2022年高考数学真题解读（全国乙卷理）

2022高考数学真题完全解读（全国乙卷理）

冷赍料今依皋使用地区、曲泉总评、考克今布阿目表、伏要深点解核四个楔块，其中曲要课

度解钱根块又合为【命奥意图】【答案】【解析】【直评】【加积铤接】等捏目.碎资料辱台由

容束源孑网珞

一、武春箕用他区

2022年全国乙卷使用地区为安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、

青海、新疆、内蒙古

二、武卷是坪

1.2022年高考数学乙卷理命题坚持思想性与科学性的统一,发挥数学应用广泛、联系

实际的学科特点,设置真实情境，命制具有教育意义的试题，发挥教育功能和引导作

用.如第19题以生态环境建设为背景材料，考查学生应用统计的基本知识和基础方

法解决实际问题的能力，对数据处理与数学运算素养也作了相应的考查.如第4题，

以嫦娥二号卫星在完成探月任务后继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞

行的人造行星为情境，考查学生综合应用数列、函数、不等式等基本知识观察问题、

分析问题和解决问题的能力.该题选取我国科技发展与进步中取得的重要成就作为

试题背景，体现教学的应用价值和时代特征，激发青年学生树立为国家服务、奉献科

技事业的信念.

2.该试卷依据课程标准命题，深化基础考查，突出主干知识，创新试题设计，加强教考

衔接，发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用.命题贯彻高考内容改革要求，依

据高中课程标准，进一步增强考试与教学的衔接.试题的考查内容范围和比例、要求层次与课

程标准保持一致，注重考查内容的全面性,同时突出主干、重点内容的考查,引导教学依标施教.

试题突出对学科基本概念、基本原理的考查，强调知识之间的内在联系，引导学生形成学科知

识系统；注重本原性方法,淡化特殊技巧，强调对通性通法的深入理解和综合运用，促进学生将

知识和方法内化为自身的知识结构.如第21题考查分类与整合的思想.数学试题力图引导中

学遵循教学规律、提高课堂教学效果,实现作业题、练习题减量提质.

3.该试卷在选择题、填空题、解答题3种题型上都加强了对主干知识的考查.注重

创新试题形式，引导教学注重培养核心素养和数学能力，增强试题开放性，鼓励学生

运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题，引导教学注重培育学生的创新精神,

如第14题，设置一个开放型试题,要求学生不仅仅会做，还要有选择最佳方案的意识.

4.该试卷加强学科核心素养考查，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键能力，优化试题设

计，发挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质.通过设置综合性的问题和较为复

杂的情境,加强关键能力的考查，如第12题，通过抽象函数考查学生灵活应用函数思

想解决抽象问题的能力，对抽象思维能力和逻辑推理能力有较高的要求.

5.该试卷突出思维品质考查，强调独立思考和创新意识.如第9题，研究球内四棱锥体

积的最大值问题，要求学生有较强的空间想象能力和分析问题能力，将问题转化为

三次函数的最值问题，进而利用导数求解.

三、考点分布细目表

题号命题点模块（题目数）

1集合的补集运算集合（共1题）

2复数相等及复数的运算复数（共1题）

3平面向量的数量积平面向量（共1题）

4数列项的大小比较1.数列（共2题）

2.不等式（共1题）

5抛物线的几何性质解析几何（共4题）

6程序框图算法初步（共1题）

7空间中的线面位置关系立体几何（共3题）

8等比数列数列（共2题）

9四棱锥的外接球立体几何（共3题）

10相互独立事件的概率概率统计（共3题）

11双曲线的离心率解析几何（共4题）

12抽象函数函数与导数（共3题）

13古典概型概率统计（共3题）

14圆的方程解析几何（共4题）

15三角函数性质三角函数与解三角形（共2题）

16函数的极值函数与导数（共3题）

17解三角形三角函数与解三角形（共2题）

18面面垂直的证明与线面角立体几何（共3题）

19用样本估计总体、回归分析概率统计（共3题）

20椭圆方程及定点问题解析几何（共4题）

21导数的几何意义及函数零点函数与导数（共3题）

22极坐标与参数方程选修4-4（共1题）

23不等式证明选修4-5(共1题)

皿、试题深度解凄

1.设全集。={1,2,3,4,5},集合M满足6M={1,3},则()

A.2GMB.3GMC.D.5^M

【命题意图】本题考查集合的补集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易

【答案】A

【解析】由题知〃={2,4,5},对比选项知,A正确,BCD错误，故选A

【点评】集合是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上，

考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系，所给集合多为简单不等式

的解集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定.

