2023年北师大版八年级数学上册实数知识点及习题

实数

知识点一、【平方根】假如一个数X的平方等于a,那么，这个数X就叫做a的平方根；也即，当-=a(aNO)时，我们

称x是a的平方根,记做：x=±JZ(a»O)。因此：

1、当Q=0时，它的平方根只有一个，也就是0自身；

2、当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做:》=±右。

3、当a<0时，也即a为负数时，它不存在平方根。

例1.

(1)的平方是64,所以64的平方根是；

(2)的平方根是它自身。

(3)若正的平方根是±2,则x=_；J话的平方根是

(4)当x时，\l3~2x故意义。

(5)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?这个正数是多少？

知识点二、【算术平方根】：

1、假如一个正数x的平方等于a,即丁=。，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为:读作，"根

号a",其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2、算术平方根的性质:具有双重非负性，W：V^>0(a>0)o

3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算

术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表达为：右；而平方根具有两个互为相反数的值，表达为：

±y[a。

例2.

(1)下列说法对的的是()

A.1的立方根是±1；B.J?=±2;(C)、风的平方根是±3；(D)、0没有平方根；

(2)下列各式对的的是()

A、痼=±9B、|3.14-乃|=3.14C、7^27=-9A/3D、旧-6=叵

(3)J(-3/的算术平方根是。

(4)若五+Q故意义，则V7+T=o

(5)已知△人8。的三边分别是名。了,且41满足而三+(8一4)2=0,求c的取值范围。

(7)假如X、y分别是4一错误!的整数部分和小数部分。求x—y的值.

(8)求下列各数的平方根和算术平方根.

64；—；0.0004;(—25此11.

121

1.44,0,8,—,441,196,10

49

(9)(屈”等于多少？(至)2等于多少？

(10)(阮)2等于多少？

(11)对于正数a,(右)2等于多少?

我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.

知识点三、【开平方性质】

(1)V4xV9=,V4^9=;

(2)(2)V16xV9=，J16x9=

(4)(4)叁=_____________,隹=________.

V25、25

知识点四、【立方根】：

1、假如x的立方等于a,那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：读作,3次根号心注意:这里的

3表达的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数,但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。

2、平方根与立方根:每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根;但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才干

有平方根。

例3.

(1)64的立方根是

(2)若V^=2.89,V^=28.9,则b等于("A.1OOOO00B.1000C.10D.1OOOO

(3)下列说法中:①±3都是27的立方根，②疗=y,③病的立方根是2,④取±8)2=±4。

其中对的的有()

A、1个B、2个C、3个D、4个

知识点五、【无理数】：

1、无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限"以及"不循环"这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式重要

包含下列几种：（1）特殊意义的数，如:圆周率乃以及具有万的一些数，如：2-万,3万等;（2）开方开不尽的数，如：

行，石,莎等；（3）特殊结构的数:如:2.01001000100001...（两个1之间依次多1个0）等.应当

要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如:囱等;无理数也不一定带根号，如：71

2、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数;（2）所有

的有理数都能写成分数的形式（整数可以当作是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.⑷、②0.33333③亚-S、④小⑤土"li、⑦0.3…（相邻两个3

之间0的个数逐次增长2）、其中是有理数的有；是无理数的有o（填序号）

（2）有五个数：0.125125...,0-兀,41,我其中无理数有（）个

A2B3C4D5

知识点六、【实数】：

1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负

整数是-1，最小的正整数是L

2、实数的性质:实数a的相反数是-a；实数a的倒数是上（"0）：实数a的绝对值I='°）,它的几何意义

a\-a（a<0）

是:在数轴上的点到原点的距离。

3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大于

负数;两个正数，绝对值大的就大，两个负数,绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4、实数的运算:在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一

致。

例5.

