2023年广东省佛山市第四中学中考数学质检模拟试卷

2023年广东省佛山四中中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

1.（3分）0,-1,-1,&这四个数中，最小的数是（）

2

A.-1B.C.0D.V2

2

2.（3分）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（）

3.（3分）我国古代数学家祖冲之推算出TT的近似值为里它与口的误差小于0.0000003.

113

将0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A.3X10〃B.0.3X10-6C.3XI0-6D.3X107

4.（3分）不透明的袋子中装有1个红球,3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机

摸出一个球，恰好是红球的概率是（）

C.AD.3

24

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.2X2+A^=2JC4B.J?*X3=2X3C.（x5）2=x7D.2%7-=2?

6.（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线。、匕上，已知/2=35°,则N1的度

数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.（3分）如图，在△ABC中，NBAC=50°,ZC=25°,将ZiABC绕点A逆时针旋转a角

度（0°<a<180°）得到△ADE.若。E〃A8,贝Ua的值为（）

E

B

D

AC

A.65°B.75°C.85°D.95°

8.（3分）点A（1,yi）,B（3,”）是双曲线（k<0）上的两点，那么V，”的大小

x

关系是（）

A.y\>y2B.y\=y2C.y\<y2D.不能确定

9.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点人在天轴负半轴上，点8在），轴正半轴上，OD

经过A,B,0,C四点，ZACO=120°,45=4,则圆心点。的坐标是（）

C.(-1,V3)D.(-2,2«)

10.（3分）如图，四边形ABC。是边长为2c加的正方形，点E,点尸分别为边AO,CD中点,

点。为正方形的中心，连接OE,OF,点尸从点E出发沿E-O-F运动，同时点。从点3出

发沿BC运动,两点运动速度均为15心，当点P运动到点朋，两点同时停止运动，设运

动时间为巴连接5P,PQ,尸。的面积为下列图象能正确反映出S与f的函数关

B.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）

11.（3分）函数y=-2—的自变量x的取值范围是.

x-3

12.（3分）计算:（兀八后）°=--------

13.（3分）若mb为实数，且满足|“+20|+也-23=0,则a+6的值为.

14.（3分）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=l：2,如果它把物体送到离地面

10米高的地方，那么物体所经过的路程为米.

15.（3分）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,E是矩形内部的一个动点，HAE±BE

,则线段CE的最小值为.

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分.）

‘5x>3xT

16.（8分）解不等式组：，x+2-x-5-

17.（8分）目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三

（3）班数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度

分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对）.并将调查结果绘制成频数折线

统计图1和扇形统计图2（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

-U--------!----------------!~>

ABCD态度

(1)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数为度，并将图1补充完整；

(2)根据抽样调查结果，请你估计该校11000名中学生家长中持反对态度的人数.

18.(8分)如图，RtZ\ABC中，NACB=90°,CDrAB^D.

(1)尺规作图：作NCBA的角平分线，交CD于点、P,交AC于点Q(保留作图痕迹，不写

作法)；

(2)若/A4C=46°,求NCPQ的度数.

AN

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分.)

19.(9分)经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、

乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共

需70元.

(1)求甲、乙两种奖品的单价；

(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一

半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

20.(9分)如图，AC为平行四边形A8C£＞的对角线，点E,尸分别在A8,AO上，AE=AF,

连接E尸，AC1EF.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)连接80交AC于点O,若E为AB中点，BD=4,tan/ABD=^，求OE的长.

21.（9分）如图，在矩形0A8C中，0A=3,AB=4,反比例函数y=&（k〉0）的图象与

x

矩形两边钻、BC分别交于点。、点E,且BD=2A。.

（1）反比例函数的解析式；

（2）若点尸是线段0C上的一个动点，是否存在点P,使NAPE=90°?若存在，求出此

时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

yk\

--

Cx

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分.）

22.（12分）如图，A8是。。的直径，弦COLAB,垂足为〃，连接AC,过俞上一点E作EG

〃AC交CO的延长线于点G,连接AE交C£＞于点F,且EG=FG,连接CE.

