2023年高考数学大招19阿基米德三角形的性质

大招19阿基米德三角形的性质

大招总结

切线方程：

1.过抛物线y2=2px上一点M（Xo，%）的切线方程为：％y=p（x+x（））

2.过抛物线y2=-2px上一点的切线方程为：为＞=一

3.过抛物线x?=2py上一点M的切线方程为：毛*=〃（＞+%）

4.过抛物线炉=—2py上一点的切线方程为：=

性质1:阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

证明：设A（%,y）,3（马,必）,“为弦A8的中点，则过4的切线方程为yiy=p（x+x.）,

过B的切线方程为y2y=P（x+&），联立方程，y；=2pxQ；=2p尤2,解得两切线交点

12P2）

性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条

直线性质3:：抛物线以。点为中点的弦平行于Q点的轨迹

性质4：若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点性

质性质5:底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为——

8P

性质6:若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点。的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最

小值为P?

性质7:在阿基米德三角形中，NQFA=NQFB

性质8:抛物线上任取一点/(不与A5重合)，过/作抛物线切线交于S,T,则

QST的垂心在准线上

性质9:|AFHM|T"T

性质10：QM的中点P在抛物线上,且P处的切线与AB平行

性质11:在性质8中，连接AI,BI,则的面积是，QST面积的2倍

典型例题

2

%1

例1.(2019-新课标HI)已知曲线C：y=E，。为直线y=-］上的动点，过。作C的两条

切线，切点分别为A3.

(1)证明：直线过定点；

(2)若以El0,1j为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE

的面积.

尤2

解：（1）证明：y=3的导数为y'=x,

设切点A（菁,X）,8（&,必），即有y=T5

切线D4的方程为y—y=%（%—%）,即为y=芭3一、,

切线。8的方程为y=々X-+，

联立两切线方程可得X=+%2），

可得y=;xz=一；，即须入2=-1，

直线A3的方程为y—看=/&（工一%）,

X]

%21

即为y-寸=5（司+/）（》一玉），

可化为y=；（%+X2）x+j,

乙乙

可得A8恒过定点[o,g[

⑵设直线AB的方程为y=匕+；,

由（1）可得X]+x2=2k,x1x2=-1,

A8中点”

I2j

由，为切点可得E到直线A3的距离即为,

|1-5|I_____________

可得0=21人2+12一21,

解得攵=0或％=±1,

即有直线AB的方程为y=g或y=±x+1^,

由y=；可得|A却=2,四边形ADBE的面积为5ABE+S枷=；x2x(1+2)=3；

由y=±x+—,可得|=VITT•47^=4,

,11

1+-+—

22

此时到直线AB的距离为=V2;

F

U5

到直线AB的距离为先祖=血，则四边形ADBE的面积为

sABE+SA8O=；x4x(夜+正)=4及；

综上可得四边形AD8E的面积为4夜.

例2.如图，设抛物线方程为/=2py(p>0),M为直线y=—2”上任意一点，过M引抛物

线的切线，切点分别为A,3.

(I)求证：B三点的横坐标成等差数列；

(II)已知当M点的坐标为(2,—2p)时，=4而.求此时抛物线的方程；

(III)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点。在抛物线/=2py(p>0)上,其

中，点。满足0C=Q4+0B(。为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标;

若不存在,请说明理由.

\\o/x

~^2p-\M

，■),玉<X2，M(Xo，-2p).

解(I)证明：由题意设Ax3

2

由得了=三，得y'=二,

2PP

所以镰=~^MB=—■

PP

因此直线M4的方程为y+2P=](x-“o),

直线MB的方程为y+2〃=生■(%—/)

22

所以工+五(王一毛)，(玉■+：

2p=1)2/7=—(x2-x0).(2)

2Pp2P

由（1）、（2）得土产+%2—玉）,

因此,即

%0="；b2X（；=xt+x2.

所以AM,5三点的横坐标成等差数列.

（II）解：由（I）知，当天=2时，

将其代入⑴、（2）并整理得:片—4%—4P2=0,考—4々—4p2=0,

所以为,%是方程X、4x—4p2=0的两根，

2

因此玉+%=4,xtx2=-4/?,

22

%一

Y心_2〃2〃_%+々_xo

人KAB——一'

工2一玉2Pp

2

所以^AB=—.

P

由弦长公式得|AB|=Jl+KJ（X|+工2『_4X|X,=Jl+乌J16+16

X|AB|=4V10,

所以〃=1或〃=2,

因此所求抛物线方程为/=2y或/=4y.

（in）解:设0（W,%）,由题意得。（西+马,%+%），

则CQ的中点坐标为号之，生尹

设直线AB的方程为y—M=E（x—xJ,

由点。在直线AB上,并注意到点"吆,也在直线AB上,代入得y3=*3.

;乙乙）

若。（%3，为）在抛物线上，则xj=2py3=2X0X3I

因此=0或％3=2x0.

即0(0,0)或D(2x0，誓)

⑴当%0=0时,则久1+%2=2%0=0,此时，点M(0,-2p)适合题意.

22W+超22

⑵当xo*0,对于D(0,0),此时C(2x°,若詈)，/^。=等=个，又kAB=^,ABL

\zp/ZXQqp%op

CD,

所以去鬻=誓=一1，

即%i+%2=-422,矛盾.