【知识链接】

1.求解集合的运算问题的三个步骤：

(1)看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的

关键,即辨清是数集、点集还是图形集等，如{My=/5)},=/＜》)},{(x,y)ly=/U)}三者是不同的；

(2)对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、

易于解决；

(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).

2.已知z=1-2i,且z+应+/?=0,其中〃力为实数厕()

A.a-l,b--2B,。=-1,。=2C,a=l,b=2D.

a=-l,b=-2

【命题意图】本题考查复数的运算与复数相等，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：

容易.

【答案】A

【解析】因为z=l-2i,所以』=l+2i，代入z+应+8=0得

z+应+)=1-2i+a(l+2i)+。=(1+a+力+(2a-2)i

1+67+Z?—0a—1

由2+应+〃=(),得Cc，即',故选A.

2a—2=0b=-2

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面H呈现，位于选择题的前3题的位置匕

考查热点一是友数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共规复数、纯虚数、复数相等、

复数的几何意义等，二是复数的加减乘除运算.去年与今年复数的考查回避了往年考查的热点:

复数的除法运算,重点考查复数相等、复数的共辗复数及方程思想在求值中的应用.

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类

项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共朝复数，解题中要注意把i的事写成

最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为“+砥。/GR)的

形式，再结合相关定义解答.

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为。+

历(“力6R)的形式，再结合复数的几何意义解答.

3.已知向量满足时=1,网=JG,|a-2〃|=3,则()

A.-2B.-1C.1D.2

【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.难度：容易

【答案】C

【解析】由题意得卜―2W=/一牝［l+4A2=l_4a•)+12=9,所以a./»=l,故选C.

【点评】平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考查，热点是平面向量的线性运

算及平面向量的数量积，可以是容易题,也可以是中等难度题，中等难度题常用平面几何、不等

式等知识交汇考查.本题属于常规题型，难度与课本练习中的基础题相当，且学生训练比较多,

所以此题属于得分题.

【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角：8$。=丽,要注意6G［0,兀］.

(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a_Lga力=0%一臼=|a+b|.

(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：/=。口=|02或同=而;|。±"=

yja2+2a-b+b2.

4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人

造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛2｝：伉=1+」-,

«,+——，…，依此类推，其中4eN*供=1,2,…).则()

6Z]H--------'

a,H---

。2%

A.

瓦＜瓦B.仇＜4C.b6＜b2D.

【命题意图】本题考查不等式的性质，考查逻辑推理的核心素养.难度：中等.

【答案】D

,11

【解析】解法一：因为《eN仅=1,2,…).所以%<%+——，％,得到4>a，

%g十

/a2

111

11—>------------

Ct\H--->OCx-\--------,,a.1

同理的“上」_,可得也<。3也>4,又因为%a2+------r

一%%+——

«4

11

?+-----「<«1+--------j—

%+—%+-----「，故仇<仇,仇>仇；以此类推，可得4>b、>b、>b]

%%+

%

I1

屋〉1

2

%>々,故A错误；々，故B错误；«2+--------「，得故C错误；

4+-----

«6

11

«i+-------j—>«i+-----------j—

«2+------[…]，得也<白，故D正确.故选D.

