半参数平差模型参数分量的半参数估计量

半参数平差模型参数分量的半参数估计量

在实践和科学研究中，随机因素和确定因素往往共同存在。过去,人们认为观测值仅含有偶然误差,不存在系统误差或粗差,观测值的真实值可以表示为一组参数的线性函数,如常用的高斯-马尔可夫模型,主要原因是采用常规测量仪器和测量方法来讨论各种静态测量问题时,所建立的测量模型与客观实际是比较一致的。一般而言,常规仪器有完整的检校办法和完善的观测方程式,通过重复性实验,干扰因素(习惯上称为系统误差)对测量结果影响的规律性有比较明确的了解;另外,在许多常规测量问题中,观测量之间只要满足一定条件就可以相互检核,使得大部分系统误差可在数据处理前补偿、消除或在参数模型中表达,经过处理后的系统误差与偶然误差相比达到了忽略不计的程度。随着现代技术的发展,观测精度的要求越来越高,要求人们以更高的分辨能力来认识客观事物的发展规律,对数据处理的理论和方法提出了新的挑战。在观测的过程中,仪器的精度越高,则受到外部环境的影响越大,使得影响观测值取值的因素越多,影响函数关系就会更加复杂,包含着无法补偿的系统误差,这些系统性影响无法在参数模型中考虑。若能合理可靠地提取这些因素,不仅可以提高仪器测量的精度,还可为其他学科研究提供素材。例如,在GPS长基线测量中,双差观测值中仍然存在电离层延迟和对流层折射误差的影响,这些因素被认为是系统误差,而对于气象研究则是十分有用的观测量。为了提高观测精度,许多学者作了深入的研究,比如将模型函数在未知参数的近似值处,按泰勒级数展开取至二次项,采用迭代方法计算和分析平差结果,但不论展开到几次项,因为始终存在截断误差,故求得的解在理论上都是不严密的。本文用参数来表示观测值中可线性化的基础上,增加随时间连续变化的系统误差部分,也就是非参数分量部分,从而构成半参数模型。运用数理统计理论,得出更加适合测量实际情况的数据处理理论和方法,对不同性质的测量误差进行分离,以满足现代科学技术对数据处理精度的要求。在一定情况下给出了模型中参数分量和非参数分量的Bayes估计量,并讨论了各分量相应的统计性质。1估计变量的同化作用经典最小二乘平差模型和随机模型为L=BX+Δ,E(Δ)=0,D(Δ)=DΔ=σ20Ρ-1.(1)为了将模型误差从偶然误差中分离出来,在式(1)中每个观测值中增加一个描述系统误差的待定参数,改写为半参数回归模型L=BX+S+Δ.(2)可以这样理解,参数分量X表达了与被观测量L中函数已知的部分,而被观测量中影响因素未知或函数关系不明的部分则由非参数分量函数S表示,它的分量为某个未知函数在观测量中的取值。如果把S归入Δ,则与间接平差的函数模型相同,如果B=0,则为非参数模型,可见,参数模型和非参数模型为半参数模型的特例。这里B为列满秩的设计矩阵,L为观测向量,Δ为随机误差。其中:L=(l1,l2,…,ln)T,g(t)=(g(t1),g(t2),…,g(tn))T,则依Taylor展开有S=m-1∑i=0θiti+Re(t),(3)其中余项为Re(t)=[(m-1)!]-1∫10g(m)(u)(t-u)m-1+du.(4)Blight和ott(1975年)提出如下思想:一个未知但确定的函数g(t)当有可能用一个多项式逼近时,可以将余项Re(t)作为一个有零预报值的误差,而且在估计过程中可以假定Re(t)有零平均的Gauss先验分布,同时逼近多项式的系数也能假定有正态先验分布。由上述Blight和ott的估计理论可知,非参数分量{g(t),t∈}的先验分布与下述随机过程相同。ϕΤθ+aΖ~Ν(0,vϕϕΤ+aDz),t∈.