岩石损伤摩擦耦合模型

岩石损伤摩擦耦合模型

1细观损伤模型微裂纹的起源、发展和连接被认为是导致岩石和岩石材料破坏和破坏的最重要的力学机制。与此同时，损伤的发展又会影响岩石类材料的水力学和热力学特性，如渗流和热传导等。对岩石在应力作用下的力学行为的模拟通常采用宏观连续损伤力学模型(CDM)。通过引入二阶或四阶张量损伤变量，CDM模型能够描述材料应力–应变关系的非线性和损伤的各向异性。但是，这类模型尚难以考虑试验中的一些重要物理现象，如裂纹闭合效应、损伤和摩擦的耦合、脆性和延性的转变以及裂纹之间的相互作用等，因此需要构建新的基于机理分析的力学模型。近年来，在运用细观力学方法模拟岩石等准脆性材料的力学损伤方面有了显著的进展。通过考虑材料细观结构的变化，这类模型为描述材料各向异性力学损伤及其衍生的物理现象提供了新的方向。但是，已有的模型基本上是在线弹性断裂力学的基础上构建的，因此其材料的有效特性(如弹性张量)并不是基于严格的均匀化方法得到的。本文认为岩石是由固体基质和其中的细观裂纹构成的非均匀材料。微裂纹被近似为币形夹杂体(penny-shapedinclusion)，进而运用Eshelby夹杂问题解来构建新的岩石细观力学损伤摩擦耦合模型。通过把细观力学分析嵌入热动力学框架，能够较为容易地实现数值程序的研制。用提出的细观损伤模型模拟了大理岩常规三轴试验。研究结果表明，预测值和试验值之间有较好的一致性，从而验证了本文提出的细观力学模型的合理性和有效性。2线性质素—基本原理细观力学方法着眼于通过材料的细观结构研究材料的宏观力学行为。为此，通常采用从细观到宏观的研究路径。假设岩粒的尺寸为l，岩体结构为L，具有边界面∂Ω的特征单元体(REV)的尺度为a，三者应满足下面条件：对于岩石类材料，本文认为REV是由岩体基质(弹性张量，Cs)和其中的微裂纹(弹性张量，Cc)构成的非均匀基质–夹杂系统(如图1所示)。对这一系统的细观力学分析可以借助于Eshelby夹杂问题的基本解。假设岩石中的所有细观裂纹均具有钱币型(penny-shaped)的几何形状。定义具有相同法向的裂纹为一族，用单位法向向量n表示。裂纹面的半径和半开度分别用r和c来表示。比率X=c/r满足条件X≤1。相应的体积分率ϕ可以被近似为式中：N为单位体积的裂纹数量；d为裂纹密度参数，且d=Nr3(由Budiansky和O′Connell引入)。参数d作为损伤内变量被广泛运用于细观损伤力学模型中。根据线弹性均匀化方法的基本理论，特征单元体内的局部应力–应变关系可视为线弹性，且有σ(z)=C(z):ε(z)(z∈Ω)。假设在REV的边界面存在宏观均匀应变E并满足位移边界条件：局部应变张量ε(z)通过应变局部化张量Α(z)与宏观应变E线性关联：由式(4)及宏观应力张量Σ和局部应力σ(z)在Ω内的关系式σ=Σ，得到宏观的应力–应变关系Σ=Chom:E，其中有效弹性张量Chom写为由式(4)并考虑到ε=E，得到Α=I(I为四阶单位张量)。式(5)可以进一步表示为式中：ϕi为特征单元体Ω中第i相所占空间相对于Ω的体积分率(volumefraction)，iΑ为第i相内应变局部化张量A(z)的平均值。对于含有独立的椭圆体形裂纹且满足应变边界条件式(1)的无穷大的固相基质，Αi表示为式中：SE为Eshelby张量，仅取决于夹杂体的几何形状和基质的材料特性，并通过SE=PE:Cs和Hill张量EP相联系。在裂纹张开情况下，Cc=0，裂纹内的局部应力为0，式(7)简化为把式(8)和式(2)代入式(6)，得其中，有关研究给出了四阶张量Τ的非零分量。Q.Z.Zhu导出了在Walpole四阶张量基中Τ的表达式。