%+―af>+一

%«7

解法二：特例法，取a„=1厕鼠=1+：,则

,,1,,13,15,18,113

瓦=l+-=2,h2=l+-=-,i3=l+—=-,^=l+—=-,/?5=1+—=—,

142b23by5bA8

"=亮也=1+!=答々=1+[=(^,由此可排除ABC,故选D.

b513b621b-j34

【点评】本题以我国科技发展与进步中取得的重要成就作为试题背景命题，考查学生

综合应用数列、函数、不等式等基本知识观察问题、分析问题和解决问题的能力.

由于背景新、解题思路新，致使不少学生无从下手,难度明显较大，放到6题以后比较

合适，但以实际问题为背景命题，是近年高考热点,请同学们务必重视.

【知识链接】我们来谈谈解法二特例中数列项的大小问题：由4=2抱川=1+1.可得

351

"=:<々4=9<4，结合/。)=1+—在(0,+8)是减函数可得：

23x

,,,

力]>仇=/<么=4>仇=仇〈仇「一，>Z^=>Z?2<Zzt=>/?3>Z^=>/zt</^,»所以有

b2n7>瓦M，b2n<%,+],&〃_]>伪〃+]力2〃<力2〃+2-

5.设尸为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上,点8(3,0),若[4同=忸同则AB|=()

A.2B.25/2C.3D.3V2

【命题意图】本题考查抛物线的定义及性质，考查逻辑推理的核心素养.难度：容易

【答案】B

【解析】由题意得，网1,0）,则用=忸司=2,即点A到准线尤=一1的距离为2,所以点A的

横坐标为-1+2=1,不妨设点A在x轴上方，代入得A（l,2）,所以

\AB\=,（37）2+（（）_2『=2A/2.故选B

【点评】本题虽然在第4题位置上，难度显然小于第3题.解析几何在高考中一般有3到4道

试题，若有3道试题，则这3道试题分别涉及椭圆、双曲线、抛物线；若有4道试题，则这4道

试题分别涉及圆、椭圆、双曲线、抛物线.

【知识链接】

1.客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力,特别是求解有关线段长度时

要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用.

2.设AB是过抛物线）2=2/“（/»0）焦点F的弦，若4为,力）,8（刀2,”）,则

①和2=?,3”=—p2.

②|AF|=X[+§|/18|=制+及+〃=弁次31为弦A8的倾斜角）.

6.执行下边的程序框图，输出的"=（）

/输入夕=1,h=\,n=\/

A.3B.4C.5D.6

【命题意图】本题考查程序框图，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易

【答案】B

I1321

【解析】执行第一次循环,/?=1+2=3«=3-1=2,〃=2,不一2=*—2=->0.01,

否;

b2721

执行第二次循环,3=3+4=7,a=7—2=5,"=3,——2=^—>0.01，否；

b21721

执行第二次循环,b=7+l（）=17,a=17-5=I2,〃=4，r-2=--2=—<0.01,

a~12144

是，结束循环，此时输出〃=4.故选B

【点评】算法初步曾经是高考每年必考问题，由于教材改革,对算法初步的考查频率降低，高考

对算法初步的考查形式比较稳定，一般都是考查程序框图，且以循环结构为主，难度都不大.

【知识链接】解决循环结构框图问题,要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值（或控制

循环的条件），然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次,

找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.

7.在正方体ABCC-A及GR中,分别为的中点，则（）

A.平面B.EF±平面BDD[B,平面B.EF1平面A.BD

C.平面片以7//平面AACD.平面耳族//平面AG。

【命题意图】本题考查空间几何体中线面位置关系的判断，考查直观想象与逻辑推理的核心

素养.难度：中等偏易.

【答案】A

【解析】在正方体AB8-ABCQ中,ACLB。ROD,J■平面ABCO.EFu平面ABC。,

所以EELDA，因为瓦厂分别为的中点，所以所以MLB。，又

BDn=。,所以E产，平面BDD]，又EFu平面5EF，所以平面B.EF，平面BDD「

故A正确；

对于选项B,如图所示，设AiBC\B]E=M.EFpiBD^N.^MN为平面B}EF与平面

ABD的交线，在/\BMN内，作BP1MN于点P,在AEMN内，作GP±MN、交EN于点

G，连结BG厕NBPG或其补角为平面BXEF与平面\BD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN-PG2+PN2=GN2,

底面正方形ABCD中.瓦F为中点，则所，BO.

