2023年高考第一次模拟卷数学(新高考Ⅱ卷A卷)(全解全析)

2023年高考数学第一次模拟考试卷

数学全解全折

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.己知集合4=&1<苫<2},8=&工£1},则433=()

A.1—1,2)B.(-oo,2)

C.[-1,3)D.[-1,2]

【答案】A

【分析】由一元二次不等式解得5=4-尽运1},再根据集合并集运算即可解决.

【详解】由题知,A={r|l<x<2},B={d凶},

由x/1,即(x-l)(r+l)<0,解得一1冬长1,

所以B=4-尽我1},

所以AuB={x|-Kx<2}.

故选:A.

2.(3-2i)(2-i)=()

A.8+7iB.8-7iC.4+7iD.4-7i

【答案】D

【分析】根据复数乘法公式，即可计算结果.

【详解】(3—2i)(2-i)=6-4i-3i-2=4-7i.

故选：D

3.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1,2,3,9填入3x3的方格内，

使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1,2,

3,"2填入"X"个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作〃阶幻

方.记”阶幻方的数的和(即方格内的所有数的和)为S,如S=45,那么10阶幻方每行、每列、每条

n3

对角线上的数的和均为()

洛书幻方

492

357

816

A.555B.101C.505D.1010

【答案】C

【分析】利用等差数列求和公式得到S=5050,进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和.

10

_100x（1+100）

【详解】由题意得：S=1+2+3+…+100=-----------=5050,

io2

故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为5050+10=505.

故选：C

4.已知d=（2,-l）,E=（X+1,4）,且则悭++（）

A.V5B.275C.晒D.2师

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解x=l,进而根据模长公式即可求解.

【详解】由4=（2,—1）,b=（x+l,4）,6得dd=2（x+l）-4=0=>x=1,

所以2d+1=（6,2）,|24+.=V62+22=2加,

故选：D

5.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个

社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）

A.540种B.180种C.360种D.630种

【答案】A

【分析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区.

【详解】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，

第一类：6名志愿者分成1+2+3,共有CIC2CA3=360（种）选派方案，

6533

Ci。

第二类：6名志愿者分成1+1+4,共有十一A3=90（种）选派方案，

A?3

2

OC2c2

第三类：6名志愿者分成2+2+2,共有一^」人3=90（种）选派方案，

A33

3

所以共360+90+90=540（种）选派方案，

故选：A.

6.已知sin（a+7q,贝iJcos（2a+；］=（）

【答案】D

【分析】利用倍角公式cos（2a+g）=l-2sin2（a+",即得.

【详解】因为sin（a+t）W，

所以cos（2a+g）=1-2sinz（a+£）=l-2xg=；

故选：D.

7.如图，在三棱锥A-BCQ的平面展开图中，四边形BCED是菱形，8。=1,防=应，则三棱锥A-BCO

外接球的表面积为（）

尸（，4）

A.—B.2兀C.47rD.87t

3

【答案】B

【分析】画出三棱铢4-BCD的直观图，由已知数据可得应>_14£>,BC±AC,据此得到AB的中点。为

三棱锥4-38外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可得解.

【详解】三棱锥A-BCO的直观图，如图所示，

则3c=8£>=AC=4）=1,AB=霹,

所以8O2+ZM2=AB?，BC2+CA2=ABI,则8£）_LA£>，BCYAC,

取48的中点O,连接。。，OC,则。4=OB=OC=。。，

所以0为三棱锥力-BCD外接球的球心，半径/?=!AB=立，

22

故二棱锥A-外接球的表面积S=4兀上=2兀.

故选:B.

D

H

8.若对Vx,ywR.有f(x+y)=f(x)+f(y)-4,则函数g(x)=—^-+/(x)在［-2018,2018］上的最大值和最

X2+1

小值的和为()

A.4B.8C.6D.12

【答案】B

【分析】根据原抽象函数的关系，通过合理赋值得到/(X)+/(T)=8,设具有奇函数性质的新函数

h(x)=f(x)-4,再证明(p(x)=4匚为奇函数，根据奇函数+奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇函数性

X2+1

质得y=(P(x)+〃(x)，再利用函数图像的平移得到最终最值和为8.

