充分条件与必要条件 讲义 高一上学期初高中数学衔接

1.4充分条件与必要条件第6讲、1.4.1充分条件与必要条件知识点一、命题和命题的形式问题1、下列陈述语句分别用哪些语言表述，它们能否中能否判断真假？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若x2－４x＋３＝０，则x＝l；(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b；(5)蔡徐坤很会打篮球；(6)天空的星星不说话．问题2、问题1中的命题都有什么样的相同形式？知识梳理知识梳理命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的真假：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．命题的形式：命题一般可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．知识点二、充分条件与必要条件例1、请判断下列命题的真假，并将它们化成“若p，则q”的形式吗，指出其条件p和结论q．(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

【跟踪训练】请将下列命题化成“若p，则q”的形式吗？指出其条件p和结论q．(1)平行四边形的两组对边分别相等；(2)平行四边形的一组对边平行且相等；(3)平行四边形的两条对角线互相平分．问题3、上述命题中的真假是什么？这种类似的性质反映什么数学知识？问题4、我们说q是p的必要条件，是指由条件p可以推出结论q，结合例1你认为能推出结论q的条件p唯一吗？这反映什么的数学知识？问题5、我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，结合【跟踪训练】你认为能推出条件p只能推出结论q吗？这反映什么的数学知识？知识梳理知识梳理充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件注意点：(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后．(2)若p⇒q，则“p是q的充分条件”或“q是p的必要条件”，或“q的充分条件是p”或“p的必要条件是q”.(3)充分、必要条件不唯一．

例2、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（１）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（２）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（３）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；举反例是判断一个命题是假命题的重要方法．（４）若x２＝１，则x＝1；举反例是判断一个命题是假命题的重要方法．（５）若a＝b，则ac＝bc；（６）若x,y为无理数，则xy为无理数【跟踪训练】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.例3、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？（１）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（２）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（３）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（４）若x＝1，则x２＝１；（５）若ac＝bc，则a＝b；（６）若xy为无理数，则x,y为无理数【跟踪训练】指出下列哪些命题中q是p的必要条件？①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；②p：A⊆B，q：A∩B＝A；③p：a>b，q：ac>bc.反思感悟反思感悟充分、必要条件的判断方法(1)定义法：把p，q转化成命题，判断其真假；(2)集合法：也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊆B，则甲是乙的充分条件，同时乙是甲的必要条件．知识点三、充分条件与必要条件的应用例4、已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围．【延伸探究】已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围．反思感悟反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：①先把p，q等价转化，②利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练2已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．【随堂检测】1．若p是q的充分条件，则q是p的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件3．(多选)下列不等式中，可以作为“－1<x<1”的充分条件的有()A．x<1B．0<x<1C．－1<x<0D．－1<x<14．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．【课后训练】1．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：eq\r(a)>eq\r(b)2．使x>1成立的一个必要条件是()A．x>0B．x>3C．x>2D．x<23．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|x≤0或x≥5}，则“x∈P”是“x∈∁RQ”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件4．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是()A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PBB．若x>y，则x2>y2C．若x是无理数，则x2也是无理数D．若x2>y2，则x>y5．(多选)下列说法不正确的是()A．“x>5”是“x>4”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件C．“－2<x<2”是“x<2”的必要条件D．x2－3x＋2≠0是x≠1的必要条件6．(多选)使ab>0成立的充分条件是()A．a>0，b>0B．a＋b>0C．a<0，b<0D．a>1，b>17．设集合A＝{1,2}，(1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；(2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．8．条件p：2－x>0，条件q：x<a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．9．指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq\r(2x＋1)；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

10．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．(1)当m＝1时，求A∩(∁RB)；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．11．已知集合A＝{3，m}，B＝{1,3,5}，则m＝1是A⊆B的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件12．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是()A．x＋y＝2B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>113．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是()A．{b|－2≤b<0}B．{b|0<b≤2}C．{b|－2<b<2}D．{b|－2≤b≤2}