2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册7.1.1条件概率（分层作业） （夯实基础+能力提升）

7.1.1条件概率（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022春.山东济宁.高二期末）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现

不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（）

A.—B.—C.-D.-

281097

【答案】D

【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得.

【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率

呜

2.（2022・高二课时练习）已知尸（用4）=1,P（A）=p则P（AB）=（）

A.之B.iCD.A

452525

【答案】C

【分析】由条件概率的计算公式直接求得.

【详解】由乘法公式，得尸（AB）=尸（A>P（B|A）=gx]=装.

3.（2022春・吉林长春・高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）从1,2,3,4,5,6,7,

8,9中任取两个数，事件A="有一个数是奇数”，8="另一个数也是奇数”，则P（B|A）=（）

A.-B.-C.JD.-

3523

【答案】A

【分析】根据条件概率的定义，可分别求解"（AB）,"（A）,即可用条件概率的公式运用个数之

比求解.

【详解】任取两个数，则一奇一偶共有C!C：=20种取法，两个都是奇数共有C；=10,所以

事件A包含所取两个数要么为一奇一偶，要么为两个奇数，故"（A）=20+10=30,

则事件AB为所取两个数均为奇数，故"（A8）=10，故尸（却A）=出黑=线=!,

”（A）303

4.（2022春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，

第一次击中9环的概率为0.6,在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.

那么她两次均击中9环的概率为（）

A.0.24B.0.36C.0.48D.0.75

【答案】c

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件4,“第二次击中9环”事件8,

则由题意得P（A）=0.6,P（B|A）=0.8,

所以她两次均击中9环的概率为P（A5）=P（A）XP（3|A）=（）.6X0.8=0.48.

5.（2023秋・辽宁营口•高二统考期末）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击,

,34

甲击中目标的概率为乙击中目标的概率为不，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概

率为（）

3「12-15

A.-B.—C.—D.一

425237

【答案】C

【分析】先得出目标被击中的概率，再得出甲击中目标的概率，即可得出答案.

【详解】由题意得目标被击中的概率为：片=1一：2'31=余23，

甲击中目标的概率为：=31+34=15

'555525

则在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为：？=，=£，

6.（2023秋・安徽宿州•高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个

红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是连续两

次遇到红灯的概率是:，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明

6

也遇到红灯的概率为（）

A.-B.-C.-

343

【答案】C

【分析】由条件概率公式求解即可

【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件4

“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件8,

则由题意可得尸（4）=：,P（A8）=，，

2o

则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，

,.、P（AB}1

第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为P（8|A）=]4=§

7.（2022秋・江西上饶•高二江西省余干中学阶段练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿

灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是连续两次遇

到红灯的概率若，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇

到红灯的概率为（）

【答案】B

【分析】由条件概率公式求解即可

【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A,

“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件8,

则由题意可得P（A）=g,P（A8）=；,

则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为

二、多选题

8.（2022.高二课时练习）设4,B是两个事件，若B发生时A必定发生，且O<P（A）<1,

0<P（B）<l,给出下列各式，其中错误的是（）

A.尸（A+B）=尸⑻B.尸(8|A)=

P(B)

C.P（A|B）=1D.P（AB）=P（A）

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

【详解】解：8发生A必定发生，

:.P（A+B）=P（A）,P（AB）=P（B）,故A,D错误，

「⑻冷=需=瑞，故B错误，

­）=箫=磊=]，故C正确.

9.（2022春.山东济宁.高二期末）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（）

A.P（M2N）=P（N）B.P（MN）=\-P（MN）

C.P（MN）=P（M）P（N\M）D.P（M[N）=P（N'?）：M

【答案】CD

【分析】对A,根据M,N是否互斥判断即可；

对B,举反例判断即可

对CD,根据条件概率的公式判断即可

【详解】对A,当不互斥时，P（"=N）=P（M）+P（N）不成立，故A错误；

对B,当为对立事件时，P（MN）=P（丽）=0,则尸（MN）=1-P（丽）不成立，故B

错误；

对C,当P（M）=0时，P（MN）=P（M）P（N|M）=0成立，当P（M）*0时，根据条件概率的

公式P（N|M）=-^/可得P（MN）=P（M）P（N|M）成立，故C正确；

对D,根据条件概率的公式，结合C选项可得P（M|N）=-^@/='，成立,

故D正确；

三、填空题

10.（2022春•安徽安庆•高二安庆市第二中学校考期末）已知A,B是某随机试验中的两个随

机事件P（A）=0.2,尸（3）=04,P（AB）=0.1,P（A忸）+P（B|A）=.

_3

【答案】0.75##-

4

【分析】利用条件概率公式即得.