需要指出的是，由Eshelby解直接得到的有效弹性张量式(9)为N族裂纹的简单叠加，没有考虑裂纹空间分布的影响和不同族裂纹之间的相互作用。因此，在建立模型的过程中，可以采用先研究一族裂纹而后扩展到多族裂纹的研究路径。3含单族裂纹特征单元体的宏观自由能用S表示一族具有相同法向向量n的裂纹所占的空间。S+和S-分别表示裂纹的上和下表面。上、下表面S+和S-之间的位移不连续用[u]来表示。这样，裂纹的单边不连续条件表示为式中：σnc和[un]分别为裂纹内局部应力σc和不连续位移的法向分量。由于裂纹的存在(具体来说是位移场的不连续[u])引起的非弹性应变可以用下式表示：通过把不连续位移[u]作如下分解[u]=[un]n+[ut]，本文定义变量β和γ来描述裂隙的不连续状态：式(13)中，标量β和向量γ分别用来衡量裂纹的张开程度和描述裂隙面的剪切滑移。相应地，裂纹引起的应变Ec也可表示为变量β和γ函数，即另一方面，根据均匀化原理，一族裂纹引起的应变也可以通过局部化张量A在固相基质–夹杂(裂纹)系统中加以确定：由式(14)和(15)所描述物理对象的同一性，可以得到下面的等式，即为了确定宏观自由能的表达式，还需要建立应变Ec和局部应力σc之间的关系，为此将采用J.F.Barthelemy等建议的问题分解方法(如图2所示)。初始问题(P)根据局部应力σc被分解为子问题PI和PII。需要指出的是，图2所示的分解过程符合叠加原理，即初始问题(P)中的各物理量等于子问题PI和PII中的相应量之和。对于子问题PI，注意到此时作用在特征单元体边界∂Ω的宏观均匀应变为Ec-Ss:σc，而裂隙内局部应力为0。根据单边不连续条件式(11)，并利用式(4)，裂隙引起的应变写为相应地，宏观的应力–应变关系表示为式中：Chom为有效弹性张量，且Chom=Cs(I-ϕAc)。在子问题PII中，应力的分布是均匀的，即根据叠加原理Σ=σI+σII，利用式(17)～(19)得到将式(20)代入式(17)，并把裂纹引起的应变统一表示为Epl(由裂隙引起的应变，有些作者也称其为摩擦型塑性应变)，可以得到下面的关系式：其中，需要强调的是，上述公式推导的过程具有一般性，并不需要根据局部应力σc先判断裂纹的张开或闭合状态。事实上，当σc=0即裂纹张开时，通过将式(17)～(19)的σc取0，可以再次得到节2中的有效弹性张量Chom。据Q.Z.Zhu的研究成果，含单族裂纹的特征单元体的自由能表示为如下一般形式：式(23)表明，总自由能W可以看作基质的弹性能以及裂隙的非弹性能之和。记(其中，E0和0v分别为材料在无损状态下的杨氏模量和泊松比)，则Cpl可表示为定义Δ=n⊗n，四阶张量E2和E4的分量分别为4模型建设4.1非弹性应变epl与相关联的热力强度为了便于数值程序的研制，模型的构建基于热动力学的基本理论。通过对自由能W关于Epl求导，本文得到与非弹性应变Epl相关联的热力学力Fpl:用同样的方式，分别确定与变量β和γ相关联的热力学力Fβ和Fγ：由式(26)可知，所获得的裂纹张开/闭合准则σc:(n⊗n)=0等价于Fβ=0。根据式(26)和裂隙内局部应力的连续性，可以得到下面的裂隙张开闭合临界条件：与损伤变量D相关联的热力学力FD表示为4.2基于接触问题的非动态应变摩擦法由于在压应力加载条件下，准脆性岩石材料的破坏以压剪为主，因此采用库仑型准则是合适的。在裂纹面内局部应力均匀分布的假设下，库仑准则临界条件的满足与否也是均匀的。在细观尺度下，借助于局部应力的法向分量σnc=σc:(n⊗n)和切向分量τ=σc⋅n⋅(δ-n⊗n)，并考虑材料非弹性应变引起的强化，库仑型滑动摩擦准则fs表示为式中：ηc和α分别为裂纹面的摩擦系数和强化函数。