误；C、不是一元一次不等式组，故此选项错误；D、是一元一次不等式组，故此选项正确；故选D．3.（多选）（2021·全国·八年级专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的是（）A． B． C． D． E．【答案】ABD【详解】解：A、属于一元一次不等式组，符合题意；B、属于一元一次不等式组，符合题意；C、属于一元二次不等式组，不符合题意；D、属于一元一次不等式组，符合题意；E、属于二元一次不等式组，不符合题意；故选：ABD．题型八：解一元一次不等式组典型例题例题1．（2022·山东·理合中学七年级阶段练习）关于的不等式组有两个整数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵不等式组有两个整数解，∴不等式组的整数解为，，∴，故选：A．例题2．（2022·民大附中海南陵水分校七年级期中）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵∴这个不等式组的解集为：，A、解不等式组得：无解，故本选项不符合题意，B、解不等式组得：，故本选项不符合题意，C、解不等式组得：，故本选项不符合题意，D、解不等式组得：，故本选项符合题意．故选：D．例题3．（2022·河南·濮阳市第一中学八年级期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：解不等式组为，∵该不等式组无解，∴，解得．故选：B．例题4．（2022·山东省临邑县宿安中学七年级阶段练习）若不等式组的解集中的任意，都能使不等式成立，则的取值范围____________．【答案】【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，∵不等式组的解集中的任意x，都能使不等式成立，∴，∴，故答案为：．例题5．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若关于的不等式组，恰好只有四个整数解，则的取值范围是___．【答案】【详解】解：，由不等式得：，由不等式得：，根据题意不等式组有解集，∴不等式的解集为：，∵关于x的不等式组有4个整数解，∴的整数解为2，1，0，，即有：，∴a的取值范围是：，故答案为：．例题6．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期中）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．【答案】，数轴见详解．【详解】解：解不等式得：，，解得：，∴不等式组的解集为，把不等式的解集表示在数轴上为：．例题7．（2022·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：【答案】，数轴上表示见解析【详解】，解不等式得：，解不等式得：，原不等式组的解集为．该解集在数轴上表示如图所示：例题8．（2021·广西·梧州市黄埔双语实验学校七年级阶段练习）解不等式组(1)；(2)．【答案】(1)；(2)无解．（1）解：解，得；解，得；将两个解集分别在数轴上表示如图：原不等式组的解集是：．（2）解：解不等式，得；解不等式，得；将两个解集在数轴上表示如图：原不等式组的解集是无解．同类题型归类练1．（2022·山东·巨野县高级中学八年级期中）已知关于的不等式组的解集在数轴上表示如图，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由不等式组，解得，由数轴图形可知不等式组的解集表示为：，故，解得，则．故选：C．2．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室八年级期末）如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组有且只有3个整数解，整数解为：0，1，2，，解得：，故选：D．3．（2022·吉林省第二实验高新学校七年级阶段练习）已知关于x的不等式组的解集是，则a、b的值分别为（

）A．a＝2、b＝10 B．a＝2、b＝0 C．a＝4、b＝10 D．a＝4、b＝0【答案】A【详解】解：，由①得，，由②得，，∵不等式组的解集是，∴，解得．故选：A．4．（2022·浙江·金华市南苑中学八年级阶段练习）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为_____．【答案】##【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组无解，∴，∴，故答案为：．5．（2022·浙江·新昌县城关中学八年级期中）解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．(1)；(2)．【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【详解】（1）解：去分母：，去括号得：，解得在数轴上表示，如图，（2）解：解不等式①得：解不等式②得：在数轴上表示，如图，∴不等式组的解集为：6．（2022·福建·明溪县教师进修学校八年级期中）解不等式组

并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【详解】解∶，解不等式①得：，解不等式②得：，所以原不等式组的解集为，把解集在数轴上表示出来，如图：7．（2022·福建·上杭县第四中学七年级阶段练习）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来【答案】数轴见解析【详解】解：由①得由②得：整理得：解得：不等式的解集在数轴上表示为：不等式的解集为：8．（2022·福建·厦门市第三中学九年级期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．【答案】，解集在数轴上表示见解析．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集是．将解集表示在数轴上如下：．题型九：一元一次不等式组的应用典型例题例题1．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m，，，，，，解得，，故选：B．例题2．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指哪种方案学校花钱最少．【答案】(1)跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元(2)共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，依题意，得：，解得：，经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，∴．