2023年高考数学复习讲义进阶方案-素养升级练03 复数（解析版）

素养升级练03复数

一、单选题

1.(2021•广东福田•高三月考)已知z=l-i(其中i为虚数单位)，则z传+i)=()

A.-1+iB.3+iC.1-iD.3-i

【答案】B

【详解】

因为z=l-i,z=l+i»

z(z+i)=(l-i)(l+2i)=l+2i-i-2i2=3+i,

故选：B

2.（2021•云南大理•模拟预测（理））已知复数z满足z（l+2i）=|3-可（其中i为虚数单位），则复数z

的虚部为（）

A.-2B.-2iC.1D.i

【答案】A

【详解】

22

解：因为z（l+2i）=|3—4i|,|3-4i|=j3+（-4）=5,所以z（l+2i）=5,所以

z=^=-20zZ0_=2Oil=1.2i

i+2i（i+2i）（i-2i）r一⑵y

所以复数z的虚部为-2；

故选：A

3.（2021•河北石家庄•高三月考）设i为虚数单位，复数z满足（3+4i）z=25,则在复平面内z对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【详解】

由题意，（3+4i）z=25

2525(3-4i)

故2==3-4i

3+4i(3+4i)(3-4i)

在复平面内z对应的点为（3,-4）,位于第四象限

故选：D

4.（2021•广东•福田外国语高中高三月考）若复数z满足（l+i）z=|l+i|,贝IJz的虚部为（）

A.-x/2iB._近C.--zD.--

22

【答案】D

【详解】

由(i+i)z=n+ii=JL

组7272(1-i)720.

1+i(l+i)(l-i)22

・・・z的虚部为一也.

2

故选：D

5.(2021•上海市吴淞中学高三月考)已知z=a+bi(eR,i是虚数单位)，zwC,定义£>(z)=||z||=同+网,

ZXZ1,Z2)=||Z1-Z2||,给出下列命题：

(1)对任意的zeC,都有D(z)>0；

(2)若2是复数z的共丽复数,则。Q)=D(z)恒成立；

(3)若力(Z[)=£>(Z2)(Z1,Z2eC),则zf；

(4)对任意4*2*3eC,结论。(z”Z3)4。缶*2)+。(22*3)恒成立.

其中真命题是()

A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)

【答案】D

【详解】

对于(1)：由定义知，当z=O时，D(z)=O,故(1)错误

对于(2)：由题意得三="〃，所以a刁=r>(z)=M+M|,故(2)正确；

对于(3)：若。伍)=。(22)(4,22€0,则两个复数实部、虚部可以相等，也可以相反，无法得到Z|=Z2，故

(3)错误；

对于(4)：设Z|=a+/?i,Z2=c+di,Z3=e+/,

则O(Z|,z2)=||(«-c)+(6-4)i|=|a-c|+\b-d\,

同理£>(423)=||("0)+出_/川|=卜_@+b一力，D(z2,z3)=||(c-e)+(J-/)i||=|c-e|+p-,

X|a-e|=|(a-c)+(c-e)|<|a-c|+|c-e|,\b-f\=\(b-d)+(d-f)\<\b-d\+\d-f\,

所以。(Z1,Z3)4£)(Z],Z2)+D(Z2，Z3)恒成立,故(4)正确.

故选：D

6.(2021•陕西汉中•高三月考(文))设复数4,z2满足团=闾=1,z-Z2=-；+日i,则W+Z2|=()

A.1B.；C.—D.V3

22

【答案】D

【详解】

由题设，|ZI―2F=(Z1-Z2)(Z1-Z2)=Z|ZI-24-ZIZz+Z2Z2=1,又|=㈤=1,

Z,Z,+Z,Z2=1,而|Zj+Z,|-=(Zj+z2)(z(+z2)=z1zl+z2zt+ztZ2+Z2Z,,

2

|Zj+z2|=3,故h+Zz|=\/5.

故选：D

7.(2021•安徽•高三开学考试(文))对于任意复数z和其共粗复数1,下列叙述错误的是()

A.|z+l|=|z-HB.|z+i|=|z-i|

C.|z+(l+i)|=|z+(l-i)|D.|z(l+i)|=|z(l-i)l

【答案】A

【详解】

设z=a+bi(a,beR),则

A选项中，|z+l|=7(a+l)2+^2,|z-l|=y](a-\)2+b2.所以|z+l同£-1|,故A错误

B选项中，|z+i|=^2+(&+1)2,|z-i|=^a2+(-fo-l)2,所以|z+i|=|W-i|,故B正确

C选项中，|z+(l+i)|=J(++l)2+°+])2,|「+(l_i)|=J(++l)2+(_"_l)2,所以|z+(i+i)|=|』+(i-i)|,故c

正确

D选项中，z(l+i)=(a+&i)(l+i)=(a-Z>)+(«+£>)i

z(l-i)=(a-Zn)(l-i)=(a-&)-(a+h)i,所以

Iz(l+i)|=|z(l-i)|=+(a+1)2>故D正确

故选：A

8.(2021•重庆•三模)若复数z满足|z-1+”=|1-2(其中，为虚数单位，则z对应的点(％y)满足方

程()

A.(x-l)2+(y+l)2=>/5B.(X-1)2+(J+1)2=5

C.(x+l)2+(>>-l)2=V5D.(x+l)2+(y-l)2=5

【答案】B

【详解】

设z=x+yi(x,yeR),代入+=|1-2#得：(x-l)2+(y+l『=5.

