非hermie正稳定矩阵的刻画

非hermie正稳定矩阵的刻画

众所周知，对哈雷特回归矩阵的研究在理论和应用上都相对成熟。1985年，霍尼、r.a和约翰逊（c.r.r）考虑到不规则矩阵的修正，在他的作品《magnetanalysis》中给出了不规则矩阵的定义，但没有进行进一步的证明和研究。然后，关于不规则矩阵的研究继续有一些结果。然而，从整体上看，这项工作是一项不太可能的工作。在这项工作中，我们主要讨论了不规则矩阵与正稳定矩阵之间的关系。在正稳定矩阵的划分条件中，排除了对矩阵哈希特属性的要求，并改进了这些划分条件。1半正稳定矩阵及近自然恢复矩阵定义1设A∈Cn×n,若对任意x∈Cn,x≠0,皆有Re(x*,Ax)>0(Re(x*Ax)≥0)则称A为正定矩阵(半正定矩阵).定义2设A∈Cn×n,λi∈λ(A),i=1,…,n,若Re(λi)>0(Re(λi)≥0),则称A为正稳定矩阵(半正稳定矩阵).引理1设A∈Cn×n为非Hermite正定矩阵,则Re(λi)>0,i=1,…,n.引理2设A∈Cn×n为非Hermite矩阵,则A为正定矩阵的充要条件是A*,A+A*为正定矩阵.引理3设A∈Cn×n,则(1)A为正稳定矩阵的充要条件是存在Hermite正定矩阵M∈Cn×n,使得H=MA+A*M是Hermite正定矩阵.(2)若存在Hermite矩阵M∈Cn×n,使MA+A*M=H是Hermite正定矩阵,则A为正稳定矩阵的充要条件是M为正定矩阵.2g>定理1设A∈Cn×n,则A为正稳定矩阵的充要条件是A+I非奇异,且矩阵G=(A+I)-1(A-I)或G=(A-I)(A+I)-1为收敛矩阵.证明充分性设λ=a+bi为A的任一特征值,由A+I非奇异知,-1不是A的特征值,故λ≠-1.于是1λ+11λ+1有意义,且λ-1λ+1λ−1λ+1为G=(A+I)-1(A-I)的特征值,又因G为收敛矩阵,故|λ-1λ+1|≤ρ(G)<1∣∣λ−1λ+1∣∣≤ρ(G)<1,把λ=a+bi代入此不等式,得到a>0,即A的特征值的实部为正,从而A为正稳定矩阵.同理可证G=(A-I)-1(A+I)的情况.必要性设A的特征值的实部为正,则-1不是A的特征值,从而A+I非奇异.由G=(A+I)-1(A-I)得到I+G=A(I-G),A=(I+G)(I-G)-1而I-G=I-(A+I)-1(A-I)=2(A+I)-1,故I-G可逆.设λ为G的任一特征值,由I-G可逆知,λ≠1,故1λ-11λ−1有意义,且1+λ1-λ1+λ1−λ为A的特征值.若设λ=m+ni,由A的特征值实部为正得到m2+n2<1,从而|λ|=√m2+n2<1|λ|=m2+n2−−−−−−−√<1,故ρ(G)<1,即G为收敛矩阵.定理2设A∈Cn×n,A+I非奇异,则A为正稳定矩阵的充要条件是存在正定矩阵W(不要求为Hermite矩阵),使W-G*WG为正定矩阵.其中G如定理1所给.证明充分性由定理1知,只需证明ρ(G)<1.设λ为G的任一特征值,0≠x为G的对应于λ的特征向量,则Gx=λx,x*G*=ˉλx*‚x*(W-G*WG)x=x*Wx-x*G*WGx=x*Wx-λˉλx*Wx=(1-|λ|)x*Wx,Gx=λx,x∗G∗=λ¯x∗‚x∗(W−G∗WG)x=x∗Wx−x∗G∗WGx=x∗Wx−λλ¯x∗Wx=(1−|λ|)x∗Wx,Re(x*(W-G*WG)x)=(1-|λ|)Re(x*Wx)由W,W-G*WG为正定矩阵,故Re(x*(W-G*WG)x)>0,Re(x*Wx)>0,故1-|λ|2>0,|λ|<1,从而ρ(G)<1,再由定理1知,A为正稳定矩阵.