（1）求证：AECFs4GCE；

（2）求证：EG是。。的切线；

（3）延长钻交GE的延长线于点M,若tan/G=2,AH=3,求EM的值.

轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点。使QB+QC最小？若存在，请求出。点坐标；若不

存在，请说明理由；

(3)点尸为4c上方抛物线上的动点，过点尸作PCAC,垂足为点Q,连接PC,当△PC。

2023年广东省佛山四中中考数学质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

1.（3分）0,-1,-1,&这四个数中，最小的数是（）

2

A.-1B.-XC.0D.V2

2

【分析】正数大于0,负数小于0,正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而

小.

【解答】解：；-l<-2<0<我,

2

二最小的数是-1.

故选：A.

2.（3分）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（）

【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的的方法，同层隔一面判断即可.

【解答】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心.

故选:B.

3.（3分）我国古代数学家祖冲之推算出n的近似值为空■,它与n的误差小于0.0000003.

113

将0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A.3X10-7B.0.3X10-6C.3X106D.3X107

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX10,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3X10"；

故选：A.

4.（3分）不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机

摸出一个球，恰好是红球的概率是（）

A.AB.Ac.AD.3

4324

【分析】直接由概率公式求解即可.

【解答】解：从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率匙L口，

1+34

故选：A.

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.B.x''x'—lx'C.（x5）2=/D.2^

【分析】直接利用合并同类项法则以及累的乘方运算法则、同底数基的乘除运算法则分

别计算得出答案.

【解答】解：A、2?+）=3/，故此选项错误；

B、x3,x3=x6,故此选项错误；

C、（金）2=”，故此选项错误；

D、2x7-?Jt5=2x2,正确.

故选：D.

6.（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知42=35°,则N1的度

数为（）

【分析】根据/4=90°,Z2=350求出N3的度数，根据平行线的性质得出/1=/3,

代入即可得出答案.

【解答】解：如图：

,23=180°-90°-35°=55°,

'：a//b,

二/1=/3=55°.

故选：C.

7.（3分）如图，在△A8C中，ZBAC=50°,NC=25°,将△ABC绕点A逆时针旋转a角

度（0°<a<180°）得到△%£）£.若。E〃A8,贝ija的值为（）

E

A.65°B.75°C.85°D.95°

【分析】根据三角形内角和定理求出NA8C,根据旋转得出NED4=NA3C=120°,根

据平行线的性质求出NOA8即可.

【解答】解：在5c中，ZBAC=50°,ZC=25°,

・・・NA8C=1800-NBAC-NC=180°-50°-25°=105°,

•・,将△ABC绕点A逆时针旋转a角度(0<a<180°)得至Ij/XADE,

.•・N4OE=NABC=105°,

*：DE〃AB,

・・・NADE+ND48=180°,

：.ZDAB=\S0°-ZADE=15°,

，旋转角a的度数是75°,

故选:B.

8.(3分)点A(1,ji),B(3,")是双曲线y」上(k<0)上的两点，那么yi，”的大小

X

关系是()

A.y\>yiB.y\=yiC.yi<yiD.不能确定

【分析】根据反比例函数的性质即可得到答案.

【解答】解：-：k<0,

...双曲线y1"(kCo)在第二、四象限，

X

・••在第四象限，y随X的增大而增大，

•.,点A(1,yi),B(3,72)是双曲线y工.(k<0)上的两点，且1<3,

x

•'•yi<y2-

故选：C.

9.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在)，轴正半轴上，。£)

经过4,B,O,C四点，NACO=120°,48=4,则圆心点。的坐标是()

A.(V3,1)B.(-V3,1)C.(-1,M)D.(-2,2V3)

【分析】先利用圆内接四边形的性质得到NA8O=60°,再根据圆周角定理得到AB为

。。的直径，则。点为A8的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到08=2,

04=蓊，所以A(-2V3,0),B(0,2),然后利用线段的中点坐标公式得到。点

坐标.

