空间空间中的gram矩阵

空间空间中的gram矩阵

设置1，设置x8，并将其设置为xn。xn是体积空间中的n个向量，矩阵：。((xi,xj))n×n=((x1,x1)⋯(x1,xn)⋯⋯⋯(xn,x1)⋯(xn,xn))称为由x1,x2,…,xn生成的Gram矩阵.通常用G(x1,x2,⋯,xn)来记上述Gram矩阵.其行列式称为Gram行列式,通常用Γ(x1,x2,⋯,xn)表示.引理1设x1,x2,…,xn是内积空间中的n个向量,则G(x1,x2,⋯,xn)为半正定矩阵,当且仅当x1,x2,…,xn线性无关时G(x1,x2,⋯,xn)为正定的.引理2设x,y,z是实内积空间中的三个非零向量,则:1∥z∥4Γ(x,z)Γ(y,z)-|(x,y)-1∥z∥2(x,z)(y,z)|2=1∥z∥2Γ(x,y,z).注:由引理1和引理2可得出:|(x,y)-1∥z∥2(x,z)(y,z)|2≤1∥z∥4Γ(x,z)Γ(y,z),式(1)当且仅当x1,x2,…,xn线性相关时等号成立.引理3设f是区间[0,1]上的正实值函数,f是严格对数凸函数且在区间(0,1)上严格单调递减,x,y,z,ω∈[0,1],ω≤xyz,则有:f(ω)≥[f(xp)]1p[f(yq)]1q[f(zr)]1r,其中1p+1q+1r=1.引理4(Ostrowski不等式)设a=(a1,a2,⋯,an),b=(b1,b2,⋯,bn)是两个线性无关的n维向量,若x=(x1,x2,⋯,xn)满足(x,a)=0,(x,b)=1,则有∥x∥2≥∥a∥2∥a∥2∥b∥2-(a,b)2,等号成立当且仅当x=∥a∥2b-(a,b)a∥a∥2∥b∥2-(a,b)2.定理1设x,y是实内积空间中的向量,若x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn),y=(η1,η2,⋯,ηn),则有:(max1≤i≤n|ξiηi|-|ξiηi|)2≤(max1≤i≤n|ξi|2-|ξi|2)(max1≤i≤n|ηi|2-|ηi|2),其中1≤i≤n.证明定义实内积空间的内积为(x,y)=max1≤i≤n|ξiηi|,设zi=(0,⋯,0,1,0,⋯,0),其中第i个分量为1,其余分量为0,则在此内积空间中(x,zi)=|ξi|,(y,zi)=|ηi|,∥zi∥=1,由式(1):|(x,y)-1∥z∥2(x,z)(y,z)|2≤1∥z∥4Γ(x,z)Γ(y,z)‚(1)代入可得:(max1≤i≤n|ξiηi|-|ξiηi|)2≤(max1≤i≤n|ξi|2-|ξi|2)(max1≤i≤n|ηi|2-|ηi|2),其中1≤i≤n.注:类似的可进一步得到在无穷维实内积空间中:(max1≤i|ξiηi|-|ξiηi|)2≤(max1≤i|ξi|2-|ξi|2)(max1≤i|ηi|2-|ηi|2),其中i≥1.定理2设f,g是区间(a,b)上的Lebesgue可积函数,满足:m≤f(x)≤Μ,n≤g(x)≤Ν,∀x∈(a,b),其中m+M≠0,n+N≠0,则有:|∫baf(x)dx∫bag2(x)dx-∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx|≤(b-a)24(Ν-n)C(Μ,Ν,Μ′,Ν′,m,n)证明在L2(a,b)上定义内积(f,g)=1b-a∫baf(x)g(x)dx.由此内积定义可得:(f,1)=1b-a∫baf(x)dx,(g,1)=1b-a∫bag(x)dx,∥g∥2=1b-a∫bag2(x)dx.由式(1)得:|(f,1)-1∥g∥2(f,g)(g,1)|≤dist(f,Span{g})dist(1,Span{g}),整理得∶|∥g∥2(f,1)-(f,g)(g,1)|≤∥f∥dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤∥g∥dist(f,Span{g})dist(g,Span{1}).代入得:|∫baf(x)dx∫bag2(x)dx-∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx|≤(b-a)2∥f∥dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤(b-a)2∥g∥dist(f,Span{g})dist(g,Span{1})由题设m≤f(x)≤Μ,n≤g(x)≤Ν,∀x∈(a,b)得:(f(x)-Μ+m2)2≤(Μ-m4)2,(g(x)-Ν+n2)2≤(Ν-n4)2‚因此dist(f,Span{1})≤[1b-a∫ba(f(x)-Μ+m2)2dx]12≤Μ-m2dist(g,Span{1})≤[1b-a∫ba(g(x)-Ν+n2)2dx]12≤Ν-n2.