江苏省泰州市口岸中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

PAGEPAGE62023—2024学年度高二年级第一学期期中教学质量调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若过两点，的直线的倾斜角为，则y的值为（）A.0 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.【详解】由于直线MN的倾斜角为，则该直线MN的斜率为，又因为，，所以，解得.故选：B2.已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程．【详解】因为双曲线的焦距为，所以，则，解得，，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.3.已知双曲线C：焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线以及实轴的概念求解.【详解】双曲线C的一条渐近线方程为，焦点到直线的距离为，又因为实轴长为，所以，所以C的方程为，故选：D.4.已知（O为坐标原点）的顶点都在抛物线上，若抛物线的焦点F恰好是的重心，则的值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】确定，设，，根据重心坐标公式计算得到点坐标，再利用两点间距离公式计算得到答案.【详解】抛物线，则焦点，设，，则，解得或，不妨取，，则.故选：A5.已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（）A.20 B.－20 C.10 D.－10【答案】B【解析】【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，即可判断结果.【详解】圆：的圆心，即圆心为，半径为，若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上，将圆：与圆：作差，得两圆公共弦所在直线方程，代入得.故选：B6.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，，根据已知结合图形，得出，然后求出，即可得出答案.【详解】设，，由题，则，当滑动到位置时，在上顶点或下顶点，则，又当在右顶点时，恰好在位置，则，所以，故离心率为.故选：C.7.已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（）A.0条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解.【详解】由题意，，当直线的斜率为时，直线的方程为，在方程中，令，则，此时，符合题意，当直线的斜率不等于时，设方程为，联立，消得，则，解得，设，则，故，解得，综上所述，符合题意得直线有条故选：C.8.已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，设椭圆的左焦点为，即，则，故要求的最小值，即求的最小值，所以的最小值等于，即的最小值为，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．9.已知曲线C：．（）A.若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若，则C是圆，其半径为C.若，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若，，则C是两条直线【答案】CD【解析】【分析】根据，将化为，结合椭圆方程判断A；结合圆的方程判断B；讨论的正负，结合双曲线方程以及渐近线方程可判断C；，时，可得，即可判断D.【详解】对于A，若，则，则即为，故表示焦点在x轴上的椭圆，A错误；对于B，若，则即为，故C是圆，其半径为，B错误；对于C，若，则不妨设，则即为，曲线C此时表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，当，则即为，曲线C此时表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为,综上，若，则C是双曲线，其渐近线方程为，C正确；对于D，若，，则即为，即，即则C是两条直线，D正确，故选：CD10.已知点和圆O：，则下列选项正确的有（）A.若点P在圆O内，则直线与圆O相交B.若点P在圆O上，则直线与圆O相切C.若点P在圆O外，则直线与圆O相离D.若直线AP与圆O相切，A为切点，则【答案】BD【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可结合选项求解ABC，根据勾股定理即可求解D.【详解】对于A，点在圆内，则，又点到直线的距离，直线与圆相离，故A错误；对于B，点在圆上，，又点到直线的距离，故与圆相切，,故B正确；对于C，点在圆外，则，又点到直线的距离，直线与圆相交，故C错误；若直线与圆相切，则点在圆外，所以，故D正确．故选：BD．11.已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.离心率B.最大值为25C.直线PA与直线PB斜率乘积为定值D.过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20【答案】ABD【解析】【分析】由椭圆离心率的计算公式即可判断A，由椭圆的定义以及基本不等式即可判断B，由椭圆的标准方程代入计算即可判断C，由椭圆的定义以及三角形的周长公式即可判断D.【详解】由椭圆的方程可得，则，则椭圆离心率为，故A正确；由椭圆的定义可知，，又，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以最大值为25，故B正确；设，，则，所以，因为点在椭圆上，则，即，所以，故C错误；由椭圆的定义可知，，且的周长为，故D正确；故选：ABD12.