同余练习题资料

博师堂国际教育好成绩，好未来！奥数中级教程同余解题1、2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是1043周以后的那4天，因为经过1043周以后那天的是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。2、某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；同学们你们知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。3、求437×309×1993被7除的余数。

思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？

473≡3（mod7）；309≡1（mod7）

由"同余的可乘性"知：

437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）

又因为1993≡5（mod7）

所以：437×309×1993≡3×5（mod7）

≡15（mod7）≡1（mod7）

即：437×309×1993被7除余1。4、分别求满足下列条件的最小自然数：

（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。

（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。

思路分析：（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106

（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即

1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。

36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。

（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……

从以上数中寻找最小的被3除余1的数。

2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。

（4）我们从被11除余1的数中寻找答案。

1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……

1（mod3）；1（mod7），不符合

12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合；23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合

34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合；45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合

56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合；67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合

…

199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合；210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合

221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合；因此符合条件的数是221。由能被8、9整除的特征，得由（2）得y≡2（mod8）因0≤y<9且y是整数，∴y＝2．把y＝2代入（1）得：x＋6＋7＋9＋2≡0（mod9）∴x≡3（mod9）．由x是一位整数得：x＝3．∴所求五位数是36792．分析①设n÷9＝商…r，那么9│（n－r），根据n－r＝商×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．②抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数．≡1919×20≡2×2≡4（mod9），∴9│（n－4），即n－4＝9×商，又∵n－4的个位数字是5，∴n被9除所得的商的个位数字是5．例5a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．解：∵a≡1（mod5），∴3a≡3（mod5），或者3a≡8（mod5）．（1）又∵b≡4（mod5），（2）∴（1）－（2）得：3a－b≡8－4≡4（mod5）．因此，3a－b除以5余4．问：a除以13所得余数是几？解：用试除方法可知：13│191919．∵1919×2＝3838，而3│3837，即1919个“1919”有3838个“19”，三组三组取走“19”后还剩下一组．∴a≡19（mod13）．∴a≡6（mod13）．即a除以13余数是6．【课后练习题】1.两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被13除余几？2.用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？3.1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。4.用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数：123456789123456789…这个100位数除以9余几？5.把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？6.求下列各数除以11的余数：7.将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。8.分别求满足下列条件的最小自然数：(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。9.甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张