在应变空间，式(31)可表示为式(32)表明，本文建议的库仑型滑动摩擦准则考虑了非弹性应变和损伤的耦合。另外，库仑准则式(31)包含了裂纹内局部应力的法向分量σc:(n⊗n)或Fβ，因此能够反映静水压力对材料力学行为的影响。本文认为材料非弹性应变主要是由裂纹面的剪切滑移引起的，因此可以定义α为裂隙等效剪切应变γp的函数，即A.S.Chiarelli等针对黏土的模拟研究以及A.Mohamad-Hussein和J.F.Shao对混凝土三轴试验结果的分析表明，对于大多数岩土材料采用如下指数型强化函数是较为合适的，即式中：α0，αf分别为强化函数的初值和渐近值；1b为控制材料强化速度的模型参数。大量试验结果表明，为了更为准确的描述岩石材料的非弹性应变，需要采用非关联的应变流动法则。类似于加载函数式(31)，本文建议采用如下形式的非关联流动法则：式中：χ为体积膨胀系数，考虑到在常规三轴试验中材料随围压增大从脆性向延性变化的特征，χ取如下指数形式：式中：χ0和χf分别为χ的初值和渐近值。定义裂纹面的滑移方向为υ=ττ，则变量β和γ的变化率可以通过正交准则确定并表示为式中：γλ为塑性乘子，可以用一致性条件(fs=0和fs=0)加以确定。4.3定一个定函数在热动力学的框架内，损伤准则应该是与损伤变量d对应的热力学力Fd的函数。然而，确定这样的函数通常是非常困难的。注意到在式(30)中(H0β2+H1γ⋅γ)/2是实际上的损伤发展驱动力，为此，在本模型中本文采用如下修正的Mazars损伤演化准则：式中：d0和df分别为材料的初始和渐近值；3b为模型参数，用来控制损伤演化速度。5试验结果的初步分析为了验证所提出的细观力学损伤模型的合理性和有效性，本文用该模型模拟大理岩在不同围压下的常规三轴试验。常规三轴试验在法国国家科学研究中心里尔力学实验室完成。试验考虑了5,10,20和30MPa四种不同的围压。对试验结果的分析表明该大理岩的力学响应对围压较为敏感；应力–应变关系总体上呈现脆性到延性的转变；由于裂纹面的凹凸不平引起的体积膨胀较为明显。经过对试验数据的分析，该大理岩弹性常数的平均值为E0=42000MPa和0v=0.23。模型引入的力学参数均具有明确的物理力学意义，可以通过强度分析结合数值模拟方法来确定。加载函数式(31)或(34)中的模型参数通过拟合一组常规三轴试验的初始屈服曲线和强度曲线来确定；损伤参数和描述非弹性体积应变的模型参数分别通过常规三轴试验应力–应变曲线的峰后段和应力–体积应变曲线来确定。材料摩擦系数取值ηc=0.66，其他模型参数的取值归纳如下：另外，考虑数值模拟结果的准确性和稳定性，本研究采用单位球面上具有66个积分点(33个裂纹族)的高斯型数值积分法。图3给出了大理岩在不同围压下的模拟值和试验值的比较。结果显示两者之间有较好的一致性，初步验证了所提出的细观力学损伤模型的合理性和有效性。由于本模型使用一组标量损伤变量而不是通常的张量变量来描述损伤，因此可以通过构建损伤分布函数来更为准确地描述材料的各项异性损伤状态。图4给出了围压为20MPa时应力峰值点时的损伤分布玫瑰图。损伤最大值发生在法向和轴向约成60°的裂纹面，即破坏角约30°，这和试验结果是相符的(见图5)。6关于细观力学损伤模型的构建基于均匀化基本理论并通过在岩体基质–裂纹系统中运用Eshelby夹杂问题基本解，本文提出了新的细观力学损伤摩擦耦合模型。热动力学的建模框架使得模型数值程序的研制较为容易实现。对大理岩在不同围压下常规三轴试验的模拟验证模型的合理性和有效性。从该研究得出的主要结论如下：(1)基于均匀化方法构建细观力学损伤模型的思路是可行的，和通常的宏观损伤力学模型相比，这类模型体现的力学机制和物理意义更为明确。(2)本