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2,

从而有.：NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG-,

据此可得PB2+PG2丰BG?,即ZBPG丰90,

据此可得平面B.EF±平面48。不成立，选项B错误；

对于选项C,取44的中点“，则AH\\ByE,

由于与平面AAC相交,故平面B\EF〃平血A,AC不成立，选项C错误;

对于选项D,取AO的中点M,很明显四边形4用月0为平行四边形，则||B.F,

由于AM与平面AG。相交,故平面用石/〃平面AG。不成立，选项D错误；故选A

【点评】对空间线面位置关系的考查，一直是高考中的热点，高考考查此类问题，以正方体模型

为载体的频率非常高，故请同学们一定要重视正方体这个重要的几何体.

【知识连接】

1.证明或判断面面平行的方法

(1)利用定义(常用反证法)；

⑵利用判定定理：a,buB，aC\b=P,a//a,b//ana//p；

推论：〃力uQwua,〃八。=尸,〃洎"=。,4〃加力〃〃(或a〃〃/〃"?)=>a〃4；

(a//B

⑶利用面面平行的传递性：〃广>«〃Y；

\y//p

(4)利用线面垂直的性质：〃夕.

2.应用判定定理时,注意由“低维”到“高维Z“线线平行”n“线面平行』“面面平行”；

应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行』"线面平行』“线线平行”.

8.已知等比数歹ij{4}的前3项和为168,。2—6=42,贝1」。6=()

A.14B.12C.6D.3

【命题意图】本题考查等比数列基本量的计算，考查数学运算的核心素养.难度：中等偏易.

【答案】D

【解析】解法一：设等比数列｛%｝的公比为4,4#0,若q=l,则4=°，与题意矛胤则

q=96

q+a,+%==168,

-1--1一qM，解得<1，所以4==3.故选D.

4q

a2-a5=aiq-aiq=42

解法二：设等比数列｛q｝的公比为¥0,由4+4+%=168及%-%=42,得

4（1+4+/）=]68%=96

«,八，解得《1，所以4=。4=3.故选D.

）=421=5

【点评】本题利用方程思想求基本量，属于常规题型，课本有类似习题，且本题难度不超过课本

习题.在高考试卷中若解答题中有数列题，在客观题中一般没有数列题,若解答题中没有数列

题,客观题中一般有两道数列题，一道考查等差数列，一道考查等比数列.

【知识链接】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量

m,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）可迎刃而解.注意为使问题有确定的解所列

方程的个数应与未知数的个数相等.

9.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱

锥的体积最大时,其高为（）

A1R±D四

A.D»--D.

3232

【命题意图】本题考查四棱锥的外接球及几何体体积的计算，考查直观想象与逻辑推理的核

心素养.难度：中等.

【答案】C

【解析】解法一：设该四棱锥底面为四边形A8CD,四边形ABC。所外接圆半径为r,设四边

2

形AHCD对角线夹角为a,WiJSzlBCD=-AC-BD-sina<--AC-B£><--2r-2r=2r,

（当且仅当四边形48CC为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面A8CO所在小

圆距离一定时，底面A8CC面积最大值为2r2

又产+肥=1,则

222

v_192,_V2/22旧〈夜Ifr+r+2/?Y_473

vf>cn=_>2r,h=—vF•r,2/z<—,I---------------=-----

n°-ABCD333火3J27

当且仅当r=2/r即〃邛时等号成立，故选C.

解法二：由于该四棱锥的底面是圆内接四边形，当圆内接四边形面积最大时该四边形为正方

形,设该正方形的边长为正方形外接圆半径为r,则/-也”,该四棱锥的高的最大值为

2

，此时该四棱锥的体积丫=；"2一1，设/（”）="4-q（0<q<2）,

则/（4）=4/-3a，,令/（°）=0得/=g,所以当/=g时/g）最大，V最大，此时

）=J1工=且,故选C.

