2023年张家港高三年级上册期末数学综合练习及答案解析

2022〜2023学年第一学期1月高三年级综合练习

数学2023.1

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择廖（第9题~第12题）、填空题

《第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）,本卷满分150分，考试时间为120分

钟.考试结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号阳0.5毫米黑包墨水的签字笃埴写在答题卡的

规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答邀区域内作答，在其他位置.作答一律无效.作答必须用0.5

史来黑包墨水随签字笔.请注意字体工整，笔迹清更.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合力={—1,0,1,2},B—{x\lnx<1}>则4nB=（）

A.0B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2）

2,复数z满足l+zi+zi2=|i一6“，则2=

A.1+iB.1+|iC.D,一；+?

3.己知sin（a-=—3cos（a—则tan2a=

A.—473^B.C.4^3D.今

4.若数列{%}满足ai=—3,。计1=7，则&2022的值为（）

x-an

A.2B.—3C.——D.—

5.己知关于%的不等式a/+bx+4>0的解集为（-8,m）U（\,+oo）,其中?n<0,则

g+3的最小值为（）

A.-4B.4C.5D.8

6.2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜通过国家验收正

式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜（简称FAST）.F45T的反射面的形

状为球冠.球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，［丽嘉盘截面的温

第1页

径被截得的一段为球冠的高.某科技馆制作了一个尸45T模型，其口径为5米，反射面总

面积为87r平方米，若模型的厚度忽略不计,则该球冠模型的高为(注:球冠表面积5=2nRh,

其中R是球的半径，无是球冠的高.()

C.mD-T

3

7.已知0=1吨八石，b=log^in35。，c=则（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.a>b>c

8.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4-x),且当xe(0,4］时，f(%)=史詈，关于力的

不等式f2(x)+af(x)>。在［—200,200］上有且只有200个整数解,则实数a的取值范围是

()

A.(—―Zn6,Zn2］B.(-fn2,——Zn6)C.(—Zn2,——/n6］D.(——fn6,Zn2)

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，

都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的

得。分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9.已知随机变量X服从正态分布N(l,4),则下列说法中正确的有()

1I3

A.P(X<2)>-B,P(0<X<-)=P(-<X<2)

C.P(O<X<-)=P(1<X<-)D.X的方差为2

LZi

10.已知向量X=(2,1)工=(—3,1)，则()

ATTT

A.(a+b)1a

B,向量2在向量Z上的投影向量是一妈2

第2页

C.|a+2h|=5

D.与向量々方向相同的单位向量是（等,［）

11.已知圆。：/+。一4）2=1,点P在直线l：y=2x上运动，以线段PC为直径的圆D与

圆C相交于4B两点，则下列结论正确的是（）

A,直线!与圆C相离B.圆D的面积的最小值为?

C,弦长MB|的最大值为2D.直线AB过定点

12.在三棱锥D-ABC中，已知A8=BC=2，AC=2后DB=4,平面BCD，平面ABC,

且DBJ.AB,则（）

A.DB1AC

B,平面DAB，平面ABC

C.三棱锥D—ABC的体积为竽

D.三棱椎D—A8C的外接球的表面积为167r

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位

置上.

13.二项式（1—2）（1+动6展开式中/的系数为____.DC

14.如图，在梯形ABCD中，AB=4,AD=3,CD=2,/、;<

AM=2说.若就•询=—3，则函-AD=______.//

川々--------------------

15.在锐角△4BC中，角A,B9C所对的边分别为a,bfc,且满足2bcosC=2a—c.若

△48C■的外接网的面积为等，则三角形面积的取值范围是.

16.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上

方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他

自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想

是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦

点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位

长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡

第3页

垂直照射在平面的点为4影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子

椭圆的离心率e=

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题10.0分)

已知数列｛%｝的前?I项和为5，/1+1＞即，4Sn=«n+4n.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)求数列｛券｝的前n项和功.