(5)式中:θ=(θ0,θ1,…,θm-1)T服从正态分布Nm(0,vI),a为一个正常数,Z(t)也服从均值为零的正态分布N(0,Dz),对应的协方差为σ(ti,tj)=1[(m-1)！]2∫10(ti-u)m-1+(tj-u)m-1+du‚θ与z不相关,ϕ(t)=(1,t,t2,…,tm-1)T。由广义测量平差原理可知,在一般情况下,可以假设参数分量服从期望为uX方差为DX都已知的正态分布,且与分布θ、Z不相关。因此,由上面的讨论,就得到一般情况下(L,X,S)的正态分布联合密度方程为f(L,X,S)∝Cexp{-12[(L-BX-S)ΤD-1Δ(L-BX-S)+(X-μX)ΤD-1X(X-μX)+SΤ(vϕϕΤ+σzDz)-1S]}.(6)由条件期望和条件方差的定义,以及正态概率密度的性质,可得在(X,S)的先验分布已知的情况下,有(LXS)~Ν((BμXμX0),(D11BDXvϕϕΤ+σ2zDΖ(BDX)ΤDX0vϕϕΤ+σ2zDΖ0vϕϕΤ+σ2zDΖ)),(7)其中:D11=vϕϕΤ+σ2ΖDΖ+σ20Ρ-1+BDXBΤˆ=D1+BDXBΤ。2b出线半参数模型参数估计值由正态分布的概率密度的性质可知,X和S的Bayes估计分别为(ˆXˆSv)=E((XS)|L)=(μX0)+(DXBΤvϕϕΤ+σ2ΖDΖ)(D1+BDXBΤ)-1(L-BμX),(8)由Sherman–Morrison-Woodbury公式知(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1,(9)故(D1+BDXBΤ)-1=D-11-D-11B(D-1X+BD-11B)-1BΤD-11.(10)由式(8)知ˆX=μX+DXBΤ(D1+BDXBΤ)-1(L-BμX),(11)ˆSv=(vϕϕΤ+σ2ΖDΖ)(D-1X+BΤD-11B)-1(L-BμX).(12)把式(10)代入式(11)并化简得ˆX=(D-1X+BΤD-11B)-1BΤD-11L+[Ι-(D-1X+BΤD-11B)-1(BΤD-11B)]μX=(D-1X+BΤD-11B)-1(BΤD-11B)ˆXΜL+[Ι-(D-1X+BΤD-11B)-1(BΤD-11B)]μX.(13)从式(13)可知,半参数模型中参数分量的估计值ˆX,为通常意义下高斯马尔可夫模型参数估计值ˆXML与参数期望μX的加权平均。3非参数分量anisv评分的计算为了计算的方便,不妨假定M=σ2ZDZ+σ20Q+BDXBT,由式(9)可知(Μ+vϕϕΤ)-1=Μ-1-Μ-1ϕ(ϕΤΜ-1ϕ)-1(Ι+v-1(ϕΤΜ-1ϕ)-1)-1ϕΤΜ-1,(14)当v充分大时,λ(v-1(ϕTM-1ϕ)-1)<1,因而可以对(I+v-1(ϕTM-1ϕ)-1)-1使用矩阵级数展开得到(Μ+vϕϕΤ)-1=Μ-1-Μ-1ϕ(ϕΤΜ-1ϕ)-1+v-1Μ-1ϕ(ϕΤΜ-1ϕ)-2ϕΤΜ-1+o(v-2)‚∴limv→∞v(Μ+vϕϕΤ)-1=Μ-1(Ι-ϕ(ϕΤΜ-1ϕ)-1ϕΤΜ-1),(15)limv→∞vϕΤ(Μ+vϕϕΤ)-1=(ϕΤΜ-1ϕ)-1ϕΤΜ-1.(16)由式(13)、式(15)及式(16),即得到非参数分量Bayes估计量的极限如下:limv→∞ˆSv=[ϕ(ϕΤΜ-1ϕ)-1ϕΤΜ-1+σ2ΖDΖΜ-1(Ι-ϕ(ϕΤΜ-1ϕ)-1ϕΤΜ-1)](L-BμX).(17)由式(10)知limn→∞(DX-1+BΤD1-1B)-1(BΤD1-1B)=limn→∞(DX-1n+BΤD1-1Bn)-1⋅BΤD1-1Bn=Ι.