【详解】P（4|8）+P（/A）=="+里=0.75.

v1'v1'P（B）P（A）0.40.2

.、4

11.（2023・高二课时练习）春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是:，

感冒发作的概率是4，鼻炎发作且感冒发作的概率是|,则此人在鼻炎发作的条件下感冒的

概率是.

3

【答案】-##0.75

4

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记事件A=“某人在春季里鼻炎发作“，事件B="某人在春季里感冒发作”，

463

由题意可知P（A）=P（AB）=-,

575

3

此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为P（8|A）=g箸=总=1,

5

12.（2023•高二课时练习）已知P（8|A）=；,P（A）=；那么P（Ac3）=

【答案】|

【分析】利用条件概率公式求解.

【详解】解：因为P（B|4）=（P（A）=]

所以尸（ACB）=P（B|A>P（A）WX3=：.

13.（2023・高二课时练习）5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地

取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是.

【答案】1##0.5

【详解】设第一次取到新球为事件A,第二次取到新球为事件8,

32

则尸例所普空

2

5

14.（2023・高二课时练习）将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，记事件A为“至

少有一次正面朝上”，事件3为“两次掷出同一面”，则在已知事件A已经发生的条件下事件3

发生的概率是.

【答案】I

【分析】由条件概率公式计算.

【详解】将一枚硬币抛掷两次，按正反面的情况有4个基本事件，正正，正反，反正，反反，

3

事件A含有3个基本事件：正反，反正，正正，P⑷7

事件A与B同时发生只有一个基本事伟正正，尸（g=；,

I

P(AB)_4_1

二P(B|B)=

P(A)WY

4

15.（2023・高二单元测试）由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”,

用B表示“第一位数字为。的事件”，则P（A|3）=.

【答案】y##0.5

【分析】列举出所有基本事件，从而确定产（居）和P（B）,根据条件概率公式可求得结果.

【详解】用0,1组成的三位编号有000,001,010,100,110,101,011,111,共8个;

贝|JP（AB）=2=_L,P（B）=±=_L,.•.p（A|B）=P（y）=.=L

\/84\'82V1'P（B）12

2

四、解答题

16.（2022春•安徽阜阳•高二安徽省临泉第一中学校考阶段练习）10个考签中有4个难签，3

人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后.求：

（1）甲抽到难签的概率；

（2）甲、乙两人有人抽到难签的概率；

（3）在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；

【答案】⑴2三（2）：2（3）-1

【分析】（1）结合古典概型的概率计算公式计算出正确答案.

（2）结合古典概型的概率计算公式、对立事件等知识计算出正确答案.

（3）结合条件概率的计算公式计算出正确答案.

（1）

依题意，10个考签中有4个难签，

42

所以甲抽到难签的概率是

（2）

甲、乙都没抽到难签的概率为

11）91o3

1?

所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为

（3）

甲抽到难签后，乙抽到难签的概率为高=*

17.（2023♦高二课时练习）在1000张奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，

从中先后买了两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率.

【答案】

【分析】利用条件概率公式及互斥事件概率公式，即可求解.

【详解】设事件A表示“第一张中一等奖”，则「伊卜就，

事件夕表示“第二张中二等奖"，事件C表示“第二张中三等奖”，

则P（AcB）=-^—'且=—1—,P（AnC）=—X—=—!—,

''1000999199800'7100099999900

得*小爷户粉叫仙等+盛

所以「（BuC|A）=P（B|A）+P（C|A）=,,

所以在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为言.

18.（2023•全国•高二专题练习）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不

放回地从中取产品，每次取1个，求；

（1）取两次，两次都取得一等品的概率；

（2）取两次，第二次取得一等品的概率；

（3）取两次，己知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率.

【答案M吟（2）|（3）1

【分析】（1）利用古典概型概率的计算公式，计算出所求答案.

（2）根据概率的知识求得正确答案.

（3）根据条件概率计算公式，计算出所求答案.

【详解】（1）有5个同种产品，其中3个一等品，

取两次，两次都取到一等品的概率为=

5410

（2）有5个同种产品，其中3个一等品，

32233

根据概率的知识可知：取两次，第二次取得一等品的概率为英+W丁丁

（3）记事件A,表示“第，•次取到一等品"，其中，=1,2.

取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为

2

尸（小）明X。

r54「1

32

5

19.（2022・高二课时练习）一个袋中有大小与质地相同的2个黑球和3个白球，如果不放回

地抽取2个球，记事件A表示“第一次抽到黑球”；事件8表示“第二次抽到黑球”.

（1）分别求事件4、B、发生的概率；

⑵求「（B|A）.

7?1

【答案】⑴P（4）=1,P（B）=-,P（AnB）=—.

【分析】（1）由独立事件发生的概率求解即可;

（2）由条件概率公式求解即可.