（1）下列说法对的的是（）；

A、任何有理数均可用分数形式表达；B、数轴上的点与有理数一一相应：

C、1和2之间的无理数只有J5；D、不带根号的数都是有理数。

（2）①a,b在数轴上的位置如图所示，则下列各式故意义的是（）

a0b

A、yja-bB、4abC、-Ja+bD、-Jb-a

(3)如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称,A、B两点相应的实数是6和-1,则点C所相应的实数是()

A.1+73B.2+73C.273-1D.2V3+1

(4)实数。、6在轴上的位置如图所示，且同〉网，则化简后一心+4的结果为()

---*----------%------>

A.2a+hB.—2a+bC.bD^2a—b

(5)比较大小(填">"或

3Vio,-V3V20,7A/66A/7,避」

----2—2

(6)将下列各数：2,口，百,一1一行，用“〈”连接起来；______________________________________________________

(7)若时=3,“=2,且"<0,则:a-b—

(8)计算：

VO.125-

(9)已知：(x—7)2=121,(y+lF=-0.064,求代数式JU—Jx+10y+)245y的值。

B11^1ACI

03

基础练习一

一、选择题

1.下列数中是无理数的是（）A.O.1223B.上C.0。D.22

27

2.下列说法中对的的是（）

A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数

3.下列语句对的的是（）

A.3.88是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数

C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数

3

4.在直角中，Z^90°,10一，8。=2,则43为（）

2

A.整数B.分数C.无理数。D.不能拟定

5.面积为6的长方形，长是宽的2倍,则宽为（）A.小数B.分数。C.无理数。D.不能拟定

6.而牙的化简结果是（)A.2。B.-2C.2或-2D.4

7.9的算术平方根是（)A.±3B.3C.土百。D.V3

8.（一11尸的平方根是A.121B.11C.±11D.没有平方根

9.下列式子中，对的的是（)

A.=-V5B.-V^6=-0.6c.7(-13)2=13»D.V36=±6

10.7-2的算术平方根是（)A.1B,7C.1

74

D.4

11.16的平方根是（）A.±4。B.24C.±V2oD.±2

12.一个数的算术平方根为a、，比这个数大2的数是（)

A.a+2B.C.C+2D,a+2

13.下列说法对的的是（）

A.-2是-4的平方根B.2是（-2F的算术平方根C.（一2尸的平方根是2D.8的平方根是4

14.V16的平方根是（)A.4。B.-4C.±4D.±2

15.百+JM的值是（)A.7~B.-1C.1D.-7

16.下列各数中没有平方根的数是（)A.-(-2)3B.3.C.a0»D.-(a2+l)

17.而等于（）A.aWB.-aC.士尤D.以上答案都不

对

18.假如a（a>（））的平方根是±加，那么（）

A.a=±/z;B.a=土加2C.-Ja=+mD.土&=±m

19.若正方形的边长是a,面积为S,那么（）

A.S的平方根是a□B.a是S的算术平方根C.a=±Vs4.我石

二、填空题

1.在0.351,-2,4.969696-,6.…，0,—5.2333,5.…中，无理数的个数有.

3

2.______小数或小数是有理数，—小数是无理数.

3./=8,则x分数_______整数,有理数.（填“是”或“不是”）

4.面积为3的正方形的边长有理数；面积为4的正方形的边长有理数.（填“是”或“不是”）

5.3的平方根是_________；6.（-J）?的算术平方根是__________;

1214

7.一个正数的平方根是2a—1与一a+2,则&=,这个正数是;

8.后的算术平方根是;9.9*的算术平方根是;

10.血的值等于,V?的平方根为；11.（-4/的平方根是—，算术平方根是

三.判断题

1.-0.01>0.1的平方根.（）

2.-52的平方根为一5.（）

3.0和负数没有平方根.（）

4.由于,的平方根是土工，所以、口=±工.（

164V164)

5.正数的平方根有两个,它们是互为相反数.()

四、解答题

..2

1.已知：在数-3,—145,“，3.1416,-,0,42,(-1)2n,-1.…中,

43

(1)写出所有有理数；

(2)写出所有无理数；

2.要切一块面积为36m?的正方形铁板，它的边长应是多少?

3.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-15,求这个数.

