专题1.4 四边形中的四大最值模型（北师大版）（原卷版）

专题1.4四边形中的四大最值模型【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对四边形中的四大最值模型的理解！【题型1两定一动型】1．（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB=60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（

）

A．27+2 B．7+1 C．22．（2023春·山东滨州·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为(

)A．23 B．4 C．23+23．（2023春·湖南湘潭·九年级统考期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10,OC=6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，(1)求B(2)求折痕CM所在直线的表达式；(3)求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'4．（2023春·河北邯郸·九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=12x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB(1)求正方形ABCD的面积；(2)求点C和点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM．（1）AM+PM的最小值等于；（2）求证：△BNM是等边三角形；（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．6．（2023春·全国·九年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为23+2时，求正方形的边长．7．（2023春·广东深圳·九年级校联考期中）长方形纸片OABC中，AB=10cm，BC=6cm，把这张长方形纸片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在OC边上的点F处．（1）求点E、F的坐标；（2）在AB上找一点P，使PE+PF最小，求点P坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（x，y）是直线PF上一个动点，设△OCQ的面积为S，求S与x的函数关系式．8．（2023·四川广安·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN=．【题型2两动一定型】1．（2023春·浙江杭州·九年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．45°2．（2023春·广东广州·九年级广州市第四十一中学统考期中）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC+PEA．5 B．2 C．32 D．3．（2023春·甘肃兰州·九年级统考期中）如图正方形ABCD的面积为24，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，要使PD+PE最小，则这个最小值为（

）A．3 B．23 C．26 D4．（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第十五中学校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（

）A．23 B．21195 C．25．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考期中）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．(1)若△PAB为等腰直角三角形．①求直线AP的函数解析式；②在x轴上另有一点G的坐标为2，0，请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出(2)如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、F、E为顶点的四边形是平行四边形，求直线6．（2023春·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC,CD上的点，连接AE，(1)如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；(2)如图②，∠BAD=120°，△AEF周长何时最小，作出图形，并直接写出∠AEF+∠AFE=______°(3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别BC,CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度．7．（2023春·陕西西安·九年级统考期末）探究：（1）如图，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短．（不写作法）（2）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F分别为边AB、AD的中点，点M、N分别为BC、CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．（3）如图，正方形ABCD的边长为2，点O为AB边中点，在边AD、CD、BC上分别确定点M、N、P．使得四边形OMNP周长最小，并求出最小值．【题型3两定两动型】1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，∠MON=30°，OA=2，OD=8，线段BC在射线ON上滑动，BC=23，则四边形ABCD周长的最小值是2．（2023春·江苏扬州·九年级校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将长方形纸片折叠，使点C落在AD边的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上是否存在一个动点F，且不与点A、B重合，使△MEF的周长最小．如果存在求出△MEF的周长最小值：如果不存在，请说明理由；（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=1．当四边形MEQG的周长最小时，其周长的最小值是______．3．（2023春·天津·九年级统考期末）如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；（2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点，过P作PH⊥DB于H点，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S；（3）如图3，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值．（直接写出结果即可）4．（2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期中）已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为直线BC上一点．(1)如图1，当E在线段BC上，且DE=AD时，求BE的长．

(2)如图2，点E在线段BC边延长线上一点，若BD=BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM、CM，求证：AM⊥CM．

(3)如图3，在（2）的条件下，P、Q为AD边上两个动点，且PQ=52，连接P、B、M、Q，求四边形

5．（2023春·天津滨海新·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A为4,0

(1)填空：b=______；(2)求点D的坐标；(3)若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形MNDC周长的最小值．6．（2023春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒（其中0≤t≤9）．(1)如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求(2)若G、H分别从点A、C沿折线A－B－C、C－D－A运动，与E、F相同速度同时出发．①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，若四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的59，则t③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得PD=BQ，顺次连接PGQH，请直接写出四边形PGQH周长的最小值：______．7．（2023春·福建南平·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠ABD=60°，G，H分别是AD,BC边上的点，且AG=CH，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)填空：①当AG=时，四边形GEHF是矩形；②当AG=时，四边形GEHF是菱形；(3)求四边形GEHF的周长的最小值．【题型4一定两动型】1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，BC=8，∠ABC=45°，在对角线BD上有一动点P，边BC上有一动点Q，使PQ+PC的值最小，则这个最小值为（

）A．4 B．42 C．43 D2．（2023春·河南郑州·九年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF=90°，则下列说法：①AE=CF；②△DEF是等腰直角三角形；③△CEF周长的最小值是22+4；④四边形DECFA．①③④ B．①② C．②③ D．①②③④3．（2023春·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（1）求点E的坐标；（2）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，是否存在点M、N，使得AM+MN最小？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由．4．（2023春·广东汕头·九年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD是菱形，点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为8,0，∠C=60°，点M在边BC上移动（不与B、C重合），点N在边AB上移动（不与A、

(1)连接OM,ON，∠MON=____________________°；(2)求△OMN周长的最小值及此时点N的坐标；(3)在（2）的结论下，若P为平面内一点，当以点O,N,A,P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点P的坐标．5．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A-12,0、点B0,43，C

(1)求直线AB的解析式；(2)如图1，若E为线段AB上一动点，过点E作EF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，连接FG，P为FG上一动点．当线段FG最短时，求△PCE周长的最小值；(3)在（2）的条件下，直线FG与直线AB相交于点Q，将线段CE沿射线FG方向平移12个单位长度，平移后的点C记为点C'，H为直线FG上的一动点，在平面内是否存在一点N，使得以C'、H、Q、N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点6．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点C(0,4)，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，∠OAC＝（1）求点D的坐标；（2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）点P为y轴上一动点，