【详解】解：Vx,)，wR.有/(x+y)=/(x)+/(y)-4,

取％=y=0,则/(0)=/(0)+〃0)-4,故/(0)=4,取"T,则f(0)=f(x)+f(r)_4,故f(x)+f(r)=8,

令/心)=/(%)-4,则/Z(X)+〃(T)=/G)-4+/(T)-4=8-4-4=0,故力(%)为奇函数，:g(x)=+f(x),设

X2+1

则g(x)=(p(x)+Mx)+4,,.,<p(-x)=---=-<p(x),故<P(x)为奇函数,故y=<P(x)+〃(x)为奇函数，故函数V在

X2+1

“2018,2018］上的最大值和最小值的和是0,

而g(x)是将函数丫的图像向上平移4个单位，即在1-2018,2018］上最大值和最小值均增加4,

故函数g(x)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是8,

故选：B.

【点睛】本题充分考察了抽象函数的奇偶性与对称性，我们需要构造新函数使其具有奇偶性，然后再利用

平移的特点，得到最终最值之和.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知a+2b=ab,则下列表达式正确的是()

A.a>2,b>\B.。+方的最小值为3

C.而的最小值为8D.(。-2)2+3-1)2的最小值为4

【答案】ACD

21

【分析】对A,通过用。表示〃以及用人表示。，即可求出范围，对B,对等式变形得一+7=1,利用

ab

乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求记油最小值，时D通过多变

量变单变量结合基本不等式即可求出最值.

【详解】对A选项，•••4/＞（）,a+26=ab,即从a-2）=a,贝肥=，_,

a-2

则口>0,且〃>0,解得a>2,

・.・Q+2b=〃6,则。(力-1)=24则a=----->0,且。>0,解得匕>1,故A正确;

b-\

21

对B选项，♦;a力>0,a+2b=ab,两边同除。。得一+—=1,

ab

则“+6=(4+1)[2+1]=3+2+丝23+2]土之=3+2日

\ab)ba\ba

当且仅当；=迎，且3+1=l,即"=2+0>=&'+l时等号成立，故B错误:

baab

对c选项，a+2b=ab>2>/2^b,­.-a,b>0,解得疝N2JI,故出?28,

当且仅当a=2"且曲=8,即。=4/=2时等号成立，故C正确；

对D选项，由A选项&=-^代入得(a-2)2+S-l)2=(。-2)2+(—--1

a-2la-2

=（”2）2+m：…+舟>2L-2)2.-^A^=4,

VU-2>

4

当且仅当3—2”=值二方，。＞2,即”=2+3时，此时6=夜+1时，等号成立,

故D正确.

故选：ACD.

10.设圆0:4+丫2=4,直线/：2x+y+5=0,尸为/上的动点.过点P作圆。的两条切线雨,PB,切点

为A,B,则下列说法中正确的是（）

A.直线/与圆。相交

B.直线A8恒过定点,■!，-1）

C.当P的坐标为（-2,-1）时，NAPB最大

D.当|尸。卜1481最小时,直线AB的方程为2x+y+4=0

【答案】BCD

【分析】求出圆心。到直线/的距离d=4.对于A：由d＞「直接判断；对于B：设P（m,-2m5）.求出以

OP为直径的圆。的方程，得到直线AB：-mkx+2），）+5y+4=0.丽明直线A8恒过定点（-，-［对于C：

先判断出

要使NAP5最大，只需NO州最大.在直角中，由$亩/0尸4=亲.求出OP最小时P（-2,-1）,即可

判断；对于D：利用面积相等得到要使|「。口他1最小，只需忙。|最小，即OPL时，得到P的坐标为

（-2,-1）,求出直线A8.

【详解】圆。》2+*=4的半径r=2.

设圆心。到直线/：2x+y+5=0的距离为d,则d=/）=技

,22+12

对于B：P为/:2x+y+5=0上的动点，可设P（〃?,-2祖-5）.

因为以，P8为过点P作圆。的两条切线，所以

所以O,API四点共圆，其中。尸为直径.

设OP的中点为。/一符号.则|。联后干笆,

所以圆3为（X-3j+卜++（一2丫。［2,E|JX2-mx+户+（5+2m）y=0.