18.(本小题12.0分)

为进一步推动新能源汽车产业他旗有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，

发展改革委联合发布了硼■政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能

源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用

财政补贴政策有关要求,为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的

关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：

愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车

购买时补贴大于L5万6535

购买时补贴不大于1.5万4555

(1)能否有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关?

第4页

(2)若从购买时补贴大于L5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人

中随机抽取3人调查家庭收入情况，记X表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求

X的分布列与数学期望.

附:

P(/>k)o.oso0.0100.001

k3.8416.63510.828

9

2_n(ad-be)

z=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

▲▲▲

19.(本小题12.0分)

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC,该

曲线段是函数y=Asin®#+<p)(A>0,a)>Q,(pE(0,TT)),XW[—4,0]的图像,图像

的最高点为见一1,2).边界的中间部分为长1千米的直线段CD,且CD〃EF.游乐场的后

一部分边界是以。为圆心的一段圆弧旄.

(1)求曲线段FG8C的函数表达式；

(2)曲线段FG8C上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔

直的景观路到。，求景观路GO长；

(3)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区。MPQ，平行四边形的一边在

海岸线EF上，一边在半径。。上，另外一个顶点P在圆弧徐上，且=求平

行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时。的值.

▲▲▲

第5页

20.（本小题12.0分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA，平面ABCD，M为PC的

中占

I八I、»

(1)求证：PA〃平面M8D;

(2)若48=AD=PA=2,Z.BAD=120°>求二面角B—AM—D的正弦值.

第6页

答案和解析

L【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查交集的求法和对数不等式的解法，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解

能力,是基础题.

求出集合B，利用交集的定义能求出力门乩

（傥泣MVMSw»w.»v»scom

【解答】

解：：集合力={一1。1,2},

B={x|Znx<1}={x|0<x<e}?

.•.月nB={1,2}.

故选：C.

第7页

2.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题.

【解答】

解：由1+zi+zi2=|1—可得(i一=1-z=--=—。故选U

I-1L乙

3.【答案】4

【解析】

【分析】

第8页

本题考查两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式.

由两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系求得gnQ=-g再由二倍角

公式即可得解.

【解答】

解：；sin(or-身=-3cos(a-

,1.、

sma停cosa+-sma卜

求得tan。=一浮

则tan2a=——4、反，

1—tan"

故选A.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

第9页

本题考查递推关系、数列的函数特征，考套推理能力与计算能力，属于基础题.

利.用以？1+1al=-3，则仪2=一字。3=j，。4=2,。5=—3，…,可得:«n+4=«

即可得出数列｛心｝以4为周期，从而得出答案.

【解答】

1+而

解:5二-3,

1一而

1-31

…=,=-了

同理可得［叼=］，£14=2,苑=-3.........

Q7T+4=0九，">L。EM*,数列｛%J周期为4,

则&2022=^4X505+2=a2=一展

故选：C.

第10页

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，考查了利用基本不等式求最值的问题，

是基础题.

根据不等式+6”+4>0的解集求出Q的值和力的取值范围，再代入々：中利用对勾函

aD

数单调性求出它的最小值.

【解答】

解：关卜工的不等式。/+bx+4>0的解集为（一8,m）U弓,+8），其中m<0,

所以加和=是方程a—+bx+4=。的实数根，

Jt1

（,4_b

IntH———

由根与系数的关系知｛々4口，

\mX-=-

\ma

解f：沁=1,b=—（m+—I=—m+——>2i—m-=4’

•nv—myj-m

第：1女

当且仅当—m，即m=—2时取

—m

所以2+=+p

abD

4.

设f(b)=8+彳(524),

y函数f(b)=b+：在(2,+8)上单调递增，

u

当b>4时fS)=b+2单调递增，

所以f(b)ms=f(4)=5,

所以£+的最小值为写一

ab

故选U

6.【答案】B

第12页

【解析】

【分析】

本题考查球冠面积的求法，考套运算求解能力，是基础题.

由题意画出图形，由球冠面积列式即可求得球冠高度的近似值.