（1）

C*2

记“第一次抽到黑球”为事件A,则P（A）=才=于

32212

“第二次抽到黑球”为事件乩则尸（3）=wx：+牛=

',54545

711

AcB表示“第一次和第二次都抽到黑球“，贝IJ尸（4CB）=：X；=£；

5410

（2）

1

zA一

(

国

得

由=x=

120一

4,

5一

【能力提升】

一、单选题

1.（2023秋・山西长治•高二长治市上党区第一中学校校考期末）有6名选手（含选手甲、乙）

参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为

（）

A.—B.—C.—D.一

3624

【答案】A

【分析】分甲第一名，甲第二名，甲第三名，甲第四名，甲第五名五种情况讨论分别求出甲

的名次比乙高和甲的名次比乙高且甲乙相邻的基本事件的个数，再根据条件概率公式即可得

解.

【详解】甲的名次比乙高，

当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

所以甲的名次比乙高共有5+4+3+2+1=15种情况，

甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，

所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为三=2.

153

2.（2022秋•河南南阳•高二南阳中学校考阶段练习）装有10件某产品（其中一等品5件，

二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产

品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（）

【答案】B

【分析】设事件A表示“从箱中任取2件都是一等品”，事件纥表示“丢失的为i等品”（i=l,2,3）,

由条件概率计算公式可得答案.

【详解】设事件A表示“从箱中任取2件都是一等品"，事件。表示“丢失的为i等品”（i=l,2,3）,

则尸（A）=P（BJP（A|4）+网名）「（川鸟）+2（鸟）尸（Al鸟）=；、卷+京,卷+：，卷=£,

所以i

3.（2022春•全国♦高二期末）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志

愿者活动.小明在如图的街道£处，小华在如图的街道尸处，老年公寓位于如图的G处，则

下列说法正确的个数是（）

①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为n

④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：

小明经过F事件&从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则尸（B|A）=百

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数机，并确定向上或向右各走的步数

”,则最短路径的走法有C,：,再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一

起到老年公寓的概率、小明经过尸且从尸到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.

【详解】由图知I,要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能

向下、向左移动，

对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，

所以最短路径条数为c；=3条，错误；

对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路

径条数为仁=35条，正确；

对于③，小明到尸的最短路径走法有=6条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短

有3条，而小明到老年公寓共有35条，

所以到「处和小华会合一起到老年公寓的概率为等卷，正确;

对于④，由题意知：事件A的走法有18条即尸(A)=K，事件AcB的概率

6x24

P（4cB）=

35x335

/、尸(AcB)2

所以P(B|4)==错误.

故说法正确的个数是2.

二、多选题

4.(2022春•重庆万州•高二校考阶段练习)在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假

设某一道多项选择题有四个选项1、2、3、4,其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，

这三种情况出现的概率均为;，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上

信息，下列说法正确的是()

A.某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于卡

B.1选项是正确选项的概率高于g

C.在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为g

D.在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为g

【答案】BC

【分析】先分别计算出任意一组2个选项、3个选项、4个选项为正确答案的概率，再依次判

断4个选项即可.

【详解】若正确选项的个数为2个，则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种组合,每种

组合为正确答案的概率为gxJ=上，

3618

若正确选项的个数为3个，则有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)共4种组合，每种组合为正确答

案的概率为gx；="，

若正确选项的个数为4个，则有（1,2,3,4）共1种组合，这种组合为正确答案的概率为:，

对于A,随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为*＜，，错误；

对于B,1选项是正确选项的概率为3xL+3x\+；=（＞g,正确；

3

对于C,1选项为正确选项为事件A,由B选项知，P（A）=：,正确选项有3个为事件8,

4

3x—

则尸（8|A）=今黑=正确；

P（A）£3

4

对于D,1选项为错误选项为事件C,P（C）=:，正确选项有2个为事件。，则

4

3x—

尸（o|c）=磊=-[^=g，错误•

4

三、填空题

5.（2021春•河北唐山•高二开滦第二中学校考阶段练习）投掷3枚骰子，记事件A：3枚骰

子向上的点数各不相同，事件B：3枚骰子向上的点数中至少有一个3点，则P（川8）=

【答案】舁

【分析】分别求出事件8和事件48所包含的基本事件的个数，再根据条件概率公式求解即

可.

【详解】解：投掷3枚骰子，3枚骰子向上的点数共有6'=216种情况，

其中3枚骰子向上的点数没有一个3点的有53=125种，

则3枚骰子向上的点数中至少有一个3点有216-125=91种，

即〃（B）=91,

3枚骰子向上的点数中至少有一个3点且3枚骰子向上的点数各不相同有C；A；=60利J

即“（48）=60,

所以尸（A⑻喘.

