新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题2数列第2讲数列求和及其综合应用课件

第一篇核心专题提升•多维突破专题二数列第2讲数列求和及其综合应用分析考情·明方向真题研究·悟高考考点突破·提能力分析考情·明方向高频考点高考预测等差、等比数列的基本量计算在解答题中，会继续考查等差等比数列的判定，基本量的计算以及由递推公式求通项、数列求和问题．注意与不等式的交汇考查.等差、等比数列的判定及应用数列通项及数列求和的综合问题

真题研究·悟高考(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.【解析】

(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n.(2)∵{bn}为等差数列，∵d>1，∴an>0，又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.【解析】

(1)设等差数列{an}的公差为d，则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3.3.(2023·全国卷理科)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；【解析】

(1)因为2Sn＝nan，当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0；当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2，当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an，当n＝1,2,3时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*)．4.(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素个数．【解析】

(1)证明：设数列{an}的公差为d，(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)，即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1，即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，所以{an}是以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，所以，当n＝12或n＝13时(Sn)min＝－78.整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，考点突破·提能力核心考点1求数列的通项公式核心知识·精归纳求数列通项公式的方法(2)由递推关系式求通项公式：①构造法；②累加法；③累乘法．典例研析·悟方法(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列bn＝[lgan]，[x]表示不超过x的最大整数，求{bn}的前1000项和T1000.典例1角度1：由Sn与an的关系求通项公式∴an＝3n－2.(2)由(1)可得：bn＝[lgan]＝[lg(3n－2)]，又当3n－2<10也即n≤3时，bn＝0；当10≤3n－2<100时，bn＝1，解得4≤n<34；当100≤3n－2<1000时，bn＝2，解得34≤n<334；当1000≤3n－2<10000时，bn＝3，解得：334≤n<3334；∴T1000＝3×0＋30×1＋300×2＋667×3＝2631.(1)求a3的值；(2)求数列{an}前n项和Tn.典例2方法技巧·精提炼根据所求的结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．加固训练·促提高1.数列{an}满足：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*.求数列{an}的通项公式．【解析】

当n＝1时，a1＝2，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋(n－1)·2n＋1，①a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝2＋(n－2)·2n，n≥2，②①－②得nan＝n·2n⇒an＝2n(n≥2)a1＝2，也满足上式，所以an＝2n，n∈N*.2.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n＋2n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．【解析】

当n＝1时，an＝S1＝a1＝6，Sn＝3n＋2n＋1(n∈N*)，当n≥2时，Sn－1＝3n－1＋2(n－1)＋1(n∈N*)，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1＋2，当n＝1时，a1＝6，不符合通项公式，典例研析·悟方法典例3角度2：由递推公式求通项公式

(1)如果数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n，求数列{an}的通项公式．(3)设数列{an}满足an＋1＝3an＋2，a1＝1，求数列{an}的通项公式．典例4数列{an＋1}是等比数列，an＋1＝2·3n－1⇒an＝2·3n－1－1.方法技巧·精提炼(1)an－an－1＝f(n)型，可用“累加法”求an，即(an－an－1)＋(an－1－

an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.加固训练·促提高1.已知数列{an}中，a1＝3且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，求数列{an}的通项公式．【解析】

因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.2.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝3n－1，求数列{an}的通项公式．【解析】

当n＝1时，a1＋S1＝3－1⇒a1＝1，an＋Sn＝3n－1，当n≥2时，an－1＋Sn－1＝3(n－1)－1，核心考点2求数列的前n项和核心知识·精归纳求数列的前n项和的方法(1)分组求和法；(2)并项求合法；(3)错位相减法；(4)裂项相消法．典例研析·悟方法

(2023·大观区校级三模)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2－1，a3－3成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；典例1角度1：分组求和法【解析】

(1)∵Sn＝2an－a1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，∴a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又a1，a2－1，a3－3成等比数列，即(a2－1)2＝a1(a3－3)，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－3)，解得a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，故an＝2n－1.方法技巧·精提炼1.分组求和法求前n项和适用的类型(1){cn}的通项公式为：cn＝an＋bn2.分组求和法求前n项和的技巧(1)定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；(2)巧拆分：即根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的数列；(3)分别求和：分别求出各个数列的和；(4)组合：即把拆分后求得数列的和进行组合，得到所求数列的和．加固训练·促提高(2023·广东广州统考二模)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a3＝0,an＋1＋(－1)nSn＝2n.(1)求a1，a2；(2)令bn＝an＋1＋2an，求b2＋b4＋b6＋…＋b2n.【解析】

(1)由an＋1＋(－1)nSn＝2n得a2－a1＝2，即a2＝a1＋2，a3＋S2＝22＝4，即a3＋a2＋a1＝4，又a3＝0，所以a1＝1，a2＝3.(2)当n＝2k时，a2k＋1＋S2k＝22k，当n＝2k－1时，a2k－S2k－1＝22k－1，两式相加可得a2k＋1＋S2k＋a2k－S2k－1＝22k＋22k－1，得a2k＋1＋2a2k＝22k＋22k－1，由于bn＝an＋1＋2an，所以b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝(a3＋2a2)＋(a5＋2a4)＋(a7＋2a6)＋…＋(a2n＋1＋2a2n)＝(22＋21)＋(24＋23)＋(26＋25)＋…＋(22n＋22n－1)＝(22＋24＋26＋…＋22n)＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)典例研析·悟方法

(2023·重庆高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知等差数列{an}满足an＋1＝2an－n.(1)求{an}的通项公式；典例2角度2：并项求合法【解析】

(1)由已知{an}为等差数列，记其公差为d.②当n＝1时，a2＝2a1－1，所以a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.(2)由(1)知bn＝(－1)nan＝(－1)n(n＋1)，＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2n＋2n＋1)＝n.方法技巧·精提炼1.并项求和法求前n项和适用的类型通项公式中含有(－1)n等特征2.并项求和法求前n项和的解题技巧(1)按已知的数列的特点进行分类讨论；(2)将通项加和进行分析；(3)加和后的数列作为新数列求和；(4)得出结果．加固训练·促提高已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前100项的和T100.【解析】

(1)因为an＋1＝an＋2，所以an＋1－an＝2，又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.典例研析·悟方法典例3角度3：错位相减法则a2－a1＝2，则an＋1－an＝2(n∈N*)，∴数列{an}是首项和公差均为2的等差数列，故an＝2(n－1)＋2＝2n.方法技巧·精提炼错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求．q倍错位相减法：若数列{cn}的通项公式cn＝an·bn，其中{an}、{bn}中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减法．加固训练·促提高典例研析·悟方法(2)设cn＝4n2anan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.典例4角度4：裂项相消法方法技巧·精提炼1.裂项相消法的解题策略裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差，使得相加求和时一些正负项相互抵消，前n项和变成首尾若干少数项之和，从而求出数列的前n项和．2.常见的裂项形式加固训练·促提高(2023·香坊区校级三模)

已知正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；【解析】

(1)证明：由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.

(2023·普宁市校级二模)已知：Sn为{an}的前n项和，且满足an＋Sn＝n.(1)求证：{an－1}成等比数列；(2)求an.核心考点3数列的综合应用角度1：等差等比数列的证明典例研析·悟方法