所以直线48为圆。和圆0的相交弦，两圆方程相减得：-松+（5+2m）），+4=0.

即宜线AB：-m（x+2y）+5y+4=0.

8

x=一一

x+2y=05,所以直线AB恒过定点（一|,-5）.故B正确;

由解得:

5"4=04

y

5

对于C：因为和AOPB为直角三角形，且|。/>|=|。|,|。川=|。回,所以乙。以五。依，

所以ZOPA=NOPB,所以ZAPB=2Z0PA.

要使NAP8最大，只需/OP4最大.

nA2

在直角A。州中，sinZOP/l=—=

要使NOPA最大，只需|OP|最小，所以当。尸口时，|。4=1="最小，此时与,力=-1,所以

所以直线OP:y=Jx.

由"5"，解得：x-二，即当产的坐标为(-2,-1)时，NAPB最大.故C正确；

2x+y+5=0H

时于D：因为直线A8为圆。和圆。的相交弦，所以A3_L0P,且AB被0尸平分.

所以四边形O4N的面积为S=g|PO|-IA8L

而四边形。APB的面积还可以表示为25,一=2x；网.104|=’|。印-1。4|2.Q|=加印-22.2

所以S=^\PO[\AB1=加坤-22.2.

要使|PO|-IABI最小，只需「0|最小，即。尸，/时，得到户的坐标为(-2,-1).

所以圆D:x2+2x+y2+y=0,

两圆相减得到直线A8：2x+y+4=0.故D正确.

故选：BCD.

11.如图，正四棱锥E-ABCD的底面边长与侧棱长均为。，正三棱锥尸-/WE的棱长均为“，()

A.EFA.BC

C.E,F,A18四点共面

D.平面RW//平面8EC

【答案】ACD

【分析】结合选项逐个验证，线线垂直通常转化为线面垂直，锥体的内切球半径通常采用分割法求解，四

点共面借助余弦定理来判断，平面与平面平行通常借助线面平行来判断.

【详解】对于A,取A。的中点G,连接EG,FG，则A。_LEG,AD1FG,

又EG,FGu平面EFG,EGRFG=G,所以AOL平面EFG,

因为EFu平面EFG,所以AD工EF,又AD"BC,所以EF，8C,故A正确.

E

对于B,设内切球半径为r,易求得四棱锥E-ABCD的一个侧面的面积为S=Laz.sin巴所以

234

解得72a,故B错误.

4

对于C,取AE的中点”，连接DH,FH,BH,DB,易知AE1FH,AEVDH,AE1BH,所以ZDHF,

/T

/加»分别是二面角D-4£-F，二面角的平面角，易求得DH=FH=BH="a,所以

2

DH2+FH2-DF21DH2+BH2-DB21

cosNDHF=----------------=-，cosNDHB=----------------=,

2DH-FH32DH-BH3

又NDHF,NDHBJ。,』所以?与互补，所以E,F,A，B共面，故C正确;

=AB=AF=3E,所以四边形ABEF为平行四边形，所以AF//BE,BEu

平面BEC,AF仁平面BEC,所以AF〃平面BEC,

同理AD〃平面8EC,又AO,AFu平面ADF,AD^\AF=A,所以平面用。〃平面MC,故D正确.

故选：ACD.

12.函数f(x)=lnQ*+l)-x,则()

A./G）的定义域为RB.f（x）的值域为R

C./Q）是偶函数D./（口在区间［0,+6）上是增函数

【答案】ACD

【分析】由题可得函数的定义域判断A,根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断B,根据

奇偶性的定义可判断C,根据指数函数，对勾函数及对数函数的性质可判断D.

【详解】因为函数f（x）=lnQ,+l）-x,

所以函数fG）的定义域为R,故A正确；

因为/(x)=In(e2x+1)-x=In。2工+1)-Inex=In+'=InQ+e-),

ex

乂e》+e-v>2，当且仅当e、=e-x,即x=0取等号，所以/(x)Nln2,故B错误；

因为/(r)=ln(e7+e*)=/(x),所以/&)是偶函数，故C正确；

因为函数/=。在h+8)上单调递增，iLr=e.t>b根据对勾函数的性质可知“=f+［在r21上单调递增，

t

又函数y=ln"为增函数，故函数/G)在区间［。,+8)上是增函数，故D正确.