故选：B

二、多选题

9.(2021•福建•高三月考)若实数X,丁满足(x+i)(3+M)=2+4i,则()

A.1+M的共物复数为1-iB.xy=\

C.Iy+i|的值可能为加D.y-3x=-2

【答案】BCD

【详解】

因为(x+i)(3+yi)=(3x-y)+(3+盯)i=2+4i.

所以3x-y=2,3+盯=4,

3

g|Jy-3x=-2,xy=\,则y---=-2.解得y=1或y=-3,

y

故A错误，B,C,D均正确.

故选：BCD.

10.(2021•全国•高三专题练习)设4,Z2是复数，则下列命题中的真命题是()

A.若区一马卜。，则钎马

B.若4=马,则Z]=Zz

C.若则Z/Z]=Z2-Z2

D.若匕卜㈤,则Z；=z；

【答案】ABC

【详解】

对于A,因|Z|-Z2l=O,则ZI-Z2=O,即4=z2,则Z1=Zz为真，A正确；

对于B,因4=[,则臼和Z2互为共挽复数，则I=为真，B正确：

对于C,设马=4+0",Z2=4+怎，4,4，见也wR,因IZIRZJ,则亚=如+氏,B|1a；+bf=aj+b；,

abzz-z=z,z

「是得z「Z1=(q+4>(4一4i)=a：+月=W+以=(«2+^2*),(2~2*)=z2,2'则ii22为真,C正确;

对于D,当％=l,Z2=i,有|々|=匕|,而z；=l,z；=-l,即z；=z；为假，D不正确.

故选：ABC

11.(2021•全国•高三专题练习)已知i为虚数单位，则下面命题正确的是()

A.若复数z=3+i,则L

z1010

B.复数z满足|z—2i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则f+(y_2『=l.

C.若复数4，Z2满足4=Z，则z'NO.

D.复数z=—3i+l的虚部是1.

【答案】ABC

【详解】

113-i3-i3i

对于A,因为z=3+i,所以一―7=——所以A正确，

z3+1(3+i)(3-i)101010

对于B,因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以z—2i=x+(y-2)i,因为|z—2i|=l,所以V+(>—2)?=1,

所以B正确，

对于C,令z?=〃+为R),因为Z1，所以Z1=a-沅，所以z,=(。-bi)(a+bi)="2+〃>0,

所以C正确，

对于D,复数z=-3i+l的虚部为-3,所以D错误，

故选：ABC

12.(2021•江苏如皋•高三月考)i是虚数单位，下列说法中正确的有()

A.已知复数满足z(l+i)=3+4i,则忖=半

B.“zwR”的充要条件是“z=|z|"

C.若复数z=〃+ai(aeR),则z不可能是纯虚数

D.若复数满足z2=3+4i,则z对应的点在第一象限或第三象限

【答案】ACD

【详解】

A3+4i(3+4i)(l+i)17.

对于A,Z=-—=---------=--+-!，

1+i222

所以|z|=J(T+g)2=乎,A正确；

对于B,当z=-l时，满足zeR，但是不满足Z=|z|,B不正确：

对于C,若复数z=a+ai(aeR)为纯虚数，则，无解，

所以z不可能是纯虚数，C正确；

对D,设z="+历(a,beR),(a+/?i)'=a2—b2+2abi=3+4ij之或("2,

[2ab=4[Z?=l[b=-l

所以z=2+i或z=-2—i,D正确

故选：ACD

三、填空题

13.(2021♦上海模拟预测)己知a是实系数一元二次方程V-(2机-Dx+苏+1=0的一个虚数根,且|a区6,

若向量a=(2帆-1,3-加),则向量臼的取值范围为

,行「£5加1

【答案】V5,——

L4)

【详解】

不妨设a=a+/?i,a=a-b\，

因为a是实系数一元二次方程炉-（2加-1次+〃22+1=。的一个虚数根，

所以a也是九2_（26-1）工+"[2+1=0的一个虚数根，

从而aa="+/=|a|2=m2+l＜5①，

又因为”?-（2加-1）%+/+1=0无实根,

所以△=[-（2^-1）]2-4（"/+1）＜0②，

3

由①②可得，一二＜小（2,

4

因为"=（2加一1,3一6）,所以|a2=（2加一1）2+（3-加了=5（机—1）2+5,

由一元二次函数性质易知，

37325

当m=1时，|〃|2有最小值5；当zn=一:时,|a|2="-；当m=2时，立|2=]0,

4Io

故当一＜加42时，5＜|«|2＜^,即右4|力（独1,

4164

故向量|a|的取值范围为：＞/5,—j.

故答案为：[君，浮

14.（2021•重庆一中高三月考）设复数z满足|z|=|z-2-2，|,则目的最小值为.

【答案】V2

【详解】

设2=。+历（a,bwR）,

则…卜卜_2+0-2川,

即yla2+h2=2）2+（1-2）2,可得Y+〃=（“-2）2+仅一2）2

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