故答案为：.

7I

6.（2023.高二课时练习）一个盒子中有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中无放

回地取产品两次，每次任取一个，则在第一次取出一等品产品的条件下第二次也取出一等品

产品的概率是.

【答案】I

【分析】设事件A为“第一次取到的是一等品“，事件B为“第二次取到的是一等品“，利用古

典概型概率公式计算出尸（A8）和P（A）,然后利用条件概率公式可计算出结果.

【详解】设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件8为“第二次取到的是一等品”.

由古典概型的概率公式得P（AB）乩_L

事件A8:前两次取到的都是一等品,怒一天

由古典概型的概率公式得尸（A）=［，由条件概率公式得P（B|力=gxg=|，

7.（2022.高二单元测试）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第〃关要抛掷骰子〃

次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这"次抛掷所出现的点数之和大于2"+〃，则算

闯过第"关，〃=1,2,3,4.假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是.

（1）直接挑战第2关并过关的概率为二；

12

（2）连续挑战前两关并过关的概率为焉；

（3）若直接挑战第3关，设4=”三个点数之和等于15”，8=”至少出现一个5点”，则

*⑻=［；

（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是彘35.

【答案】（2）

【分析】由古典概型，独立事件的乘法公式，条件概率公式对结论逐一判断

【详解】对于（1），22+2=6,所以两次点数之和应大于6,

即直接挑战第2关并过关的概率为勺=2荥1=27，故（1）正确；

对于（2）,2,+1=3,所以挑战第I关通过的概率

则连续挑战前两关并过关的概率为尸=4己=：1，工7=三7，故（2）错误；

•21224

对于（3）,由题意可知，抛掷3次的基本事件有6,=216,

抛掷3次至少出现一个5点的事件共有63-53=216-125=91种，

故P（B）=示，而事件AcB包括：含5,5,5的1种，含4,5,6的有6种，共7种,

、7/।、P（Ac8）72161

故P（AC8）=示，所以P（A|3）==示/可=石'故⑶正确;

对于(4),当〃=4时，2"+"=2"+4=20,

而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况:

含5,5,5,6的有4种，含5,5,6,6的有6种，

含6,6,6,6的有1种，含4,6,6,6的有4种，

含5,6,6,6的有4种，含4,5,6,6的有12种,

含3,6,6,6的有4种，

3535

所以《故（4）正确.

6x6x6x61296

四、解答题

8.（2022春・安徽滁州•高二校考阶段练习）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）

中选3人参加学校学生会的干部竞选.

（1）求女生乙被选中的概率；

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

【答案】（1）!（2）|

【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.

（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.

2_

【详解】(1)女生乙被选中事件的概率尸

2

（2）设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件8,

则尸⑷春季（明春（制小锵」

9.（2023秋•河北保定•高二统考期末）甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知

4

甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为3O,乙机床加工的零件

是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是:，甲、丙两台机床加工的零件都是一等

品的概率为9.

4

（1）求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；

（2）已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的;，甲机床加工的零件数等于乙机床

加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等

品不少于3件的概率.（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）

311875

【答案】⑴卞另⑵

2187

【分析】⑴设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，4、

8、C相互独立，由独立事件的概率公式列方程组求解即可；

（2）求出将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率，由独

立重复试验概率公式即可求.

【详解】（1）根据题意，设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是--等品”分别为4、B、C

事件,则A、B、C相互独立,设P（A）=x,P（B）=y,P（C）=z.

x(i-y)=g3

X=­

O4

y(l-z)=；,解得，），=；,故甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概

则有，

11

xz=—z=­

43

311

率分别为了，—»-

423

（2）设乙机床加工的零件数为2%则甲、丙机床加工的零件数分别为4〃,3%则一等品的

31I

零件数总数为4。?=2叱3%5a.

423

则将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率为*=今

故从中任意抽取4件检验，一等品不少于3件的概率为C：；|'g+；|4=g=黑

10.（2023•高二课时练习）设袋中装有厂个红球，，个白球，每次从袋中任取一个球，观察

其颜色，然后放回，并再放入。个与所取出的那个球同色的球，若从袋中连续取球四次，试

求第一、第二次取到红球且第三、第四次取到白球的概率.

［答案］_________:__________

（r+r）（r+f+a）（r+r+2a）（r+r+3a）

【分析】设事件A表示“第i次取到红球“，,•=1,2,3,4,进而根据独立事件的乘法公式求解即

可.

【详解】解:设事件］表示“第i次取到红球"，i=123,球

则所求概率为p（A4京）=尸伍IA4A）P（无IAA）尸（所IA）尸（4）.

因为「（4）=£/（&14）=7^，可1144）=7T^，P（石出人天卜