故选：ACD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量X~N(2,G),若尸(X>4)=0.2,则尸(0<X<2)=.

3

【答案】而

【分析】根据正态分布的对称性计算可得答案.

【详解】因为X~N(2,6),尸(X>4)=0.2,所以对称轴为彳=2,

所以P(X<0)=02,

P(0<X<2)=0.5-0.2=03.

故答案为:岛3.

14.已知x>0,y>0,且x+y=6,贝!J(l+x)(l+y)的最大值为

【答案】16

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为x>0,y>0,且x+y=6,

所以(1+x)(l+y)=1+x+y+X)1=7+<7+［*；))=16,

当且仅当x=y=3时等号成立.

故答案为：16

15.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0,3,6,12,24,48,96,……经过一定

的规律变化，得到新数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,……，科学家发现，新数列的各项恰好为太

阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、"谷神星''等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-

波得定则”.根据规律，新数列的第8项为.

【答案】19.6

【分析】分析原数列、新数列的规律，从而求得正确答案.

【详解】原数列，从第3项起，每一项是前一项的两倍，所以其第8项为96x2=192.

新数列，是将原数列的对应的项：先加4,然后除以1()所得，

所以，新数列的第8项为(192+4”10=19.6.

故答案为：19.6

16.已知椭圆三+二=1(〃>6>0)与抛物线y2=4px(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,

。202

且轴，则椭圆的离心率是.

【答案】V2-1

【分析】由尸(P，。)可得。2=从+小，结合抛物线方程可得A点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离

心率e的方程，结合ee(0,1)可解方程求得结果.

【详解】由题意知：F(P，0)是椭圆e+■^■=l(a>b>0)的焦点，：

/.Q2=从+”2；

aibi

•：AFJ_x轴，A（〃,2p）或A（p,-2p）,

代入椭圆方程得：匕+”1=1,.•.匕+士

42b2

2

，，2EA/-、-PP4〃24e2

又椭圆的离心率e=—，--------1------------------=《2+------------

a。2。2-〃21-C2

解得：e2=3±2>/J=（±应），又ew（0,D,e=L

故答案为：V2-1.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.已知数列｛a｝为公差不为0的等差数列，。=3,且loga,log«,loga成等差数列.

n2212327

(1)求数列M｝的通项公式；

n

(2)若数列立卜黄足人=—,求数列G｝的前"项和.

n»aan

nM+1

【答案】⑴。="+1

n

【分析】(D根据log?4，log/3,log2a7成等差数列以及。2=3可求出首项和公差，再根据等差数列的通

项公式即可求解；

(2)先求出b=一1一一］，再根据裂项相消法求和即可.

【详解】(1)：loga，loga,loga成等差数列，

2I2327

21oga=loga+loga=logaa,

232I27217

・二。2二。。,

317

设数列L｝的公差为"QMO),

n

/.G+2d»=a(a+6d),

iii

4。d+4d2=6。d,

ii

•.♦dxO,解得：q=%，

ci=a+d=3d=3,

21

,d=1,a=2d=2,

i

/.a=a+(〃-l)d=2+〃-1=〃+1；

ni

一[111

(2)*〃aaGi4-1)G+2)n+i〃+2'

n«+l

:.数列｛b｝的前〃项和为b+b+…+Z?=------H----------F…+-------=------n

"12n2334H+1n+22n+22〃+4

18.在AABC中，A，B，C所对的边为“，b,c,满足/?2+C2-az=bc.

⑴求A的值；

TT

(2)若a=2,B=—,则AABC的周长.

4

兀

【答案】⑴];

(2)2+>/2+>/6.

【分析】（1）根据余弦定理直接求解cosA即可求出A角;

yr71STI

（2）首先结合（1）可知。=兀-^一§二五，然后根据正弦定理求出匕，。长度,即可求出三角形周长.

【详解】（1）由历+C2-〃2=/?C,

。2+C2-albe

cosA=

2bc2bc2

vAe(0,n),A=—.