【解答】解：...四边形ABOC为圆的内接四边形,

AZABO+ZACO=iSOQ,

，NABO=180°-120°=60°,

VZAOB=90°,

为的直径，

二。点为AB的中点，

在RtZ\ABO中，NA8O=60°,

.•.O8=LB=2,

2

.\OA=y/3OB=2>/3

(-2V3,0),H(0,2),

二。点坐标为(-5巧，1).

故选：B.

10.(3分)如图，四边形ABCZ)是边长为2cm的正方形，点E,点尸分别为边AZ),C。中点，

点。为正方形的中心，连接OE,OF,点尸从点E出发沿E-O-F运动，同时点。从点8出

发沿BC运动,两点运动速度均为15而，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运

动时间为$连接BP,PQ,ABP。的面积为Sc”,，下列图象能正确反映出S与f的函数关

系的是()

【分析】分OWrWl和l<fW2两种情形，确定解析式，判断即可.

【解答】解：当0WW1时,

•••正方形ABCQ的边长为2,点。为正方形的中心，

直线EO垂直BC,

.•.点P到直线BC的距离为2-t,BQ=t,

当1V/W2时,

•.,正方形A8CO的边长为2,点E,点尸分别为边43,C。中点，点。为正方形的中心,

直线。尸〃BC,

...点尸到直线BC的距离为1,BQ=t,

故选

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）

11.（3分）函数v=2的自变量x的取值范围是x#3的一切实数

x-3

【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0,可知：X-3W0,解得X的范围.

【解答】解：x-3W0,

解得：#3.

12.（3分）计算：f1）T-（兀奇。

【分析】分别根据零指数暴，负整数指数幕的运算法则计算，然后根据实数的运算法则

求得计算结果

【解答】解：原式=2-1

=1.

故答案为：1.

13.（3分）若a,b为实数，且满足|“+20|+也-23=0,则的值为3.

【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数的性质列出方程求出4、6的值，代入所求代

数式计算即可.

【解答】解：♦.%,〃为实数，且满足|〃+20|+诟函=0,|a+20|20,yb-23答0,

."20=0,6-23=0,

解得：a=-20,b=23,

：.a+b^-20+23=3.

故答案为：3.

14.（3分）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=l：2,如果它把物体送到离地面

10米高的地方，那么物体所经过的路程为_10A后一米.

【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案.

.•.1.—-A--E-二--1,

BE2

.,.BE=20米，

在RtzviBE中，AB=VAE2+BE2=IOV5（米），

故答案为：1道.

15.（3分）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,E是矩形内部的一个动点，HAE±BE

【分析】由知点E在以AB为直径的半。。上，连接CO交。。于点E',当点E位于

点E'位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案.

...点E在以AB为直径的半上，

连接C。交。。于点E',

当点E位于点E'位置时，线段CE取得最小值，

'：AB=2,

：.OA=OB=OE'=1,

；BC=3,

oc=VBC2-tOB2=V32+12=>^'

则Ce=OC-OE'=VIo-1.

故答案为：J记-1.

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分.）

‘5x>3x-l

16.（8分）解不等式组：［x+2^x-5-

__2_6-

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式5x〉3x-1得：x^-1,

2

解不等式三2_2〈三■得：x<3,

36

则不等式组的解集为-2Wx<3.

2

17.（8分）目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三

（3）班数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度

分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对）.并将调查结果绘制成频数折线

统计图1和扇形统计图2（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

------------------!_►

BC。态度

（1）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数为度，并将图1补充完整；

（2）根据抽样调查结果，请你估计该校11000名中学生家长中持反对态度的人数.

【分析】（1）根据选择B的人数和B所占的百分比，可以求得此次抽样调查中，共调查了

多少名中学生家长；根据扇形统计图中的数据和总人数可以得到选择4和C的人数，然

后即可计算出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；

（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出我校11000名中学生家长中有多少名家长持

反对态度.