进而可得:dist(g,Span{f})=infs∈R∥f-sg∥≤∥f-Μ+m2∥+infs∈R∥Μ+m2-sg∥≤Μ-m2+Μ+mΝ+n∥g-Ν+n2∥≤Μ-m2+Μ+mΝ+nΝ-n2.dist(f,Span{g})=infs∈R∥g-sf∥≤∥g-Ν+n2∥+infs∈R∥Ν+n2-sf∥≤Ν-n2+Ν+nΜ+m∥f-Μ+m2∥≤Ν-n2+Ν+nΜ+mΜ-m2.记Μ′=maxx∈(a,b)|f(x)|,Ν′=maxx∈(a,b)|g(x)|.由内积定义可得:∥f∥=[1b-a∫baf2(x)dx]12≤[1b-a∫ba(Μ′)2dx]12=Μ′,∥g∥=[1b-a∫bag2(x)dx]12≤[1b-a∫ba(Ν′)2dx]12=Ν′,由引理2可知Γ12(f,g)=∥f∥dist(g,Span{f})=∥g∥dist(f,Span{g}).从而有:Γ12(f,g)≤12min{[(Ν-n)+Ν+nΜ+m(Μ-m)]Μ′,[(Μ-m)+Μ+mΝ+n(Ν-n)]Ν′}≜12C(Μ,Ν,Μ′,Ν′,m,n).综上可得结论:|∫baf(x)dx∫bag2(x)dx-∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx|≤(b-a)24(Ν-n)C(Μ,Ν,Μ′,Ν′,m,n).定理3设x1,x2,…,xn为内积空间中的向量,‖xi‖≤1,则有:1-Γα(x1,x2,⋯,xn)≥n∏i=1(1-Γαni(xi)ni)1ni,其中α≥0,nΣi=11ni=1.证明因为Γ(x1,x2,⋯,xn)≤Γ(x1)Γ(x2)⋯Γ(xn).由Gram矩阵的性质知,这些行列式都非负且小于等于1,所以:Γα(x1,x2,⋯,xn)≤Γα(x1)Γα(x2)⋯Γα(xn),其中α≥0,结合引理3得:1-Γα(x1,x2,⋯,xn)≥n∏i=1(1-Γαni(xi)ni)1ni其中α≥0,nΣi=11ni=1.注:同理可得下面结论.定理4设x1,x2,…,xn为内积空间中的向量,‖xi‖≤1,1≤k≤n,则有:1-Γα(x1,x2,⋯,xn)≥(1-Γαp(x1,x2,⋯,xk)p)1p(1-Γαq(xk+1,xk+2,⋯,xn)q)1q,其中p,q＞0,1p+1q=1.根据引理4(Ostrowski不等式)和引理2可得以下结论:定理5设a,b,x是实内积空间的三个非零向量,满足(a,x)=0,∥x∥=1,则有:(b,x)2≤∥a∥2∥b∥2-(a,b)2∥a∥2,当且仅当x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2时等号成立.证明在式(1)中用a,b,x代替式(1)中的x,y,z得:|(a,b)-1∥x∥2(a,x)(b,x)|2≤[∥a∥2-1∥x∥2(a,x)2][∥b∥2-1∥x∥2(b,x)2].因为(a,x)=0,∥x∥=1,故(a,b)2≤∥a∥2[∥b∥2-(b,x)2],从而有(b,x)2≤∥a∥2∥b∥2-(a,b)2∥a∥2等号成立当且仅当a,b,x线性相关.设x=λa+μb,由假设条件(a,x)=0,∥x∥=1可得:∥a∥2λ+(a,b)μ=0,∥a∥2λ2+2(a,b)λμ+∥b∥2μ2=1,解得λ=∓(a,b)∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2,μ=±∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2.故当且仅当x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2时等号成立.定理6设设a,b,x是实内积空间的三个非零向量,满足(a,x)=0,∥x∥=1,p≥2,则有:(b,x)p≤∥a∥p∥b∥p-(a,b)p∥a∥p,当且仅当x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2时等号成立.证明由G(a,b,x)得半正定性得Γ(a,b,x)≥0,即:|∥a∥2(a,b)(a,x)(a,b)∥b∥2(b,x)(a,x)(b,x)∥x∥2|≥0,展开得:∥a∥2∥b∥2∥x∥2-∥a∥2(b,x)2-∥b∥2(a,x)2-∥x∥2(a,b)2+2(a,b)(a,x)(b,x)≥0.