【解答】

解：如图所示,为D是弦，。。是直径，B为月D中点，OCJ.AD于B.

由题意得。。=CM=R，BC=h.AD=5,

于是OB=R—h.AB=2.S,

在△CUB中，由勾股定理得次2=(R—h)2+(|)2①

又由球冠表面积公式得法Rh=87r②

联立①②式解得，无=工

故选

第13页

7.【答案】A

【解析】

(.多M滋WWB.F8m

【分析】

本题考查利用函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.

根据对数函数的单调性可得知a<^<b<l<c.

【解答】

第14页

]]]

解：a=log^y/e=^log^e<=不

,=logisin450<b=logisin350<logisin300=lr

2222

设y=¥，由y，=皆及0得：,所以》，=呼在叵+8）单调递减，于是：?>?，

即：Ttlne>elnrr,e71>/所以c=三＞L

所以c>b>a.

故选H.

g.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考直了不等式与函数单调性，函数图象的关系，属于难题.

判断了。)在(0,8)上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期(0,8)内有4个整数解，再

根据对称性得出不等式在(0,4)上有2个整数解，从而得出Q的范围.

【解答】

第15贝

1—?n2x

解:当OVxW4时，尸⑴=

令/(#)=0得X=*

.乙

二f(x)在(0卷)上单调递增，在4)上单调递减，

•・"(X)是偶函数，

f(x+4)=f(4-x)=f(x-4),

f(x)的周期为B，

作出f(x)一个周期内的函数图象如图所示：

第16页

T

：f(x)是偶函数，且不等式产(幻+a/(x)>。在［—200,200］上有且只有200个整数解,

二不等式在(0,200)内有100个整数解，

V，(乃在(0,200)内有25个周期,

/(外在一个周期(0,8)内有4个整数解,

(1)若a>0,由产(乃+af(x)>0,可得汽幻>。或fO)<一处

显然了(外>。在一个周期(0,8)内有7个整数解，不符合题意；

(2)若a=0,则f(%)于0,由图象可得，不符合题意；

(3)若aV0,由产(x)+a/(x)>0,可得f(x)<。或f(%)>一口，

第17页

显然f(x)<o在区间(08)上无整数解，

:/(x)>—G在(0,8)上有4个整数解，

v**)在(0网上关于直线#=4对称，

・•・f(x)在(0,4)上有2个整数解，

7(1)=配2，"2)===比2,f(3)=g

f{x)>—a在(0,4)上的整数解为x=1,x=2.

<—a<Zn2，

1J

'。曰36s而

解得一加2<a<一一—

故选：c.

第18页

9.【答案】AB

r解析】

【分析】

本题考查正态分布的概率计算，属于中档题.

根据题意得出〃=1卬=2,再对各选项逐项判定，即可求出结果.

【解答】

解：因为随机变量X服从正态分布N(L4),

所以从=L=2,

1

所以p(XVl)=之

所以P(X<2)=P(X<1)+P(1<X<2)>；，故M正确;

P(O<X<|)=P(f<X<2),P(O<^<1)=FP(1<|).故3正确，C错误;

X的方差为4.故。错误.

故选H,

第19页

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积、投影向量、向量的模等基础知识，属于基础题.

根据向量数量积的坐标运算可判1所4利用向量数量积的几何意义可判断E;利用向量模

的坐标表示可判断G根据向量W方向相同的单位向最=,可判断D.

\a\

【解答】

解：由向量之=(2,1),B=(—3,1),

第20页

a+i>=(—1,2)，所以(W+》),£=—1X2+1X2=0,，所以日+b)_L/故且止确；

B,向量2在向量稔上的投影向量为|日忙00(胃石)・卫~=巫"_|~=二^^^二石二—,片故

IWIW同102

B错误；

C，W+21=(2,1)+(—6,2)=(—4,3)，所以|1+2：|=J(—4)2+3、=5,故C正确；

D,与向量昉向相同的单位向量2=者=5(2,1)=聋净，故。正确.