V23

【点评】高考试卷中立体几何•般有2道客观题，一道解答题，客观题中球与几何体的切接是

高考热点，此类问题对空间想象能力要求比较高,难度比较大.

【知识链接】

1.几何体的外接球问题关键是确定球心位置,主要方法有:①将几何体还原或补为正方体或长

方体，进而确定球心；②几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的宜线上；③

球心到各顶点的距离都相等；④球心一定在外接球的直径上.

2.求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑：一是根据球的截面的性质，利用球的半径R、

截面圆的半径r及球心到截面圆的距离”三者的关系胆=3+/求.

10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、

丙比赛获胜的概率分别为P”P2，P3,且P3>P2>P|>0.记该棋手连胜两盘的概率为P，则

（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,P最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大

【命题意图】本题考查相互独立事件的概率，考查数学建模与逻辑推理的核心素养,难度：中

等偏难

【答案】D

【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙

及丙甲乙的概率均为巳则此时连胜两盘的概率为P甲

则。甲=j［（1一。2）PlP-3+P2Pl（1-P3）］+g［（1一，3）PlP2+P3Pl（1一P2）］

=P1（P2+P3）-2p】PiP3:

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙，则。乙=P2（Pl+。3）-20。2P3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙，则P丙=〃3（Pl+〃2）-2Plp2P3

则为一。乙=乩（〃2+'3）-2P|P2P3Tp25+〃3）一2〃"3］=（一〃2）“3<0.

P乙一，丙=〃2（Pl+〃3）一2〃/2〃3-[PAP\+〃2）-2Plp2P3]=（〃2一〃3）<°，

即Pi,，<P乙、P乙<，丙，则该棋手在第二盘与内比赛.P最大.选项D正确；选项BC错误；

p与该棋手与甲、乙、内的比赛次序有关.选项A错误.故选D

【点评】本题易错之处无法用相互独立事件及互斥事件准确表示出第二盘与甲（乙或丙）比

赛连胜两盘这个复杂事件,客观题中对概率计算的考查是高考热点，考查频率比较高的是古典

概型、相互独立事件的概率、条件概率等.

【知识链接】对于复杂概率的计算一般要先设出事件，准确地确定事件的性质，把问题化归为

古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是A

+8还是AB事件，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；

最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、〃次独立重复试验的概率公

式求解.

11.双曲线C的两个焦点为片,鸟，以C的实轴为直径的圆记为。，过K作。的切线与C交于

3

MN两点，且cos/片Ng=《，则C的离心率为（）

A.正B.-C.D.

2222

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难

【答案】AC

【解析】依题意不妨设双曲线焦点在*轴,设过片作圆。的切线切点为G,若分别在左

右支，

因为。G_LN6,且cos=g>0,所以N在双曲线的右支，又=。1。周=c,

@娟=乩

|可居|WE2c

没NF,NF,=a.NF,FN=0,在4F、NF,中南」““、=二一，

sinpsm（a+〃）sina

故=工即二一a—q

sin（6Z+/?）-sin/?sinasin（a+/?）-sin/?sina

sinacosp+cosasin/?-sinpsina

，3.0。门b生.4

而cosa=—,sin』二一,cos〃=一，故sma=—,

See5

13

代入整理得到2b=3a，即2=二,所以双曲线的离心率e

a2

\NF\2Cb

同理有L_^?=-----------，其中/为钝角，故cos/?=一一，

sinpsm(a+1)sinac

\NF2\-\NF]2CC

sin〃一sin(a+尸)sinasin/?-sinacosp-cosasinpsina

代入cosa=」.sin£=q.sina=整理得到：—--=—,

5c546+2a4

亚，故选AC.

故a=2b,故e

2

【点评】本题运算量比较大,解题过程有涉及其他知识点，是一道难题，另外本题求解时需要考

虑分别在左右支上、都在左支上两种情况，从备选项中两个结果都有，可以看出命题

者也想到了这两种情况，但单选题不应该有两个答案,不知命题者是如何考虑的.