代入题设条件(a,x)=0,∥x∥=1得:∥a∥2∥b∥2≥∥a∥2(b,x)2+(a,b)2,由函数性质可得:∥a∥p∥b∥p≥∥a∥p(b,x)p+(a,b)p,p≥2,将上式整理得:(b,x)p≤∥a∥p∥b∥p-(a,b)p∥a∥p,等号成立当且仅当x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2.定理7设x,a,b,c是实内积空间中的向量,满足(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0,则有:∥x∥2≥Γ(a,c)Γ(a,b,c)+ε,其中ε=2∥a∥∥b∥|(b,c)||(a,c)|-2(a,b)(b,c)(a,c)＞0证明将Γ(x,a,b,c)展开整理后可得:∥c∥2Γ(x,a,b)+Q(x,a,b,c)≥[∥x∥∥a∥|(b,c)|-∥x∥∥b∥|(a,c)|]2+[∥x∥∥a∥|(〗b,c)|-∥a∥∥b∥|(x,c)|]2+[∥x∥∥b∥|(a,c)|-∥a∥∥b∥|(x,c)|]2.其中:Q(x,a,b,c)=∥x∥2∥y∥2|(z,ω)|2+∥x∥2∥z∥2|(y,ω)|2+∥y∥2∥z∥2|(x,ω)|2-2(x,ω)(x,y)(z,ω)(y,z)-2(z,ω)(x,z)(x,y)(y,ω)-2(y,ω)(x,z)x(z,ω)(y,z)+(z,ω)2(x,y)2+(y,ω)2(x,z)2+(x,ω)2(y,z)2代入题设条件(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0得:∥x∥2[∥a∥2∥b∥2∥c∥2-∥a∥2(b,c)2-∥b∥2(a,c)2-∥c∥2(a,b)2+2∥a∥∥b∥(b,c)(a,c)]≥Γ(a,c)所以可得结论∥x∥2≥Γ(a,c)Γ(a,b,c)+ε,其中:ε=2∥a∥∥b∥|(b,c)||(a,c)|-2(a,b)(b,c)(a,c)＞0.定理8设设x,a,b,c是实内积空间中的向量,满足∥x∥=1,(x,a)=0,(x,b)=0,则有:(x,c)2≤Γ(a,b,c)Γ(a,b).证明将Γ(x,a,b,c)展开整理后可得:∥x∥2Γ(a,b,c)+Q(x,a,b,c)≥[∥a∥∥b∥|(c,x)|-∥a∥∥c∥|(b,x)|]2+[∥a∥∥b∥|(c,x)|-∥b∥∥c∥|(a,x)|]2+[∥a∥∥c∥|(b,x)|-∥b∥∥c∥|(a,x)|]2.代入题设条件∥x∥=1,(x,a)=0,(x,b)=0可得:Γ(a,b,c)+[∥a∥2∥b∥2+(a,b)2](c,x)2≥2∥a∥2∥b∥2(c,x)2,上式整理即可得到(x,c)2≤Γ(a,b,c)Γ(a,b).定理9设x1,x2,…,xn,y是实内积空间中的向量,满足x1,x2,…,xn线性无关,且(x1,y)=1,(xi,y)=0,i=2,3,⋯,n,则有∥y∥2≥Γ(x2,⋯,xn)Γ(x1,x2,⋯,xn).证明将Γ(y,x1,x2,⋯,xn)展开得:Γ(y,x1,x2,⋯,xn)=|∥y∥2(y,x1)⋯(y,xn)(y,x1)∥x1∥2⋯(x1,xn)⋮⋮⋯⋮(y,xn)(x1,xn)⋯∥xn∥2|=|∥y∥21⋯01∥x1∥2⋯(x1,xn)⋮⋮⋯⋮0(x1,xn)⋯∥xn∥2|=|∥y∥20⋯01∥x1∥2-1∥y∥2⋯(x1,xn)⋮⋮⋯⋮0(x1,xn)⋯∥xn∥2|=∥y∥2|∥x1∥2-1∥y∥2btbG(x2,⋯,xn)|=∥y∥2[∥x1∥2-1∥y∥2-btG-1(x2,⋯,xn)b]Γ(x2,⋯,xn)=∥y∥2[∥x1∥2-btG-1(x2,⋯,xn)b]Γ(x2,⋯,xn)-Γ(x2,⋯,xn)=∥y∥2Γ(x1,x2,⋯,xn)-Γ(x2,⋯,xn).由Γ(y,x1,x2,⋯,xn)≥0可得:∥y∥2Γ(x1,x2,⋯,xn)-Γ(x2,⋯,xn)≥0,故∥y∥2≥Γ(x2,⋯,xn)Γ(x1,x2,⋯,xn).定理10设设x1,x2,…,xn,y是实内积空间中的向量,满足x1,x2,…,xn线性无关,且∥y∥=1,(xi,y)=0,i=1,2,⋯,n-1,则有(xn,y)2≤Γ(x1,x2,⋯,xn)Γ(x1,x2,⋯,xn-1).证明将Γ(y,x1,x2,⋯,xn)展开得:Γ(y,x1,x2,⋯,xn)=Γ(x1,x2,⋯,xn-1)[∥xn∥2-(xn,y)2-btG-1(x1,x2,⋯,