(18)这里由于BΤD1-1Bn为正定阵,且limn→∞DX-1n=0,将式(18)代入式(13),即limn→∞X^=X^ΜL。由于参数模型中参数估计值是无偏估计值,因此,参数分量的Bayes估计值X^是一致、渐近无偏和渐近有效估计。4x12e-12e,x.12.3.203.3.3.3.303.3.3.303.3.3.303.3.3.3.303.203.203.3.3.3.3.3.303.3.3.3.3.3.3.3.3.3.303.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.33.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.33.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.30000000参数模型中参数估计值在前面得到了半参数模型中参数分量的Bayes估计值,并且知道此估计量是渐近无偏,由式(13)可知E(X^-X)=(DX-1+BΤD1-1B)-1[(BΤD1-1B)E(X^ΜL)+DX-1μX]-E(X).(19)将高斯马尔可夫模型参数估计值代入式(19),通过计算得E(X^-X)=(DX-1+BΤD1-1B)-1DX-1E(X-μX).(20)由此可以看出,如果验前均值μX=E(X),则Bayes估计的偏倚为0,即半参数模型中参数分量的Bayes估计值X^为无偏估计。为了计算的方便,不妨设D*=^(DX-1+BΤD1-1B)-1,X^-E(X^)=-E(X)+D*DX-1μX+D*(BΤD1-1B)X^ΜL+D*DX-1E(X-μX)=D*DX-1E(X)-E(X)+D*(BΤD1-1B)X^ΜL=(Ι-D*DX-1)X^ΜL-(Ι-D*DX-1)E(X)=(Ι-D*DX-1)[X^ΜL-E(X)].(21)下面计算参数估计量的偏差:Var(X^)=E[(X^-E(X^))(X^-E(X^))Τ]=(Ι-D*DX-1)E[(X^ΜL-E(X))(X^ΜL-E(X))Τ](Ι-D*DX-1)Τ=(Ι-D*DX-1)(BΤD1-1B)-1(Ι-D*DX-1)Τ.(22)记δ=^Var(X^ΜL)-Var(X^)=[(BΤD1-1B)-1-D*(BΤD1-1B)-1D*].(23)要证δ≥0,需证,对∀η>0,有ηTδη≥0,而ηΤδη=[ηΤ(BΤD1-1B)-1η-ηΤD*(BΤD1-1B)-1D*η].(24)令ξ=D*η,则上式变为ξΤ(D*)-1δ(D*)-1ξ=ξΤ[(D*)-1(BΤD1-1B)-1(D*)-1-(BΤD1-1B)-1]ξ,(25)而(D*)-1(BΤD1-1B)-1(D*)-1=(D*)-1(BΤD1-1B)-1(D*)-1+(BΤD1-1B)-1+2DX-1.(26)故式(25)变为ξΤ(D*)-1δξ=ξΤ[DX-1(BΤD1-1B)-1DX-1+2DX-1]ξ.(27)由于DX-1≥0,DX-1(BTD1-1B)-1DX-1+2DX-1≥0,故ξΤ[DX-1(BΤD1-1B)-1DX-1+2DX-1]ξ≥0.(28)即ηΤδη≥0,Var(X^ΜL)≥Var(X^).(29)因此,半参数模型的参数估计值优于高斯马尔可夫线性模型。5优化模型的建立可以将非参数分量设置在客参数模型和非参数模型是半参数模型的特殊情况,本文将半参数模型的估计理论引入到测量数据处理理论中,用参数化部分来充分利用已知的信息,而通过非参数分量可以模拟系统误差或模型误差的数值,并实现系统性误差与偶然误差的分离。