对于D（2&,穹），因为。卜出,誓），此时直线CD平行于y轴,

又欧B=宗于0，

所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以出力0时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M（0,-2p）适合题意.

例3.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0,c）任作一直线，与抛

物线y=M相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l-.y=-c

交于P,Q,

⑴若羽•丽=2,求c的直

(2)若P为线段AB的中点，求证：Q4为此抛物线的切线；

(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由.

解(1)设过C点的直线为y=kx+c,所以x2=kx+c(c>0),即x2-kx-c=0,

设A(x1,y1),B(,x2,y2'),

OA=(Xi，yi),OB=(x2,y2))

因为OA-'OB=2,所以xtx2+-2,即%iX2+d+c)(/cx2+c)=2,xxx2

22

+kx1x2—kc(xi+x2)+c=2

所以—c—k2c+kc-k+c2=2,即c2—c—2=0,

所以c=2(舍去c=-1)

⑵设过A的切线为y-yi=ki(x-x^),y'=2x,所以kr=2xlt即y=2xxx-2xf+

yi=2xxx-xl，

它与y=-c的交点为

又P(管，华)=(*+)

所以

因为%1X=-c,所以一!="2,

2X1

所以“G+芸

所以点M和点Q重合，也就是Q4为此抛物线的切线.

⑶⑵的逆命题是成立，由⑵可知Q《，—c)

因为PQLx轴，所以P^,yP)

因为弩=/所以P为AB的中点.

自我检测

1.如图，设抛物线C-.y=x2的焦点为凡动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P

作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

⑴求XAPB的重心G的轨迹方程.

⑵证明"F4=乙PFB.

1.解：⑴设切点人B坐标分别为以）和（刈,/）、（/力通），二切线AP的斜率为

2x0,用点斜式求得它的方程为：2x0x-y-就=0；同理求得切线BP的方程为：2x1x-

y-*=0.解得P点的坐标为：孙=包沪,yp=而名.所以△APB的重心G的坐标为,

yG=生产=逋当2="9诙=中所以丫0=_3yc+4好.由点P在直线

I上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-（-3y+4x2）-2=0,即y=|（4x2-x+

2）.

（2）方法1：因为FA=以=（四言，沏/一丽=@,岩

由于P点在抛物线外，则\FP\=0,.'.cosz/lFP

两面=网&+（7了=

FPFB_浮.XI+(X0XL3(X\:)_^oxi+j

同理有cos^BFP=・•・Z,AFP=乙PFB.

刖一成所+（后-丁师’

方法2:（1）当%1%0=0时，由于xiW%0，不妨设％0=0.则y0=0,所以P点坐标为

管,0）,贝IJp点到直线AF的距离为：心=祟而直线BF的方程：守居即

X-Xiy+=0.所以P点到直线BF的距离为：d?=-8/=

明）4J（，T）+-）z

"群=?所以心=d2,即得"FP=4PFB.

⑵当%1%0*0时，直线4尸的方程：、一1=岩0-0），即（韬一；）%-沏）/+；%0=0,

直线BF的方程：y-J=1^（x-0）,即标一—Xiy+,i=0,所以P点到直线

4F的距离为：由=党产+沁|=K号）产=山

一唇诉,退2

同理可得到P点到直线BF的距离d2=%犯，因此由四=d2,可得到^AFP=乙PFB.

2.已知抛物线x2=4y的焦点为F.A.B是抛物线上的两动点，且AF=AFB(A>0),过

4、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

(I)证明前.前为定值；

(II)设△ABM的面积为S,写出S=/。)的表达式，并求S的最小值.

2解(1)设A(xvyi),B(x2,y2),M(x0,y0),焦点尸(0,1),准线方程为y=-1,

显然AB斜率存在且过F(0,l)

设其直线方程为y=fcx+1,联立4y=x2消去y得：%2-4kx-4=0,

判别式△=16(fc2+1)>0.

%+%2=xtx2=—4

于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=|,则易得切线AM.BM方程分别为y=

(|)X](X-匕)+乃，y=(^)x2(x-X2)+y2,其中4月=俎4丫2=吟联立方程易解得交

点M坐标，％=空=2k,%=华=-1,即M(空,一1)

x2

从而，FA?=-x1,y2-y!),FMAB=+%2)(2-^i)-(72-

?i)=*好一*)一2日(以一好)]=0,(定值)命题得证

这就说明AB1FM.

(II)由(I)知在AABM中，FMLAB,因而S=T|4B||FM|.

•••AF=>0),

"Si，1-％)=总2，%T),即｛1雪力-1),

而4yl=xl，4y2=xj,

则xf=42,

|FM|=J(空丫+(-2^=J；*+那+22+4=JA+J+2=VI+^.

因为\AF\.\BF\分别等于4、B到抛物线准线y=-l的距离，所以

\AB\=\AF\+\BF\=7i+y2+2=萍+那+2=4+:+2=(㈡+粉,

于是S=q|48||FM|=女迎+粉3由〃+/2知S>4,且当A=1时，S取得最

小值4.

3.已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为I,经过I上任意一点P作抛物线x2