分母有理化

1.分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.有理化因式：两个具有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不具有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因

式。有理化因式拟定方法如下：

①单项二次根式:运用〃来拟定，如：&与+b与yja+b,-b与da-b等分别互为有理化因

式。

②两项二次根式：运用平方差公式来拟定。如a+扬与a-VF,&i+R与&-a,as[x+by/y^ay/x-byfy

分别互为有理化因式。

例题:找出下列各式的有理化因式

(4)3五+y/ba+b(6)a-yjx1—cr(%>a)

(1)712(2)V5-2(3)币+M

3.分母有理化的方法与环节：

(1)先将分子、分母化成最简二次根式;

八、^2—5/6

(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;

(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

例题:把下列各式分母有理化

⑵7^33也-

。后()5舁3石⑶

例题:把下列各式分母有理化:

/、a-b⑵ciI⑷

⑷G折⑶

Ja+2+a—2b+个a1+〃

【练习】

1.找出下列各式的有理化因式

(1)5+72(2)2百-8而(3)x/a+a\[b(4)a0-3亚

2.把下列各式分母有理化

(2)7^7?26一6

⑸

⑴扃2G+6

3.计算

z«x,72->/3—2132

⑵

2TV35/3—y/2,V2—V5s/5+y/3

4.比较大小厂1厂与厂1厂

V7-V5V5-V3

5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面:

(1)276：(2)-577；⑶咽；(4)-2a4b;(5)-V3;

3

1.计算

(1)5V15+j|UV5;(2)73-(4-375)；(3)(14+6病+(3+7?)；(4)

-V6-4J--e--

2123V2

☆★专题讲解:

类型一.有关概念的辨认

1、实数的有关概念

如：2巴,》等，开方开不尽的数，如血,遥等;特

无理数即无限不循环小数,初中重要学习了四类：含万的数,

2

定结构的数,例0.010010001…等；某些三角函数，如sin60°,cos450等。判断一个数是否是无理数，不能

只看形式，要看运算结果，如乃°,J比是有理数，而不是无理数。

22

垂）,其中，无理数的个数有（）

例1.下面几个数：0.1237,1.…,-VO.064,3n

AB2C3D4

例2.（2023年浙江省东阳县）

A.无理数8B.有理数。C.整数。D.负数

举反

1.在实数中一错误!，0,G，一3.14,4中无理数有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、平方根、算术平方根、立方根的概念

若a20,则a的平方根是土G,a的算术平方根G;若@<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数，则

a的立方根是无。

【例1】标的平方根是

【例2］错误!的平方根是.

［例3］下列各式属于最简二次根式的是（）

A.Vx2+1B.Jx2ysC.V12D.后

［例4］（2023山东德州）下列计算对的的是

(A)2°=0

(C)囱=3。(D)亚+6=逐

【例5】（2023年四川省眉山市）计算必了的结果是

A.3B.-3C.±3D.9

举一反三:

1.下列说法中对的的是（AA、屈的平方根是±3B、1的立方根是±1C、71=±1D、一右是5的

平方根的相反数

2.1.25的算术平方根是平方根是,..-27立方根是.

±、顺=,_V27_.4

类型二.计算类型题

L估算、比较大小

正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大体范

围，要想对的估算需记熟0~20之间整数的平方和0~10之间整数的立方.

例1.设而=&,则下列结论对的的是（）aA.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5

C.5.5<a<6,0D.6.0<a<6,5

解析：

例2.（2023年浙江省金华）在-3,-g,-1,0这四个实数中，最大的是（）

A.-3B.-6C.-1D.0

2.二次根式的运算

二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次

根式后，再运用乘法的分派律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样合用，如：单项式乘以多项

式、多项式乘以多项式、乘法公式等.实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识

结合起来.解决这类问题应明确各种运算的含义（a°=1（。力0,p是整数），运算时注意各项的符号，

ap

灵活运用运算法则，细心计算。

例1、计算在+a2A所得结果是_______.

例2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+，l-2a+a2其中a=9时”，得出

了不同的答案，小明的解答：原式=a+了-2a+a?=a+（1—a）=1,小芳的解答：原式=a+（a—1）=2a-1=2

X9-1=17

⑴是错误的；

⑵错误的解答错在未能对的运用二次根式的性质：

例3、计算：（1）（30—26）2-（3夜+26）（2）（垃-G严T及+6）2°02

例4、二次根式中，字母a的取值范围是()

A.a<\B.aWlC.a21D.

举一反三：1入求下列各式中的x

2

(1)x=25(2)=9(3)/=-646类型三.数形结合

例1.点A在数轴上表达的数为3、后,点B在数轴上表达的数为一后，则A3两点的距离为A举一反三:

1.如图，数轴上表达1,④的相应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表达的数是().