3

71c九7t7C5冗

(2)'・•A=彳，B=一,/.C=K-

344312

.厂.15兀、.(nTI｝.兀兀兀.兀76+V2

sine=sm—=sin—+-=sin-cos—+cos-sin-=-------

U2；1.64J64644

2_Z?_c

根据正弦定理3=3=$，得忑=忑=跖电,

smAsinBsmC————-------

224

解得6=型，c=V7+直：

33

因此三角形周长为a+b+c=2+垣+VJ+近=2+石'+6

33

19.2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追

平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比

赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球

迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：

女篮球迷非女篮球迷总计

男2026

女14

总计50

（1）补全2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？

（2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人,

记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

联（ad-bc>

PIT：=i---------------xi----n----\>n=a+b+c+d

[a+b）n（c+d）（a+c）（b+d）

P（X2>k）

0.050.010.001

0

k3.8416.63510.828

0

【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.

4

（2）分布列见解析，期望是

【分析】（D根据已知数据完善列联表后计算K2可得结论；

（2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量X的值，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望.

【详解】（1）列联表如下：

女篮球迷非女篮球迷总计

男20626

女101424

总计302050

50x(20x14-10x6)2

Ki®6.464<6.635，

26x24x30x20-

没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.

（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷''有4人,

女“女篮球迷”有2人，

X的可能值是0,1,2,

,OC1

八C218八C22

P(X=0)=-a=—,P(X=l)=_^_x=—,P(X=2=-

C215C2C25

666

X的分布列为:

X012

182

P

155

E(X)=0x—+]x—+2x—=—.

151553

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，。是8C的中点，PB=PC=6PD=BC=2AB=2.

（1）求证：平面P8CJL平面ABC。；

（2）求直线AD与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求线面角.

【详解】（1）因为尸8=PC,。是BC的中点，所以P0L8C,

在直角△POC中，PC=6OC=\,所以PO=a.

在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,所以。0=拒.

又因为尸£>=2,所以在中，PD2=POi+OD2,即PO_LO£）,

而6CcOO=。，BC,ODu平面ABC。，所以POL平面ABC。，

而P。u平面PBC,所以平面PBC，平面ABCD.

（2）由（1）知，POJ■平面A8CD,取AZ）中点Q,连接。。，易知。。，OC,。尸两两相互垂直，

如图，分别以OQ，oc,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(l,-1,0),C(0,l,0),0(1,1,0),p(o,o,a),

A》=(0,2,0),C£>=(1,0,0),C户=1,一1,a).

设平血PCD的法向量为碗=G，y,z),

mCD=0,x=0,

则<即,-y+岳=0,令"I

zn-CP=0,

所以直线A。与平面PC。所成角的正弦值为立.

3

21.已知｛,々椭圆C*+强=1(a>h>0)的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得|叫+|”|=4,且|PF|

的最大值为2+点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线/与椭圆C交于A,8两点(A,8不是左右顶点)，且以43为直径的圆经过椭圆的右顶点.求证

直线/过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】呜+十1

(2)证明详见解析，定点坐标为(|,0

【分析】(1)根据已知条件求得。，4c,从而求得椭圆的标准方程.

(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线/的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数

关系，根据“以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.

【详解】(1)依题意，|P〈|+|PFj=4=2a,a=2,

由于的最大值为a+c=2+",所以c=0，

所以b=左3,所以椭圆的标准方程是5•+十L

（2）椭圆的右顶点为。（2,0）,

当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为尤=式-2＜，＜2）,

x=tZ\

f2f2

11rx2y2得a=21—=2---,

—-=1I4J2

142

设A（r,%）,B（r,-），o）,则%=2-

由于以A8为直径的圆经过椭圆的右顶点。（2,0）,

2-—2

所以AQ，5。，工_2__p解得1=3,

t-2t-2G-2>3

所以直线/过悖o）.

当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+m,

y=kx+m

2V2消去y并化简得Q+2氏2)工2+4kmx+2)m-4=0,

由，X

—+—=1

[42

△=16心切2-4(1+2h)6m2_4)=32k2-83+16>0,

即4k2-胆2+2>0①.

设”（、吟）,8。匕），则5广趣，早「姿

由于以A8为直径的圆经过椭圆的右顶点。（2,0）,

所以AO’s。'

I2I2

yy=-(%-2)u-2),(kxm)=-(x-2)G-2),

12121