【知识链接】求椭圆或双曲线的离心率问题的一般思路

求椭圆或双曲线的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,h,c的等式或不等式,

利用a,b,c的关系消去6,构造关于«,c的齐次式,再转化为关于e的方程或不等式，求离心率

或取值范围.

12.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2—x)=5,g(x)-/(%-4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4，则Zf(k)=()

*=i

A.-21B.-22C.-23D.-24

【命题意图】本题考查抽象函数的性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养,难度：难

【答案】D

【解析】因为y=g(x)的图像关于直线X=2对称，所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),

因为/(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x—2)]=5,即/(%)+/(x-2)=-2.

所以/⑶+〃5)+…+"21)=(-2)*5=—10.

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因为/(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以/(2)=—2—/(0)=-3.

因为g(x)—/(尤-4)=7,所以g(x+4)—/(x)=7,又因为/(尤)+g(2-x)=5,

联立得,g(2—x)+g(x+4)=12,取x=-l得2g⑶=12,g⑶=6,因为/(x)+g(x+2)=5,

22

所以/⑴=5—g(3)=—1.所以Z./W=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)+...+〃21)]

k=\

+[/(4)+〃6)+…+〃22)]=_1_3_10_10=_24.故选D.

【点评】以抽象函数为载体,考查函数的对称性、周期性，是近年高考的热点，由于此类问题抽

象思维能力及对逻辑思维能力要求较高,一般-客观题压轴题出现.

【知识连接】关于对称性与周期性的几个结论

⑴若/(X)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=/(a-x)或f(2a-x)=/(x)

⑵若/(X)的图象关于点(a,b)对称，则/(a+尤)+/(a-x)=2b或/(2“-x)+/(x)=2)

(3)若函数/(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于直线X=。对称(ahb)，则/(x)是周

期函数，且2(。—。)是它的个周期.

(4)若函数/(X)的图象既关于点(a,0)对称，又关于点伍,0)对称(a丰。),则/(%)是周期函

数，且2(。一a)是它的一个周期.

(5)若函数/(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于点他,())对称(a则f(x)是周期

函数，且4仅一。)是它的一个周期.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

【命题意图】本题考查古典概型，考查数学建模及数学运算的核心素养.难度：容易

3

【答案】—

10

【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10,甲、乙都入选的方法数为C；=3,所

3

以甲、乙都入选的概率尸=一.

【点评】占典概型是高考高频考点,若作为客观题考查，一般为容易题.

【知识链接】利用古典概型求事件A的概率，关键是要分清基本事件总数〃与事件A包含的

基本事件数，九如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一

列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式P(A)=：求出事件A的概率，注意列举

时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助

两个计数原理及排列组合知识直接计算孙”，再运用公式P(A)=：求概率.

14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

【命题意图】本题考查圆的方程，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：容易

[答案](x—2)2+(y_3)2=]3或(x_2j+(y_l)2=5或(x—g+(,一(='^或

—+(>一1)2=詈(写出其中一个即可)

【解析】解法一：依题意设圆的方程为尤2+尸+瓜+£>+尸=。,若过(0,0),(4,0),(-1,1),

F=Q[F=0

则人6+4。+尸=0，解得(。=一4,所以圆的方程为炉+丁―4》一6卜=0，即

l+l-D+E+F=0[E=-6

(x-2『+(y-3)2=13；

F=0F=0

若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则<16+4。+尸=0，解得《D=-4.

16+4+4£>+2E+F=0E=-2

所以圆的方程为J+V—4x—2y=0,即（x—2）2+（y—l）2=5；

[F=0F=。

Q

若过(0,0),(4,2).(-1,1),则1+1-。+E+尸=0，解得£>=—§,

16+4+4D+2E+F=0..