故选HCD.

.・-♦.-A.

IL【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，圆中的最值问题，直线过定点问题，属于较难题.

根据圆心C到直线i的距离与半径1的大小关系可判断公

设P(t,2t),利用两点间的距离公式求出圆D的半径，从而可得半径的最小值，可判断8;

根据圆。直径为2,弦a切不过圆心，所以小于2,可判断G

第21页

结合点P的坐标，可表示圆◎的方程，再求出相交弦月B的直线方程，从而可判断D.

【解答】

解：由题设得圆C的圆心火。,4)，半径为1，

对于选项出圆心C到直线E的距离d=》＞3所以直线当圆C相离,d正确；

对于选项&由于点F在直线I：y=2#上运动，设则圆D的圆心D(g"+2),

所以阅D的半径/=i|PC|=+(2t—4)2=。VSt2-16t4-16=:ls(t—T)2

，M£■£(JtJ

故当t=9时半径7•有最小值竺，

口J

[.多，)@。《公众》»3丫或111”w.wv»8m

所以圆D的面积的最小值为冗x(q)2=萼，故B正确；

JV1

对于选项。弦|月8|不过圆心a从而小于圆C直径，圆C直径为2,故C错误.

第22页

对于选项力由上面的8选项可知圆。的方程为(#_l)2+(y_t_2)2=5产一%+16,

将圆D的方程与圆C的方程相减可得相交弦的直线方程为：tx+(2t-4)y+15-8t=

0.

整理1(x+2y—8)—4y+15=0»

1

[X+2y—8=0

，解得2

—4y+15015'

4

所以直线48过定点转,%故D正确;

故选ABD.(<>*«•macwiM】w»*v«w<

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理和正弦定理的应用，线面垂直和面面垂直的性质，三棱锥和体积公式,

球的表面积公式，属于中档题.

第23页

首先利用余弦定理的应用求出乙48c的大小，进一步利用线面和面面的垂直的位置关系和

反证法的应用判断4和B正确，进一步利用锥体的体积公式和勾股定理的应用求出外接球

的半径，进一步判断。和D的结论.

【解答】

解：三棱锥。一ABC中，已知乂8=8仃=2,AC=25

所以乙必变=」所以“因=今

COS2x2x223

过点。作DE±8。于点E,

由于平面BCD_L平面ABC，平面BCDCl平面48c=CB.DEu平面8CD，

所以DE_L平面内8C,u平面ABC,所以DE_L?1B,

假设D8,DE不重合，由于DH_L48,DECiDB=D,DE,D8u平面DEC,

所以R8JL平面DBC,8Cu平面DEC,所以481Hd

第24页

这样与乙48仃=等矛盾；

W

所以假设不成立，所以DB和DE重合，即DB_L平面4BC;

AC仁平面ABC,所以RD1AC;

由于DBu平面D4B,所以平面DAB_L平面力8C,

所以4和B正确；

如图所示：

三棱锥D—的体积为之WX2X2Xs瑞X4=等’故C正确;

故本题选且sc.

13,【答案】5

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理的特定项的系数，属于基础题.

第26页

1解答】

解：(1—$(1+*)6=(i+尤)6—"1+为6,展开式中/的系数为点—或=5.

14,【答案】？

.M

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的数量积，属于基础题.

设1^=4之，前=3工一即可避免用分数来表示其它向量，又便于计算.或者建立平面直

角坐标系，使得月(0,0)，5(4,0),设D(3cosa,3s出a),由就•丽？=一3，得gs。=3所

以A8,AD=12cosa=

£■

第27页

【解答】

解：解法1设=4日，AD=36»其中面

则5?=22，AM=2b.