若点在双曲线上，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】依题意可得，，，从而可得到的取值范围，进而即可判断A；根据题意整理双曲线方程即可判断B；根据题意即可求得双曲线的渐近线方程，进而即可判断C；当时，有，进而即可判断D．【详解】对于A，依题意得，，，所以，故A正确；对于B，依题意得，则，所以，故B正确；对于C，依题意得双曲线的渐近线方程为，所以，故C正确；对于D，依题意得，则当时，有，此时，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.等轴双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】【分析】用等轴双曲线的性质直接求出即可.【详解】因为是等轴双曲线，所以设双曲线的方程为，所以渐近线方程为：，故答案为：14.已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围______.【答案】【解析】【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可.【详解】由题意知，，则，因为圆与圆有公共点，所以，即，解得，所以实数a取值范围是.故答案为：.15.已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为______．【答案】【解析】【分析】确定焦点坐标，设，根据斜率得到，，再计算面积即可.【详解】抛物线的焦点为，设，，则，解得或（舍），，准线方程为，则，.故答案为：.16.已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为______．【答案】【解析】【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解.【详解】由，得，故两点直线上，联立，消得，恒成立，则，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为．（1）求点的坐标；（2）求边所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的方程联立得出点的坐标，再根据两点中点的计算公式结合已知列式求解得出答案；（2）由结合边所在直线的方程得出边所在直线的方程的斜率，再结合（1）得出的点坐标由直线的点斜式方程得出答案.【小问1详解】边所在直线的方程为，所在直线的方程为联立，解得：，点的坐标为，中点为，设点，，解得，即点的坐标为.【小问2详解】直角的斜边为，,边所在直线的方程为,斜率为，边所在的直线方程斜率为，边所在的直线过点，边所在的直线方程为，即.18.已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，当面积最大时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，利用直线与圆相切即可求得圆的方程;（2）根据几何法求弦长，表示出面积，借助基本不等式计算即可.【小问1详解】结合题意：因为圆心C在y轴的负半轴上,且半径为4,所以可设圆的标准方程为：，，此时圆心为因为直线：与圆相切,所以圆心到直线的距离，即：，解得：（舍去），或，所以圆C的方程为：.【小问2详解】由上问可得：的圆心C为，所以圆心到直线：的距离为：，结合圆的弦长公式：，直线与圆C相交于A，B两点，所以，所以，当且仅当时，即时，面积取到最大值8.即，解得：，所以直线的方程：或.19.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，直线l与抛物线C相交于A，B两点（A，B均异于原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）若以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，证明：直线l恒过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线定义有，结合已知求参数，即可得抛物线方程；（2）由题意设直线，联立抛物线消去y得到，应用韦达定理，弦长公式求中点坐标、，再由已知列方程求参数m，即可证结论.【小问1详解】由抛物线定义知：，则.【小问2详解】由题设，直线斜率一定存在，设直线，联立抛物线可得，即，则，，，故，故中点坐标为，以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，其半径，而，所以，两边平方得，整理得，即或，当，则，此时A，B必有一个点与原点重合，不合题意；当，则，此时直线必过定点.所以直线l恒过定点.20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：和点．点Q在E上，且．（1）求E方程；（2）若过点H作两条直线，，与E相交于A，B两点，与E相交于C，D两点，直线AB，CD，AD，BC的斜率分别为，，，．证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的方程求解；（2）利用抛物线的方程以及斜率公式证明.【小问1详解】因为,所以，因为点Q在E上，所以，所以，所以E的方程为：.【小问2详解】设所以直线的斜率为直线的斜率为直线的斜率为直线的斜率为所以所以.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义确定出的值，由此可求，则的方程可求；（2）设出直线的方程，通过联立思想结合韦达定理求得，再结合三角形面积公式可求结果.【小问1详解】因为，所以的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以，所以的方程为；【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在且不为，因为渐近线的斜率为，所以，，联立可得，所以，所以，又因为到直线的距离，所以，化简可得，即，解得，经检验符合条件，综上可知，直线的斜率为.22.已知椭圆过点和．（1）求C的方程；（2）设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将点代入方程求椭圆