必要性设A为正稳定矩阵,即A的所有特征值的实部为正,则由定理1知,G为收敛矩阵.即Gm→0,(m→∞),因(G*)m=(Gm)*,故(G*)m→0(m→∞).令W=I+G*G+(G*)2G2+…+(G*)mGm+…(*)下证此矩阵级数绝对收敛.我们考虑级数(*)的通项的范数‖(G*)mGm‖,由谱半径的性质与范数的关系知,ρ(G)=limm→∞m√∥Gm∥ρ(G)=limm→∞∥Gm∥−−−−−√m,而G为收敛矩阵,故ρ(G)<1.于是由极限定义,存在ε>0和正整数M1,使当m≥M1时,有m√∥Gm∥<ρ(G)+ε∥Gm∥−−−−−√m<ρ(G)+ε,即‖Gm‖<(ρ(G)+ε)m,又因ρ(G*)=ρ(G),故存在正整数M2,使当m≥M2时,有‖(G*)m‖<(ρ(G)+ε)m.取m>M=max{M1,M2},有‖(G*)mGm‖≤‖(G*)m‖‖Gm‖<(ρ(G)+ε)2m,由ρ(G)+ε<1知,∞∑m=1(ρ(G)+ε)2m∑m=1∞(ρ(G)+ε)2m收敛,从而∞∑m=1∥(G*)mGm∥收敛.又由于单位矩阵I正定,而对每个自然数m,矩阵(G*)mGm=(Gm)*Gm半正定,从而W为正定的.且W-G*WG=I+G*G+(G*)2G2+…-G*(I+G*G+(G*)2G2+…)G=I+G*G+(G*)2G2+…+(G*)mGm+…-G*G-(G*)2G2-…-(G*)mGm-…=I也为正定的.定理3设A∈Cn×n,若存在正定矩阵M(不要求为Hermite矩阵),使H=MA+A*M半正定,则A是半正稳定的.证明定义S=MA-A*M,则H+S=2MA.设λ是A的任一特征值,0≠x是A的对应于λ的特征向量.则Ax=λx,2MAx=2λMx.故2λMx=2MAx=(H+S)x=Hx+Sx两边左乘x*,得2λx*Mx=x*Hx+x*Sx,(1)而x*Sx=x*(ΜA-A*Μ)x=x*ΜAx-x*A*Μx=λx*Μx-ˉλx*Μx,(2)结合(1),(2)得(λ+ˉλ)x*Μx=x*Ηx,即2Reλ·x*Mx=x*Hx.从而有2Reλ·Re(x*Mx)=Re(x*Hx),由M正定,H半正定知,Re(x*Mx)>0,Re(x*Hx)≥0,故Reλ≥0,即A是半正稳定的.定理4设A∈Cn×n,则A为正稳定的充要条件是存在正定矩阵T∈Cn×n(不要求为Hermite矩阵),使得TA+A*T是正定矩阵.证明充分性设λ为A的特征值,0≠x为A的对应于λ的特征向量.则Ax=λx‚x*(ΤA+A*Τ)x=x*ΤAx+x*A*Τx=λx*Τx+ˉλx*Τx=(λ+ˉλ)x*Τx=2Reλ⋅x*Τx,故Re(x*(TA+A*T)x)=2Reλ·Re(x*Tx).由T,TA+A*T是正定矩阵知Re(x*Tx)>0,Re(x*(TA+A*T)x)>0因此有Reλ>0.故A为正稳定矩阵.必要性由引理3的(1)即得.定理5设存在矩阵S∈Cn×n,使SA+A*S为正定矩阵,则A为正稳定矩阵的充要条件是S为正定矩阵.证明充分性由定理4即可得出.必要性令N=S+S*,则N为Hermite矩阵.由SA+A*S为正定矩阵和引