由而•前=-3W(3b+2a)•(2b-4a)=-

化简得£,b=巳所以月E-AD=12a•b=。

解法2:建立平面直角坐标系，使得力(0,0),8(4,0),

izD(3cosa,Ssmcr)，

则C(3cosa+2,3si?itz),M(2cosor,2sina).

ww»»w^com

由就•俞二一3，

f'r(3cosor+2,3si?ia),(2cosa—4r2smfz)="

化简得cos。=t

LwQ

所以48*AD=12cosa=I，

ZJ

故答案为引

JU第28页

15.【答案】（学,4莅

W

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.

由正弦定理与两角和的正弦公式可先求得B=£再结合三角形的面积公式和三角函数的

◊

性质可求得答案.

【解答】

僻：由2%口号^=2a一””•一

2sin^cos^=2fin4~~sin。

得2sinBcos(?=2sin(5+C)—sinC»

第29页

_£7—2___C+2S_：C—_：C»

sincossincoscronsqsinnsinn

所以2cos8sin£?=sinC,因为CE(05)，所以知］。＞0,

所以8SB=)而作(崎，所以

又由△/8C的外接圆的面积为殍，

W

所以外接圆半径"专

c

则Q=2小iJ1也£AL工n，=2/?s；nC

1

「以Sdiscacsm^2sinXsinC

2,J

16732TT

sirh4sin(F-一

3J4)

8V*3c'2、.4遍

=~cos(2A--)+—，

2JT.7T

因为△/BU为锐角三角形，所以——4V-，

832

所以月€玲，今，

第30页

则2A-与cos（Z4-争

所以△48c的面积取值范围为（萼,473].

故答案为（竽,4何

16.【答案】《

【解析】

【分析】

«t«»AM3VKVl**»«*w*<om

本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是建立直角坐标系，根据题意求伊沁与G属虐

题.

a-c，求得直线?我的方程，利用

建立直角坐标系，由题意可知，WQI=a+一国町=

第31页

点到直线的距离公式求得M、Q的坐标，再利用M到PN的距离求得N点坐标，则可得出Q+

ca—c,求解a,c,即可得到椭圆的离心率.

【解答】

解：如图所示，以力为原点建立平面直角坐标系，

则P(0,4),R(-3,0),直线PR的方程为y+4.

设Q(%0),由M到直线PR的距离为3

||n+4-l|_

得丁工7-，解之得九二一J或冷=一1(舍)，

则M(-5,1)'Q(一］,0),

乂设直线PN的方程为y=Me+4,

由M到直线PN的距离为1,得一看一=1,

整理衅/一2认+8=0,则切的=整

又在PR=石,故kpN=玄,则直线PN的方程为y=代工+4，N(——,oK

W第3颂U\JL/

7

2-

g

-4-

-户

4-

7

-7

4

--

S9-

故椭圆的离心率2=--

a4

故答案

7

第33页

17.【答案】解：（1）因为在数列｛0/中，45fl=晶+4%

所以％=5工=2.

因为45门+1=忌+1+4（71+1），

所以4.+1=45n+1-4Sn=忌+i—*+4,即（即+i—2）三二*.

又因为0n+1>之=2,所以0n+i—2=%,即阳+1一％!=2,

所以数列｛4｝是首项为2,公差为2的等差数列，其通项公式为%=2n.

(2)由(1)得第=5・

F匚1、1丁一1।2n-1n

1

奸以in=”+g+"*,：.±.^=3-+酒

1_1.2n—1n尸、

2^i=g+声+…+丁+声I'<?--

由①一②，得，出=$+专+…+卜-弄

1H2+n

干一/I

所以心=2—字

Ju

第34页

愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车介计

购买时补贴大于L5万6535100

购买时补贴不大于15万4555100

合计11090200

可得/=笔微需需=股&。8”84】，

所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关；

(2)依题意，分层随机抽样的抽样比为』=与

SMS-LUU3

则有65x/=13，35x1=7，

所以应在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，应在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7

人，

¥的所有可能取值为0,1,2,3,

广37

则尸("。)=w=丽

P(X=1)*=

c20

第35页

Clci91

P(X=2)3

So190,

品_143

P(X=3)=

言一丽'

L20

所以X的分布列为:

X0123

79191143

P

228380190570

故里)=0'总+"孤+2乂焉+3><券=祟

【解析】本题考查独立性检验、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望,

属于中档题.