【解答】解：（1）404-20%=200（名），

选择A的学生有：200X15%=30（人），

选择C的学生有：200-30-40-120=10（人），

图1

图2中扇形C所对的圆心角的度数为：360°X」2_=18°,

200

即图2中扇形C所对的圆心角的度数为18°,补充完整的图1如右图所示;

（2）11000X60%=6600（名），

即我校11000名中学生家长中有6600名家长持反对态度.

18.(8分)如图，RtZXABC中，ZACB=90°,C£»_LAB于。.

（1）尺规作图：作NCBA的角平分线，交CD于点P,交AC于点。（保留作图痕迹，不写

作法）；

(2)若NBAC=46°,求/CP。的度数.

【分析】（1）根据要求作出图形即可;

（2）求出/ABQ,ZDPB,可得结论.

【解答】解：⑴如图，8Q即为所求;

(2)VZACB=90°,/B4C=46°,

.,.ZCBA=44°,

•.•8。平分/（7A1,

.'.ZABQ^lzCBA-22°,

'：CD±AB,

：.ZBDC^90°,

:.NDPB=90°-22°=68°,

:./CPQ=4DPB=68°,

即NCPQ的度数为68°.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分.）

19.（9分）经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、

乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共

需70元.

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一

半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据“I件甲种奖品和2

件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x,y的二

元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种奖品的单价；

（2）设购买甲种奖品，"件，则购买乙种奖品（60-〃?）件，根据购买甲种奖品不少于乙

种奖品的一半，即可得出关于，〃的一元一次不等式，解之即可得出〃?的取值范围，设该

中学购买60件奖品的总费用为w元，利用总价=单价X数量，即可得出卬关于相的函数关

系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.

【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，

依题意得：卜+2y=40,

I2x+3y=70

解得：（x=20.

ly=10

答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元.

（2）设购买甲种奖品小件，则购买乙种奖品（60-〃?）件，

依题意得：（60-m）,

2

解得：,w220.

设该中学购买60件奖品的总费用为w元，则w=20m+10（60-M）=10m+600,

V10>0,

卬随的增大而增大，

.•.当m=20时，卬取得最小值，最小值=10X20+600=800,止匕时60-,"=40.

答：当购买甲种奖品20件、乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元.

20.（9分）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E,尸分别在AS,ADt,AE=AF,

连接E尸，ACLEF.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）连接80交AC于点O,若E为A8中点，8/）=4,tan/ABD^，求OE的长.

【分析】（1）由平行四边形的性质得NCA£>=NAC8,再证/8AC=ND4C,得△4BC

为等腰三角形即可得出结论；

(2)由菱形的性质得。4=0C,OB=OD=BD=2,ACLBD,再由锐角三角函数定义得

OA=XOB=\,则然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.

2

【解答】(1)证明：•；AE=AF,

NAEF=NAFE,

'：AC±EF,

：.NBAC=ZDAC,

•••四边形ABC。是平行四边形，

：.ZCAD^ZACB,

：.ZBAC=ZBCA,

.•.△ABC为等腰三角形，

：.BA=BC,

四边形A3C£)是菱形；

•.,四边形A8CQ是菱形，80=4,

：.OA=OC,0B=0D=LBD=2,AC1.BD,

2

AZAOB=90°,

'：tanZABD=^=^,

OB2

.'.OA=—OB—l,

2

•••AB=VOA2-K)B2=Vl2+22=娓'

若E为AB的中点，

贝IJOE=」AB=返.

22

21.(9分)如图，在矩形O4BC中，0A=3,AB=4,反比例函数y=&(卜〉0)的图象与

矩形两边48、BC分别交于点。、点E,且8D=2AD

(1)反比例函数的解析式；

(2)若点P是线段0C上的一个动点，是否存在点P,使NAPE=90°?若存在，求出此

时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

%

PCx

【分析】（1）由矩形。ABC中，AB=4,BD=2AD,可得349=4,即可求得4）的长，然

后求得点。的坐标，即可求得人的值；

（2）首先假设存在要求的点P坐标为（相，0）,OP=in,CP=4-m,由NAPE=90°,

易证得△AOPsapcE,然后由相似三角形的对应边成比例，求得胆的值，继而求得此

时点P的坐标.