答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．（2）解：设购买跳绳a个，则购买毽子个．依题意，得：，解得：，∵a为整数，∴，共三种方案；设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，则，∵，∴w随a的增大而增大，∴当时，w取得最小值，则，答：共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．例题3．（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）有甲、乙两种客车，3辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为180人，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人．(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？(2)某校组织不少于180名学生到某红色教育基地开展“庆祝中国共产主义青年团成立100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用不超过1950元，一次将全部学生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？【答案】(1)1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人(2)租3辆甲车，2辆乙车或租4辆甲车，1辆乙车；最少租车费用是1840元．（1）解：设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据题意得：，解得，答：1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人；（2）解：设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，依题意有：，解得：，∵a为整数，∴a＝3或4，当a＝3时，租3辆甲车，2辆乙车，费用为：3×400+2×320＝1840（元），当a＝4时，租4辆甲车，1辆乙车，费用为：4×400+1×320＝1920（元），故有2种租车方案，租3辆甲车，2辆乙车或租4辆甲车，1辆乙车；最少租车费用是1840元．例题4．（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）为降低空气污染，漯河市公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买型和型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：型型价格（万元/辆）年均载客量（万人/年/辆）60100若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元.(1)求、的值：(2)如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次.请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由.【答案】(1)a=100，b=150(2)A型公交车8辆，B型公交车2辆（1）解：由题意列方程组为：，解得：；（2）总费用最少的方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下，设购买A型公交车x辆，则B型公交车辆，根据题意列不等式组为：，解得：，∵x为正整数，∴x取值为：6、7、8，当时，购买总费用为：（万元），当时，购买总费用为：（万元），当时，购买总费用为：（万元），即时，费用最少，此时，答：总费用最少的方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．同类题型归类练1．（2021·广西·梧州市黄埔双语实验学校七年级阶段练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．【答案】【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：最后一个同学最多分得3个，则，即．故答案为．2．（2021·浙江·宁波大学青藤书院八年级期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于120万元，则有哪几种购车方案？【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，B型车的售价为26万元(2)共有3种购车方案，方案1：购进2辆A型车，4辆B型车；方案2：购进3辆A型车，3辆B型车；方案3：购进4辆A型车，2辆B型车．（1）解：设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，依题意得：，解得：．答：每辆A型车的售价为18万元，B型车的售价为26万元．（2）设购进m辆A型车，则购进辆B型车，依题意得：，解得：，又∵m为正整数，∴m可以为2，3，4，∴共有3种购车方案，方案1：购进2辆A型车，4辆B型车；方案2：购进3辆A型车，3辆B型车；方案3：购进4辆A型车，2辆B型车．3．（2022·河南漯河·七年级期末）我市是“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A、B两种树苗共棵．已知A种树苗每棵元，B种树苗每棵元．(1)若购进A、B两种树苗共花费了元，问购进A、B两种树苗各多少棵？(2)若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，且总费用不超过2100元，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】(1)购进A种树苗13棵，B种树苗10棵；(2)购进A种树苗12棵，B种树苗11棵；此时购进费用为2080元．（1）解：设购进A种树苗x棵，B种树苗y棵，由题意可得：解得：答：购进A种树苗13棵，B种树苗10棵；（2）设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗棵，由题意可得：解得∵为正整数，∴∴A种树苗每棵元，B种树苗每棵元．当树苗数量较少时，费用较