x轴上的平面简谐波方程

x轴上的平面简谐波方程

简合波是弹性介质中的简合振动传播的波源沿y方向振动，波源在x轴上传播的平面简合波方程如下所示。y=Acos[ωt±kx+α](1)式(1)描述了介质中各体元在各时刻的振动情形.当变量x取一定值x0时,方程只描述介质中x0处一个体元的简谐振动,式(1)变为:y=Acos[ωt±kx0+α](2)即为x0处体元的振动方程.当变量t取一定值t0时,则方程所表达的是在t0时刻介质中各个体元的瞬时状态.式(1)变为:y=Acos[ωt0±kx+α](3)即为t0时刻的波形方程.1简单的波形图像1.1变形态型的函数关系令Φ=ωt0+α,将式(3)化简为:y=Acos(±kx+Φ)(4)为方便,以波源在原点,波源沿y方向振动,波沿x轴负方向传播的一列平面简谐波的波方程为例说明.令k=π,φ=π2k=π,φ=π2.则式(4)变为具体的波形方程:y=2cos(πx+π2)(5)y=2cos(πx+π2)(5)从数学上看,式(5)是以x为自变量,以y为因变量的函数关系式.自变量的定义域未限定.其函数曲线如图1.是沿x轴两方无限延伸的函数曲线.因余弦函数是偶函数,式(5)可变为:y=2cos(−πx−π2)(6)y=2cos(-πx-π2)(6)从数学上看,式(6)和式(5)是完全等价的.式(6)自变量的定义域也未限定.因此,式(6)所对应的函数曲线与图1完全相同.1.2x轴实际波形图.自然图2.从物理上看,式(5)代表波源在原点,波源沿y方向振动,波沿x轴负方向传播的一列平面简谐波.因此式(5)代表的波形图只存在于x轴的负半轴.波形图如图2;而式(6)代表波源在原点,波沿y方向振动,波沿x轴正向传播的一列平面简谐波.因此式(6)所对应的波形图只存在于x轴的正半轴.其波形图如图3.1.3改进波形图的形成物理中给出的波形方程都具有特定的物理意义.式(5)代表波源在原点且沿x轴负向传播的平面简谐波.波是由波源的振动在弹性介质中传播而产生的.即波源是波的起始点,而波又沿负向传播,因此与式(5)对应的波形图只能存在于x轴的负半轴.同理,式(6)代表的波形图也只能存在x轴的正半轴.也就是说我们做式(5)的波形图时,应该做成图2的形式.做式(6)的波形图时,应该做成图3的形式.在通常的教学实践和学生学习的过程中,主要是基于做函数图象时习惯首先做出x轴正向的图象,再由余弦函数具有的对称性得出x负向的图象.于是我们也经常将式(5)的波形图做成图3或图1的形式.也经常将式(6)的波形图做成图2或图1的形式.再由波形方程所具有的对称性得出波形图所在的确切位置.数学中的函数曲线和物理中的波形图是两个不同的概念.数学中已知函数及函数的定义域和值域就可画其函数曲线;而用数学函数来表示物理中的波形方程时就有其明确而特定的物理意义.两函数仅相差一个符号,其物理意义可能完全不同.因此,如果把式(5)的波形做成图3或把式(6)的波形做成图2是没有任何物理意义的,这只是习惯上从数学的角度顺接出的函数曲线而已.实际上波形在这里并不存在.我们画波形时若仍沿用习惯做法去做波形方程的图象,就很可能忽略了波形方程所代表的具体物理意义.因此,在此特别强调这个容易被人们混淆的问题.由以上分析和波的物理意义可得一个波方程只能代表沿某一方向传播的一列波的结论.2波源的位置以及波的图像的影响2.1介质中波源在原位处的振动方程式(2)代表x0处体元的振动方程.当取x0=0时,式(2)变为:y=Acos(ωt+α)(7)式(7)表示位于坐标原点处体元的振动方程.此式不含x项,因此与空间变量x无关,为一纯振动方程.说明介质中各体元的振动由原点的振动引起,即波源在坐标原点处,由此可知,波方程式(1)中若关于x的项只有一项.则表明此波的波源必在原点(x=0)处.2.2纯振动方程法若式(3)中关于x的项有两项.则式(3)变为:y=Acos[±k(x±x1)+ωt0+α](8)使此方程变为一纯振动方程,即方程中不含x项,则x=±x1方可满足,那么此波的波源将不在原点处.2.2.1波沿x轴向传播x1项取“-”号时,波源位于+x1处,k前取“-”号时,波沿x轴正向传播,波形图只存在于x1的右侧.k前取“+”号时,波沿x轴负向传播,波形图只存在于x1的左侧.2.2.2波沿x轴向传播x1项取“+”号时,波源位于-x1处,k前取“-”号时,波沿x轴正向传播,波形只存在于-x1的右侧.k前取“+”号时,波沿x轴负向传播,波形只存在于-x1的左侧.2.3轴类波的传播“x”b我们经常说来自无限远处的波,或波源在无限远处。在这里我们分析一下其真正的内涵.在式(8)中,若取x1=∞,则式(8)可写为:y=Acos[±k(x±∞)+ωt0+α](9)表示波源分别位于“+∞”和“-∞”处的两列平面简谐波.但波源在“+∞”时,波只能向x轴负向传播,所以k前只能取“+”号;同理,当波源在“-∞”时,波只能沿x轴正向传播,所以k前只能取“-”号。因此,波源在“+∞”的波形方程为:y=Acos[k(x-∞)+ωt0+α](10)波源在“-∞”的波形方程为:y=Acos[-k(x+∞)+ωt0+α](11)物理中所谓的无穷是指相对于研究对象很大或很远的量而已,因此式(10)或式(11)中的“-∞”和“+∞”是很大的正数或负数.余弦函数又是以2π为周期的函数,令式(10)中的“-k∞+ωt0+α”项被2π除后的余数为φ.则式(10)可化简为:y=Acos(kx+φ)(12)式(12)中的φ在物理上是已知的有限量,A和k在具体的问题中是给定的.因此式(12)的波形就能精确画出.同理,式(11)也可经同样的化简.其波形也同样可精确做出.2.4y=acos波和y+acos波如果波源在原点,波源的振动将引起沿x轴正、负半轴传播的两列波,两列波的初相相同,且波形关于y轴对称.例如波形方程分别为y=Acos(−πx+π2)(13)y=Acos(-πx+π2)(13)和y=Acos(πx+π2)(14)y=Acos(πx+π2)(14)的两列波,波源在原点且初相相同,其波形图如图4。图4中x正半轴的图象是式(13)的波形图,x负半轴的图象是式(14)的波形图.即一点的振动