广义折射率的铁军机电原理

广义折射率的铁军机电原理

1968年，v.v.v.vselago研究了介电常数和磁导率为负值的介质的电性能。通过理论分析,他指出这种媒质将呈现出如负折射,反Doppler效应和反Cerenkov效应等非同寻常的现象,Veselago称其为左手媒质(LHM)以区别于传统媒质(右手媒质)。但是,在随后的几十年中,由于Veselago所提出的这种媒质并未在自然界中得到,因此该研究一直以来并未引起人们太多的关注。2000年D.R.Smith和J.B.Pendry等学者在结构尺度远小于波长的前提下,设计出了模拟均匀媒质的复合材料,并通过实验证实了这种材料在一定频段内可以呈现负折射等左手特性。因此,左手媒质由于其诸多与传统右手媒质不同的特性而引起人们越来越广泛的关注。Fermat原理是光学理论的重要基础之一。但是传统的Fermat原理并未应用于左手媒质。2002年,V.Veselago从Fermat原理的角度论述了负折射率在理想左手媒质电磁波传播中的作用。但是该工作并未对折射率与媒质的电参数之间的关系进行说明。对于这一关系的进一步解释,必须借助Maxwell电磁理论。另一方面,自20世纪90年代以来,郭弘,曹清和佘卫龙等学者在引入衍射射线的基础上结合M.Born和E.Wolf的工作,通过定义不同的折射率对稳态光学系统中的Fermat原理进行了推广。佘卫龙等定义了新的折射率nG=|∇L|,其中L为光学程函,在理想情况下nG非负值,这样就缩小了问题的讨论范围,并以此为基础对光束的发散和聚焦进行了分析,这些工作将有助于强光束传输及稳定性研究。为了能使Fermat原理适用于更广媒质范围中的电磁信号或强光束的传输等,本文重新考虑了左手和右手媒质的最初定义,并对其进行了对比。在此基础上结合Born等人的工作对折射率进行了重新定义,由此得到了可以同时适用于左右手媒质的折射率可变稳态光学系统的推广Fermat原理。通过经典电磁理论得到了广义折射率的一般表达式,该结果清楚地表明了媒质的电参数(介电常数、磁导率)与左右手情况时折射率负正特性间的关系。文中以Fermat原理得到了折射定律,并通过理论分析给出了对应的折射定律一般表述,理论分析与本文所定义的广义折射率相一致。1频域upon方程的分析步骤折射率是研究光或电磁波传播的重要特征参量。早期,折射率是在实验基础上获得的。而后随着电磁理论的发展,通过Maxwell理论使得折射率与媒质的电磁参数联系起来,从而进一步揭示了折射率的物理本质。为了定义一个同时适用左手和右手媒质的折射率一般形式,我们先对左右手媒质的定义进行对比。在左手媒质中,电场E、磁场H以及Poynting矢量S共同构成左手系,波矢量k与S方向相反;而在右手媒质中电场E、磁场H以及Poynting矢量S共同构成右手系,波矢量k与S方向相同,见图1。通过对比可以发现,左手系和右手系其实是一组相对的概念,没有右手系也就不存在所谓的左手系。因此在左右手系的对比中,应该确立一个参考标准,而功率流显然是可以被采用的。考虑到Born和Wolf工作中光线方程的形式,并注意到曹清、佘卫龙等学者有关折射率的物理意义,于是我们可以定义折射率nG=∇L⋅n(1)nG=∇L⋅n(1)式中:n表示平均功率流的方向;程函L是位置r的函数。该形式进一步刻画了媒质系统中相位传输与能量传输间的内在联系。下面对广义折射率具体形式进行推导。在通常情况下,为了有效传输,光学或电磁系统总是尽可能工作在趋近于理想的情况下,因此在具体理论分析中,可以按照理想情况来考虑。在时域Maxwell方程组的基础上,对于各向同性媒质中的电磁场量采用复矢量形式F(r,t)=[F0(r,ω)eiωt+c.c.]/2(2)F(r,t)=[F0(r,ω)eiωt+c.c.]/2(2)式中:F0表示相应场量的复振幅矢量;i表示虚数单位;c.c.表示前面项的复共轭。考虑到本构关系,则可以得到频域Maxwell方程组{∇×Η0=iωεE0∇×E0=-iωμΗ0∇⋅(εE0)=0∇⋅(μΗ0)=0(3)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇×H0=iωεE0∇×E0=−iωμH0∇⋅(εE0)=0∇⋅(μH0)=0(3)式中:ω,ε,μ分别表示角频率、媒质的介电常数和磁导率。