【解答】解：（1）；AB=4,BD=2AD,

：.AB=AD+BD^AD+2AD^3AD=4,

：.AD=^-,

3

又：04=3,

：.D（A,3）,

3

♦.•点。在双曲线y=K上，

X

"=_ix3=4,

3

•*.y=—；

x

（2）假设存在要求的点尸坐标为Gn,0）,0P=m,CP=4-m.

•.•/APE=90°,

AZAPO+ZEPC=90°,

又,.♦/APO+NOAP=90°,

NEPC=ZOAP,

又,.,/AOP=/PCE=90°,

△AOPsapcE,

••.-O-A~-O-P-,

PCCE

•・--3--二—m，

4-m1

解得："2=1或团=3,

，存在要求的点尸，坐标为（1,0）或（3,0）.

五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分.)

22.(12分)如图，A8是。。的直径，弦COLAB,垂足为〃，连接AC,过俞上一点E作EG

〃AC交CO的延长线于点G,连接AE交C£＞于点F,且EG=FG,连接CE.

(1)求证：AECFS^GCE；

(2)求证：EG是。。的切线；

(3)延长交GE的延长线于点若tanNG=3,AH=3,求EM的值.

【分析】(1)由AC〃EG,推出NG=/ACG,由ABLCO推出第=/，推出NCEF=

ZACD,推出/G=/CER由此即可证明；

(2)欲证明EG是。。的切线只要证明EGLOE即可；

(3)连接0C.设。0的半径为人在RtZ\OCH中，利用勾股定理求出r,证明△AHCs4

MEO,可得迎=思，由此即可解决问题.

EM0E

：.ZG=ZACG,

"：ABLCD,

・・・AD=AC，

AZCEF=ZACD,

:.NG=NCEF,

VZECF=/ECG,

:.△ECFs'CE.

(2)证明：如图2中，连接。底,

图2

■:GF=GE,

：./GFE=NGEF=NAFH,

♦：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

VZAFH+ZFAH=90°,

：.ZGEF+ZAEO=90°,

AZGEO=90°,

.\GE±OE,

是。。的切线.

图3

在RlZ\AHC中，tan/AC”=tanNG=^,

HC

V>4/7=3,

:・HC=4.

在RtZV/OC中，VOC=r,0H=r-3,HC=4,

(r-3)2+42=，,

•・25•r-

6

■:GM〃kC,

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；•EM=^-

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23.(12分)如图，已知抛物线y=ax24x+c与x轴交于点A(-4,0),8(1,0),与y

轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式：

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点。使。8+QC最小？若存在，请求出。点坐标；若不

存在，请说明理由；

(3)点尸为AC上方抛物线上的动点，过点尸作PO_L4C,垂足为点。，连接PC,当APCD

(2)作点B关于对称轴对称的点B',连接B'C交对称轴于一点即为Q；

(3)当与△ACO相似时，则△PCOs/^CAO或△PCOs/^ACO,故分分类讨论即

可：①若△PCDsaCAO,则NPCC=NCA。，可推出点尸的纵坐标与点C的纵坐标相

同，由点P为AC上方抛物线上的动点，得关于x的一元二次方程，求解并作出取舍则可

得答案；②若△PC£>S/\ACO,则/PCQ=NAC。，F2=里，过点A作AC的垂线，交

AOC0

CP的延长线于点G,过点G作轴于点”，判定△GACSZ\PQC,/\GHA^/\AOC,

由相似三角形的性质得比例式，解得点G的坐标，从而可得直线CG的解析式，求得直线

CG与抛物线的交点横坐标，再代入直线CG的解析式求得其纵坐标，即为此时点P的坐

标.

【解答】解：(1)♦抛物线产ar2-与x轴交于点A(-4,0),8(1,0),

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16a--X(-4)+c=0

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