?!4

oCAB*A.0-1B.1-0C.2-0D.0-2

2,已知实数a、3、c在数轴上的位置如图所示：A

~atr二化简佐一司+卜_耳_卜+同一3一c一/

3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半

轴于点A,则点A表达的数是()4B、1.4

C、及D、E

类型四^实数绝对值的应用

例4.化简下列各式：1(72-1.42⑵I"-3.1421

(3)|世一逝|

4)|x-|x3||(xw3)

(5)X2+6x+10

举反

卜回-2-72|+|A/2+—|V2—

【变式1】化简

A类型五.实数非负性的应用

若a为实数,则a2,\a&(a>0)均为非负数。

43a-b+|t72-49|

非负数的性质：几个非负数的和等于0,则每个非负数都等于0。A例5.己知:Ja+7=0，求实数a,b的

值

举一反三:

1.已知(x-2)"+|y—4|+A/Z-6=0,求xyz的值.

2、已知(x—6)'+#2'-°，)+Iy+2zI=0,求(x-y)"z、'的值。A

A3、已知Ja-2+e+5)2+|c+l[=°那么a+b.c的值为

类型六.实数应用题A例6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积

为这两个图形的面积之和的正方形问边长应为多少cm。

基础训练二

一、选择题

1.下列各式中对的的是（AA.抵=±4B.标'=4c.口=3D,

2.厄的平方根是（AA.4B.±4C.2D.±2

3.下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是

无理数。其中对的的说法有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

4.和数轴上的点一一相应的是（）

A.整数B.有理数C.无理数D.实数

5.对于返一J5来说（）

A.有平方根B.只有算术平方根C.没有平方根D.不能拟定

—,0,-3V0?00i,^,3,14,-.0.1010010001--

6.在723（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数

的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

7.面积为11的正方形边长为x,则x的范围是（）

A.l<x<3B,3<x<4c.5cxe10D.10<x<100A

8.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.-2与2B.|-72|c.J（一>与3"/^D.3，^与-3花

9.-8的立方根与4的平方根之和是（AA.OB,4C.0或一4D.0或4

10.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）&A.a+1

B.Ja+1ca2+1D,心'+晨

二、填空题

11的相反数是，绝对值等于血的数是,I3一才|=…12.两的算术平

3Jl+2-

方根是,V8=______。

13.的平方根等于它自身，的立方根等于它自身的算术平方根等于它自身。

14.已知|xI的算术平方根是8,那么x的立方根是。

15.填入两个和为6的无理数,使等式成立：—+—=6。416.大于一短，小于而的整数有个。A

17.若|2a-5I与后◎互为相反数，则a=,b=。

18.若lai=6,6=3,且ab<0,则a-b=…19.数轴上点A,点B分别表达实数小，有一2,则人、

B两点间的距离为20.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a—4,则a=,x=。

三、解答题

21.计算

（1）±70^09⑵-心+而⑶3ypi^4

__________（1丫r

77

（4）|-^|+|72-2|⑸（-2）%耐+'庖x⑸一9A

（6）4X[9+2X（右一2月（结果保存3个有效数字）以

22.在数轴上表达下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用号连

接：-1.5,0,2,-0,一犯

参考答案：

1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、二：11、+的士、。

,*31

3

2、3,213、0;0,±1；0,114、±415、答案不唯一如：6-忒点16,5

2-2

17、218、-1519、220、1,9—三：△21,⑴为3(2)-17⑶-9(4)

2(5)-36(6)37.9-22、&

-4-3-2-1-3-101234

-7T<-2<-1.5<--\/2<0<1,5<2<TT

基础练习三

一、选择题

1.大于-2，5,且不大于3尼的整数的个数是（）

A.9B.8C.7D.5

2.下列几种说法：（1）无理数都是无限小数；（2）带根号的数是无理数；（3）实数分为正实数和负实数；（4）无理

数涉及正无理数、零和负无理数。其中对的的有（）

A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)C.(1)(4)D.只有（1）

3.要使#(3-X)3=3-X,则x的取值范围()

A.xW3B.x23C.0WxW3D.任意数

4.下列四个命题中，对的的是（）

A.数轴上任意一点都表达唯一的一个有理数B.数轴上任意一点都表达唯一的一个无理数

C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两个点之间尚有无数个点

5.若a为正数，则有（）

A.a＞y[aB.a=&C.a＜7aD.a与&的关系不拟定

6.YZ不是（

)