(1)写出2X2列联表，求出/的值，即可求出结果；

第36页

(2)求出X的值和相应的概率，即可得出分布列，再代入期望公式，即可求出结果.

19.【答案】解：(1)由已知条件，得力=2,

又；(=3,T=詈=12，二3=/

又二当#=一1时，有y=2sin(-*+P)=2,且卬€(0,冗)，

27r

.•.卬十

二曲线段FG8C的解析式为y=2sin(|x+^),x£[-4,0].

(2)由y=2sin(^x+三)=1»

根据图像得到:工+；；•2七(keZ),解得又=—3+12k*EZ),

又xE[—4,0],；.k=0,x=—3..■1G(—3,1)4

OG=V10-

.，.景观路Go长为yiu千米.

第37页

(3)如图,

OC=店，CD=I，

n

，乙

OD=2COD=—o»

作PP1_Lx轴于Pl点，在RtZiOPPi中，

PP^=OPsinO=2sin0,

在40Mp中，

第38页

OP

l

sin—sin(--Q)

3

0人呜_。)

OM.；=2COB&-

■J7T3'

2V3

SQMPQ=OM-PP、=(2cos0-----sE8)X2sin0

=4sin0cose-^-sin2e=2sin20cos20-

8E(0r);

当28+3=3时，即9=［时,

oz0

平行四边形面积有最大值为孥(平方千米).

【解析】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属于

较难题.

(1)由题意可得总=2,T=12,代入点求火，从而求解析式；

(2)令y=2shi(^x+争=1求解x，从而求景观路G。的长；

第的页

(3)作图求平仃四边形的面积的MpQ=0M-PPi=(2cos6-sin0)2sin0=

竽sin(26+.)—苧，BE(。今从而求最值.

20.【答案】(1)证明:连AC交BD于点N,连MN.

因为底面48c口为平行四边形，所以N为力。的中点.

因为M为FC中点，所以MN〃P4

又P4仁平面MBD,MNu平面

所以R4〃平面MBD.

(2)解：取CD中点E,,…3^4国第

因为兑8=用0,四边形为BCD为平行四边形，所以四边形为8CD为菱形，

又上BAD=120%所以乙WC=60%因此△幺8为等边三角形，

第40页

所以4E1CD,即月E_L48.

又P4_L平面48CD，

故以48,AE,jP分别为#,y，z轴建立空间直角坐标系，则月(OQQ)，8(2,0Q)

，P(0M2),C(LV5,O)，D(—1,75,0)，

D

所以布=(2,0,0)，就=4,等,1)，AD=

士/第钮页

设平面4MB的一个法向量为记=(xty/Z)，

贝信瓢患屯:"+』•忸—OP!小了—2>z——3

即日=(02—\，3).

设平面总MD的一个法向量为用=(x,yfz),

HJT•而=0,曰/一工+'与'=°，啊

则(二—,，即1高，取x=V与，则y=Lz——、行,

(n-AM—0(-X+~y+z—0

2r£■u

即二二(何L-病.

众03V试Q]Fwwv^vom

i<ll|lL—"-0x\13+2x14-(-v3)x(-V3)5

则啊-声丁-------=—!!

8sV2>=-----------7

第42页

又<孔2AE（°，江），

所以二面角B-AM-D的平面角的正弦值为绡.

【解析】本题考杳线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，属中档题.

⑴连月C交BD于点N,连MM因为底面为夙/为平行四边形，所以N为幺f的中点.

因为M为尸C中点，所以MN//PA,可利用线面平行的判定可证得；

（2）取CD中点E,连/E.易证得4E1CD,即乂E1月反又R4_L平面月BCD,

故以4乩AE.nP分别为x，门名轴建立空间直角坐