除了时谐因子为eiωt以外,(3)式中的符号与文献的一致。考虑上面方程组中的第二方程,则时间平均Poynting矢量可以表示为〈S〉=i4ωμ[E*0×(∇×E0)-E0×(∇×E*0)](4)⟨S⟩=i4ωμ[E∗0×(∇×E0)−E0×(∇×E∗0)](4)式中:*表示复共轭。对于电磁场的传输问题,如果考虑一般性传输情况,则线极化传输场中的电场复矢量E0可以表示为E0(r,ω)=e(r)eiωL(r)/c(5)E0(r,ω)=e(r)eiωL(r)/c(5)式中:e(r)是位置的实函数;c表示真空中的光速。由于讨论电磁传输问题,因此凋落波、衰减等情况并不属于上面模型的分析范围,本文主要针对媒质的电参数同时为正或同时为负的情况。如果将(5)式代入方程组(3)中的第三式,考虑到无耗条件,于是在消去指数项的基础上分离关系式中的实部和虚部,就可以得到∇L·e=0,同时考虑到矢量关系式∇×(ee-iωL/c)=(∇×e-iωc∇L×e)e-iωL/c(6)∇×(ee−iωL/c)=(∇×e−iωc∇L×e)e−iωL/c(6)以及三矢量叉乘的矢量公式,通过一定的运算,可以得到理想条件下稳态传输系统中的时间平均Poynting矢量〈S〉=|e|2∇L/2cμ(7)⟨S⟩=|e|2∇L/2cμ(7)类似地,也可以通过磁场H0=he-iωL/c来表示,其中h与(5)式中的e相对应,为空间位置的函数,于是Poynting矢量可也以表示为|h|2∇L/2cε。得到Poynting矢量后,在前面题设条件下,就可以进一步推得广义折射率定义(1)式中所对应的单位矢量n,其形式为n=〈S〉|〈S〉|=|ε|∇Lε|∇L|=|μ|∇Lμ|∇L|(8)n=⟨S⟩|⟨S⟩|=|ε|∇Lε|∇L|=|μ|∇Lμ|∇L|(8)将(8)式代入(1)式中,就可以得到广义折射率的一般形式nG=|ε|ε|∇L|=|μ|μ|∇L|(9)nG=|ε|ε|∇L|=|μ|μ|∇L|(9)从(9)式中可以看到,折射率的正负是由介电常数和磁导率的符号所确定的。为了获得(9)式的具体表示,我们可以从Maxwell方程组出发,通过计算和化简,可以得到Helmholtz方程∇×∇×E0-ω2εμE0=0(10)∇×∇×E0−ω2εμE0=0(10)同理也可以采用磁场表示,由于考虑到形式的简单性,这里不再给出相应的形式。为了得到|∇L|的具体表示,将(5)式代入(10)式中,同时考虑矢量关系∇⋅(afe-iωL/c)=(a∇⋅f+f⋅∇a-iaωc∇L⋅f)e-iωL/c(11)∇⋅(afe−iωL/c)=(a∇⋅f+f⋅∇a−iaωc∇L⋅f)e−iωL/c(11)式中:a为常量;f为矢量。结合Maxwell方程组,通过分离相应的实部和虚部以及一定的矢量运算和化简,于是得到|∇L|2=c2εμ+c2(e⋅∇2e)+∇ln|ε|⋅(e⋅∇e)+e⋅[(e⋅∇)∇ln|ε|]ω2|e|2(12)在(12)式中,用到了数学关系∇ln|a|=∇a/a,(a∈R)。由于(12)式表示的是矢量模值的平方,因此(12)式为正定实函数。于是考虑到矢量分析中有关矢量模值的定义并将相应的模值代入(9)式中,就可以得到广义折射率的具体形式nG=|ε|ε{c2εμ+c2(e⋅∇2e)+∇ln|ε|⋅(e⋅∇e)+e⋅[(e⋅∇)∇ln|ε|]ω2|e|2}1/2=|μ|μ{c2εμ+c2(e⋅∇2e)+∇ln|ε|⋅(e⋅∇e)+e⋅[(e⋅∇)∇ln|ε|]ω2|e|2}1/2(13)在(13)式中,大括号内的表示式对应于矢量的模值,因此无论媒质的电参数正负如何,根据数学分析中平方根的定义,该表达式应为非负。而折射率的正负完全由表达式|a|/a(a=ε,μ)决定。(13)式除了包含媒质的电参数信息(即系统信息)外,还含有电磁信号的幅度信息。对于空间可微的连续媒质,(13)式给出了折射率的一般形式。