2

A.分数B.小数C.无理数I）.实数

7.下列说法对的的是（）

A.无限小数都是无理数B.无理小数是无限小数

C.无理数的平方是无理数D.无理数的平方不是整数

8.下列等式对的的是（）

C.H-3D.4

-1a0

1

9.实数a在数轴上的位置如图2—6-2,则a,-a,-,9的大小关系是().图2-6-2

a

1,21,21/1)

A.。＜-。＜一B.-6＜一＜CTC.-a＜一＜a2"D.一

aaa

10.12—石|+|3—的值是（

A.-1B.1C.5—2-\/5D.2V5—5

IL下列各语句中错误的个数为（）.①最小的实数和最大的实数都不存在;②任何实数的绝对值都是非负数；③

任何实数的平方根都是互为相反数；④若两个非负数的和为零，则这两个数都为零.

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

1、2］的算术平方根是.（-1.44尸的算术平方根为.回的算术平方根为

V0X）4=__________

后的平方根是；9々是的算数平方根；5、(-L)2的算术平方根是

2.等腰三角形的两条边长分别为26和5,那么这个三角形的周长等于o

3.负数a与夜的差的绝对值是.

4、若a、。都是无理数，且卅左2,则a、6的值可以是(填上一个满足条件的值即可).

5、实数a在数轴上的位置如图所示，则|a_l|+J(a_2)2=.-------------

6.(V2-V3)2023(&-百产23=,

7.实数P在数轴上的位置如图1所示，化简J(p_l)2+&p-2)2=.

第6题图

8.一个负数a的倒数等于它自身，则疝;若一个数a的相反数等于它自身，则

43a—572a+1+2Va-8=。

9.数轴上的点与一一相应关系，一3.14在数轴上的点在表达一n的点的侧。

10.比较大小：(1)3后3>/26(2)_1--

三、判断

(1)无理数都是开方开不尽的数。(2)无理数都是无限小数。

(3)无限小数都是无理数。)(4)无理数涉及正无理数、零、负无理数。(

(5)不带根号的数都是有理数。(6)带根号的数都是无理数。

(7)有理数都是有限小数。(8)实数涉及有限小数和无限小数.

(9)所有的有理数都可以在数轴上表达，反过来，数轴上所有的点都表达有理数()

四、解答题

1.实数a、b、c在数轴上的相应关系如图2-5—1,化简I。-b\~\c-a\+\b-c\~\a\«

图2-6-1

2.求Jq+4—，9—2a+J1-3〃+飞—a?的值

综合练习

一、易考题:

1.-1的相反数的倒数是

2.已知Ia+3|+\R（,b+1）=0,则实数（a+b）的相反数

3.数一3.14与-7的大小关系是

4.和数轴上的点成一一相应关系的是

5.和数轴上表达数一3的点A距离等于2.5的B所表达的数是

2

6.在实数中；r,左，0,错误!「3.14,错误!无理数有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

7.一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）

（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数

8.若x<-3,贝U|x+3I等于（）

（A）x+3（B）-x_3（C）-x+3（D）x-3

9.下列说法对的是（）

（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数

（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数

10.实数在数轴上的相应点的位置如图，比较下列每组数的大小：

（1）c-b和d-a

（2）be和ad

二、考点训练：

*1.判断题：

（1）假如a为实数，那么-a一定是负数；（）

（2）对于任何实数a与b,|a-b|=|b-a|恒成立；（）

（3）两个无理数之和一定是无理数；（）

(4)两个无理数之积不一定是无理数；()

(5)任何有理数都有倒数；()(6)最小的负数是一1;()

(7)a的相反数的绝对值是它自身；()

(8)若|a|=2,Ib|=3且ab>0,贝!]a—b=-1;()

2.把下列各数分别填入相应的集合里

22

-I-3|,21.3,-1.234,,0,-\R(,9)，-错误!，一错误!，错误!，(错误!-错误!)°,3-

2,1..........中

无理数集合｛｝负分数集合｛｝

整数集合｛｝非负数集合｛｝

*3.已知1<x<2,贝