构造法在中学数学中的运用

构造法在中学数学中的运用

在学习数学时，我们必须善于解决问题。解决方案意味着快速发现摆脱困境，绕过障碍的方法。在解决问题中，通常会构建适当的辅助元素，并通过观察和适当构建其他元素，以将必须解决的问题转化为新元素问题，或将问题转化为新元素之间的新组合方法，以解决问题。这种方法被称为“结构法”。构造法是一种重要而灵活的思维方法,它没有固定的模式,而需要更多的分析、类比、分解、组合、归纳、判断、限定和推广。构造是深刻分析、正确思维和丰富联想的产物。一些表面看来似乎难以解决的题目当搭起新构造的“桥”后,不仅会迎刃而解。而且常会为构思的奇妙而拍手叫绝,叹为观止!构造的巧妙之处在于不是直接去解决所给的问题,而是构造一个与问题有关的辅助问题,引出问题并非为了它本身,而是希望通过对新的问题解决有助于原来的问题解决。如果新的问题比原来的问题更简单直观,这种方法就可获得成功。在运用构造法解题时要明确目的,即为什么目的而构造,并且要弄清楚条件的特点以便重新进行逻辑组合,巧妙地对概念进行分析与综合,联想与类比。构造法在解题过程中的思维模式可用下图表示:构造法解题的目的是:简化运算量,探索最佳解,发挥创造性,加强知识间的纵横关系,从而激发学生浓厚的学习兴趣,提高分析问题和解决问题的能力。构造法在代数中应用是很广泛的,下面重点谈谈在几何中的应用。1旋转轴非定位问题此法的基本思想是根据已知条件,构造出与结论相关联的方程,然后由方程的理论或解方程使问题获解。例1:如图2在Rt△ABC中,∠c=90°,三角形的面积为S,内切圆的半径为r=1,如果满足条件的直角三角形存在,求s的取值范围。分析:易画出Rt△ABC的草图,根据三角形的面积公式,可得S=ab……①题中还有一条件没用上:“内切圆的半径”。自然会问:内切圆的半径与三角形的面积有何关系呢?我们可将原Rt△ABC分拆一下,使得r成为每个小三角形的高,不妨设内切圆圆心为O,内切圆与△ABC的AC、BC相切于E、F如图3由①②可联想到韦达定理,于是根据韦达定理及逆定理构造方程。解:设这个直角三角形的直角边为α、b,斜边为c,则由韦达定理的逆定理可知:α、b是一元二次方程,即Y2-(S+1)Y+2S=0的两根∵Y为实数∴△≥0即△=[一(S+1)2]-8S≥0化简得S2-6s+1≥0解不等式得S≤3-或S≥3+∵3-<π但S不能比内切圆的面积小故舍去∴S≥3+(2)构造算法例2:如图4所示:在△ABC中,D、E为AB边上的三等分点。求证:CA+CB>CD+CE分析:像这种题,我们通常是采用添加辅助线后先证明三角形全等,从而得到有关对应线段相等,最后再证明所要证的结论。若我们换一个思路,用旋转一定的观点,平面几何的旋转是以某点为中心,将一己知图形按一定方面(顺时针或逆时针)旋转的角度到达一个新的位置。由于旋转后的图形与原图形中的对应元素(角、边)相等,这样就可以将图形中的角、线段等较为集中,使之沟通,从而使证明较直观、简洁。解:取AB的中点M,连结CM,将△BMC绕M点按顺时针方向旋转180°,则B点与A点重合,E点与D点重合,C点到达它关于M点对称的点的位置N,如图5,连结DN,延长CD交AN于F,显然有CB=AN,CE=DN(3)构造复数解题例3:如图6以△ABC的两边为边向外作正方形ABDE及ACFG,求证:△ABC的高AO平分EG。证明:以BC为实轴,O为原点建立复平面,设A、B、C所对应的复数分别为ai,b,c(α,b,c∈R),将绕A作顺时针旋转90°,得∴点E所对应的复数为一α+(α-b)i,同理可得G点所对应的复数为α+(α+c)i∴EG中点H点所对应的复数∴在虚轴上∴高AO必在虚轴上∴AO平分EG2结论不真的例外为了说明一个例题不真时,只须构造一个符合命题而结论不真的特例。例4:命题:若α⊥l,b⊥l,则α//b。此命题在平面几何中是真命题,在空间图形中是否仍成立呢?分析:一般要说明命题不真时,我们常会想用理论证明。这固然好,但有些命题在某些领域不是恒成立或恒不成立的,对于这种情况要想说明其不真时,只须构造一个符合命题条件而结论不真的特例。解:构造一个长方体,如图7,满足条件α⊥c,b⊥l,但结论α与b不平行∴该命题在空间图形中不成立。(2)构造图形在解立体几何习题时,在第一步就经常产生困难。为了给出相应的图形,必须具有很好的空间想象力。如果涉及的是我们日常生活中遇到的几何体(立方体、球体、圆柱、平行六面体)等,这些对象是容易想象的,描绘它们也是简单的,但有些图形要描绘则是相当困难的,例如:异面直线或者空间直线与平面的总体,并没有简单表示,只能依靠做平面图形帮助解题,但在许多情况下,存在着一种可能克服困难的方法,它是基于这种设想,如果空间的构形难于理解,并且它没有与具体的几何体联系,那么力求人为地把它同某个几何体、物体联系起来。例5:两直线在同一平面内的射影有哪几种情况?分析:构造正方体ABCD—A1B1C1D1,利用这一几何模型来考虑图形的各种可能性及判断命题的真假性是很方便的。如图8解:两直线在同一平面内的射影可能为两相交直线、两平行直线、一直线、一直线与直线外一点、两点共五种情况。(本例的五种情况在这模型中均有所体现)3x轴切圆的构造例6在平面直角坐标系中,在y的正半轴(坐标原点除外)给定两点A(o,α),B(o,bb),试在x轴正半轴上原点以外的点中找一点C(1)使∠ACB最大(2)求∠ACB最大值是多少?分析:依题意,已知点A、B,要在x轴上找一点C,即已知三点,不共线三点确定一个圆.所以我们试想构造一个圆:通过A、B两点,并与x轴相切,那么切点C就可能为所求。解:①如图9,构造一个通过A、B,且与x轴相切的圆,切点为D,下证切点D即为所求的点C,假设C不在D处∵按题意要求C在x轴正半轴上∴C可能在O、D之间,不妨设为C1,连结BC1,交圆周于F点,连结AF,则∠AFB=∠ADB但∠AFB为△AGF的外角∴∠AFB>∠AGB即∠ADB>∠AGB∴点C不在O、D之间同理点C也不可能在D的右边(x轴上)∴点C在D处(即点C为圆与x轴的切点),此时∠ACB最大②设