2光程的表示Fermat原理有过多种表述,但在光学和电磁学中,一般采用Fermat原理的光程表示。通过前面所得到的折射率,就可以给出推广的Fermat原理的变分形式δ∫BAnGds=0(14)该折射率可以同时适用于左手和右手媒质,因此就将Fermat原理推广为可以适用于左右手混合的稳态光或电磁传输系统的形式。3电液界面变化的几何意义通常的射线光学理论以电磁场传播的射线理论为基础,在高频近似的前提下对相关电磁问题进行分析。因此如果考虑几何光学问题,则在高频条件下可以由(13)式得到更为简单的折射率表达式nG=|ε|ε(c2εμ)1/2=|μ|μ(c2εμ)1/2(15)值得指出的是,(15)式中的括号标识出运算的次序,因此,对于(ε<0,μ<0)和(ε>0,μ>0)两种情况均有(c2εμ)1/2>0。这一结论与该根式表示程函梯度模值的物理意义相一致。对于理想均匀各向同性左手媒质(ε<0,μ<0),其电参数为常数,于是媒质的折射率nG=|ε|(c2εμ)1/2/ε=|μ|(c2εμ)1/2/μ=-c(εμ)1/2<0。另一方面,在现已实现的左手材料的具体设计中,通常满足结构尺度远小于工作波长这一条件,其目的在于使得相应结构能够具有近似于媒质的均匀特性。因此在理论分析中,相应的人工电磁复合结构可以通过经典色散理论中的Lorentz连续媒质模型来描述。为了有利器件中场的传播,通常采用透明媒质。于是在具体分析电磁传输问题时,略去耗散的影响并且只考虑传输带特性,则相应的介电常数和磁导率可以表示为{ε(ω)=ε0(1-ω2epω2-ω2eo)μ(ω)=μ0(1-Fω2mpω2-ω2mo)(16)式中:ωeo和ωmo分别表示电、磁极子的谐振频率;ωep和√Fωmp表示电、磁极子与电磁场间的相互作用强度。(16)式具有的电磁色散特性。对于特性参数ωep=10GHz,ωeo=0,ωmp=ωmo=4GHz,F=1.25的复合材料,图2给出了其传输带的折射率谱。从图2可以看到,媒质形成了两个传输通带。在4～6GHz的频段内形成了左手通带,当频率大于10GHz时,媒质将表现出通常的右手特性。如图2所示,当通带内电磁波的频率取不同值时,相应的相速也将不同,因此对于上述媒质中传播的具有一定带宽的时域信号,媒质仅对特定的频率分量呈现出传输特性,并且在相应的通带内产生色散现象,从而在传输一段距离后信号的形状将发生变形。但是由Fourier分析可以知道,对于各单色电磁波的传播,则通过图2可以得到对应的恒定折射率,而在这种情况下,问题的处理可以按照前面理想媒质电参数恒定的非色散情况来进行。如图3所示,设媒质1和2分别为半无限大右手和左手各向同性均匀媒质的情况,在媒质1,2中分别设定观测点A和B。由于光路的连续性,则射线一定经过两种媒质间的分界平面。由Fermat原理表示(14)式出发,考虑到题设中媒质的特性,设L≥x,并对连接AB两点射线的总光程取极值,则可以得到nG1(ω)x√z21+x2=nG2(ω)L-x√z22+(L-x)2(17)由前面分析结果(15)式可知,媒质2中折射率为负值,因此(17)式可以重新表示为(ε1μ1)1/2x√z21+x2=(ε2μ2)1/2x-L√z22+(L-x)2(18)由于(17)式左边为正,于是得到x≥L。结合图3可以看到,该结果的几何意义表明媒质界面上发生了负折射。根据矢量恒等式∇×(∇L)=0并考虑广义折射率的定义式(1),就可以得到折射率所满足的关系:∇×(nGn)=0。由于微分形式不能有效地处理分界面T处(如图4所示)的突变问题,因此仿照电磁场中处理边界条件的方法,利用折射率所满足关系的Stokes积分形式∫(∇×nGn)⋅bds=∫nGn⋅dr=0(19)其中积分路径为P1Q1Q1P2,取极限δh=P1Q1=P2Q2→0,就可以得到折射定律的一般表示形式n12×(nG2n2-nG1n1)=0(20)式中:n12是界面的单位法线,由第一媒质指向第二媒质。当两种媒质分别为左右手媒质时,通过射线的几何关系由上式即可得到负折射的结果。4人工复合结构折射的fernt原理本文通过左手和右手媒