E=——

I3

所以圆的方程为X?+y2—=0,即(x—g)+(y_g

rL=---1-6-

l+l-D+E+F^05

D=*

若过(-1』),(4,0).(4,2)厕<16+4。+/=0，解得，

5

16+4+4£>+2E+F=0

E=-2

所以圆的方程为X?+y2___x_2y__，=0,即(1_])+(>_])-=5

故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13^(X-2)2+(J-1)2=y

或小|)169

+(yT)~

25

解法二：由于只要求写出其中一个圆的方程，我们写最简单的一个：设

。(0,0),4(4,0),3(4,2),可知。4，相,所以以08为直径的圆就是过点。,48的圆,因为

08中点为(2,1).|AM=26，所以过点QA8的圆的方程为(x—2『+(y—炉=5.

【点评】近两年在填空题中开始出现开放题，此类问题一般答案不唯一，做题时不仅要求答案

正确,还要求用最短的时间写出正确答案，所以思路的选择很关键，不同的思路有时所用时间

相差比较大.

【知识链接】

求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.-一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)儿

何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①

圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时,

切点与两圆圆心三点共线.(2)代数法，即设出圆的方程,用待定系数法求解.大致步骤为：

①根据题意，选择标准方程或•般方程；②根据条件列出关于。力，，或。、£、尸的方程组；

③解出a、b、r或。、E、F代入标准方程或一般方程.

15.记函数/(x)=cos(3X+e)(<y>0,0<°<7i)的最小正周期为T,若/(7)=且，

TT

x=一为/(x)的零点，则o的最小值为.

9

【命题意图】本题考查三角函数的性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难点：中等偏

难

【答案】3

【解析】因为/(x)=cos(s+e).(6y＞0,0＜夕＜兀)所以其最小正周期T=—,因为

CD

2兀

/(T)=cos0)----\-(p=cos(2n+^)=cos(p=,又。＜9＜兀,所以(/)=~，即

co

/(x)=COSCOX+—.

I6广

又％=四为/(X)的零点，所以三啰+乙=殳+而次wZ,解得＜y=3+9k《eZ,因为。＞o,

9962

所以当2=0时/min=3.

【点评】三角函数与解三角形在高考中的高考规律一般是这样的：若解答题中有解三角形试

题,则客观题中一般只有一道相关试题，多为考查三角函数图象与性质的试题,若解答题中没

有解三角形试题，则客观题中一般有3道相关试题,分别考查三角变换、三角函数的图象与性

质、解三角形.

【知识链接】三角函数的极值、零点、对称性是高考热点，其中关于对称性的结论为

/(x)=Asin(s+g)(A0H0)，或/(x)=Acos(azr+。)(AORO)的图象关于直线x=x0对称

＜=＞/(x0)=A或-4；/(x)=Asin(＜yx+(p)^Aa＞0)，或/(x)=Acos(3x+e)(A(o40)的图象

关于点(*。，0)对称=/(x0)=0.

16.已知x=X1和x=4分别是函数/(x)=2相一ef(a＞o且的极小值点和极大

值点.若不＜%，则a的取值范围是.

【命题意图】本题考查导数在研究函数极值中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养,

难度：难

【答案】

【解析】/'(X)=2"Ina—2ex,因为分别是函数"力=2ax-ex2的极小值点和极

大值点，

所以“X)在(Y0,%,)和(看,+30)上递减，在(X|，W)上递增，所以当

》€(—0,占)0(%2，小)时,/'(%)＜。，当兀€(王，X2)吐/'(力＞。,

若时，当x＜0时,21na,优＞0,2ex＜0,则此时/'(力＞0,不满足题意，舍去

若Ovav1时,则方程2屋Ino-2ex=()两个根为芯,电，即方程优In〃=ex的两个根为

X,,x2,

即函数y=a*lna与函数y=ex的图象有两个不同的交点，如图所示：

设过原点且与函数＞=g(x)的图象相切的直线的切点为(%*Ina),则切线的斜率为

r2

g(x0)=a^Ina,

故切线方程为y-a%Ina=a"In?a(x-%),则有一a~Ina=-x()a*In?a.解得/=」一