解答题题型突破三数列

解答题题型突破三数列对应学生用书第116页与数列有关的比较大小问题(1)已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4,①数列中有多少项是负数?②当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)已知数列{an},若an=n2+kn+4,且对于n∈N*,都有an+1>an成立,求实数k的取值范围.解析(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N*,所以n=2,3,所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.②因为an=n2-5n+4=n-522-94又n∈N*,所以当n=2或n=3时,an取得最小值,最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,解得k>-1-2n.又n∈N*,所以k>-3.故实数k的取值范围是(-3,+∞).点拨求解数列中的一些不等关系问题,利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应函数的单调性比较大小.【突破训练1】已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·1011n,解析因为an+1-an=(n+2)·1011n+1-(n+1)·1011n=1011n×9-n11,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<a与数列有关的恒成立问题已知等差数列{an}满足a6=6+a3,且a3-1是a2-1,a4的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1(n∈N*),数列bn的前n项和为Tn,求使Tn解析(1)设等差数列an的公差为d因为a6-a3=3d=6,所以d=2,所以a3-1=a1+3,a2-1=a1+1,a4=a1+6,因为a3-1是a2-1,a4的等比中项,所以(a3-1)2=(a2-1)·a4,即(a1+3)2=(a1+1)(a1+6),解得a1=3.所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)由(1)得bn=1anan+1所以Tn=b1+b2+…+bn=1=1213由n3(2n+3)<所以使得Tn<17成立的最大正整数n的值为8点拨以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,转化为数列的最值问题求解.【突破训练2】设Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足an2+2an=4Sn+(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=1anan+1,Tn=b1+b2+…+bn,若Tn<m恒成立解析(1)由题意知an>0,an2+2an=4Sn+3,令n=1,得a12+2a1=4S1+3,解得a1=当n≥2时,an-12+2an-1=4Sn-1+①-②得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因为an+an-1>0,所以an-an-1-2=0,即an-an-1=2,所以{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.(2)由(1)知bn=1(2n所以Tn=12×13-15+15-17+…+12n+1-12n+3=12×13因为14n+6>0,所以Tn<16,所以m≥16,与数列有关的不等式的证明已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求{a(2)证明1a1+1a2+…+解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列,所以因此{an}的通项公式为an=3n(2)由(1)知1an=因为当n≥1时,3n-1≥2·3n-1,所以13n-于是1a1+1a2+…+1an≤1=321-所以1a1+1a2+…+点拨与数列有关的不等式的证明问题常常通过构造函数或利用放缩法证明.【突破训练3】已知函数f(x)=ax的图象过点1,12,且点n-1,ann2(n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an+1-12an,若数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<5解析(1)由题意知a=12,所以f(x)=1因为f(x)的图象过点n-所以ann2=12n-1(2)由(1)得bn=(n+1)22所以Sn=3×12+5×122+7×123+…+(2n-1)12n-1