平差模型中的半参数回归分析

平差模型中的半参数回归分析

0观测误差的性质现代科学技术的发展为推动测绘科学提供了良好的发展机遇，也为测绘科学提出了更高的要求。首先,数学科学的发展为测量数据处理奠定了理论基础。统计学界于上个世纪末提出了半参数回归分析的重要理论,这一理论极其适合测量数据处理;其次,许多应用领域要求测绘技术能够提供更精确的测量数据和正确的分析结论。如地壳运动,大坝变形监测,高层建筑物的运营监测等。现代科学研究和工业技术要求以更高的分辨能力来认识客观事物的运动规律。例如观测地壳运动,地壳运动是一个十分缓慢而又复杂的过程,其运动量(可视为信号)与观测误差(噪声)掺杂在一起(即信号淹没在燥声之中),使人们难以正确发现其运动规律。再如,利用GPS全球定位技术进行气象研究(即所谓GPS气象学),电离层延迟在定位测量中被认为是系统误差,而对于气象研究则是十分有用的观测量。但是,电离层延迟的存在形式却是与观测误差混在一起。因此,需要将上述具有不同性质的量加以区分。区分上述具有系统性质的信号和观测误差(具有偶然性质)的方案有两种:其一,提高测量数据的观测精度,使具有偶然性质的观测误差远远小于具有系统性质的变形量(信号)。这样需要提高测量仪器的精度级别或增加多余观测。其二,分析研究各种误差的性质特点,运用现代数理统计理论得出更加适合测量实际情况的数据处理理论和方法,对上述两种不同性质的测量误差进行分离,以满足现代科学技术对测绘科技的要求。显然,第二种方案是行之有效的,半参数回归分析正是在这种情况下被提出,用以处理具有系统特性和偶然特性的平差模型。1间接平差理论的半参数误差方程半参数回归分析的模型为式中B为待估参数的系数阵,l为观测值向量,x为参数向量,s是存在于观测值中的系统误差向量或者是非随机的信号向量,∆为观测噪声向量,服从正态分布N~(0,σ2);式(1)为半参数模型的矩阵表达式。按间接平差理论,将其写成误差方程的形式即为式中v为观测值改正数向量。设t为预测变量,它是观测过程的时间序列,且为预测函数。此函数的第一部分是参数,这里有参数向量x=(x1,x2,...,xu)T,u为参数或未知数的个数。通常这部分由参数的非线性函数的线性化得来。第二部分s(t)表示非参数信号。在ti处的单个观测的观测方程为这里∆i表示噪声,si=s(ti)表示观测信号,li是在ti处的观测值。这一模型称为半参数模型。图1显示的是半参数估计模型中的参数部分BX,信号部分S,误差∆和观测值l的图形。2基于正则化约束的s-b对于式(1)和式(2)表示的半参数模型,要确定参数X和信号S的问题是一个数据平滑的问题。设为噪声的正定加权矩阵,假定B是满秩的,那么BΤPnB是正则的。应用最小二乘原理相应的法方程为显然,上式的系数矩阵为奇异阵。相伴的二次型当Bx+s=0时为0,其它情况下>0。也就是说在s无约束的情况下,不能得到x和s的唯一解。为了给信号s加上一个约束,利用著名的Tikhonov—Phillips正则化方法来实现。设R为N阶对称正定矩阵,常量α>0,这时最小化的条件(6)被下式所取代式中R称为正则因子,α称为正则化参数或平滑参数,它控制(9)式的两部分之间的平衡。在用(2)式消去△后,条件式(9)重新表达为上式具有正定矩阵的法方程是式中利用二次Schar-Morrison-Woodbury公式,分别根据式(2)和式(9)得到式(10)的解为式中分别代表参数、信号和噪声在t处的估计。在没有未知数或B=0的特殊情况下,式(1)表达的半参数模型即变为公式(13)化简为在pN和R的正定假设下,公式(13)和(14)是有效的。此外,对正则因子R的要求可放宽至半正定,但必须保证rank(RB)=u(u为待估参数的个数),此时法方程(10)仍是唯一可解的。3纠正因子和矫正参数的选择3.1r不存在或不满足要求时在非参数和半参数回归中,信号s(t)被看作是一个非随机函数,这样就避免了非随机变量用随机方法处理的困难。所以,正则因子R是一个具有正则特征的矩阵,它的作用在于半参数模型是否可解。即当R存在时,半参数模型有唯一解,当R不存在或不满足要求时,半参数模型不可解。前面已经假定R为对称正定矩阵,它不能被理解为信号S的协方差矩阵。在最小化条件式(9)中,针对信号估计加上个正则条件的补偿项,即α.sTRs。为此,定义了一个信号S在数据点t处的范数(或拟范数)sΤRs。其中R的构成可由三次样条曲线法或矩阵构造法来实现,这里仅就矩阵构造法加以说明。首先选择一个(n-,1n)阶的离散可微矩阵G,和一个列向量矩阵E,其具体表达如下从而正则因子式中γ为拉格朗日因子,为实数,其大小对结果影响很小。由此可知,正则因子R的作用是控制半参数模型是否有解,而对解的影响很小。3.2正则化参数的取值对数据平滑给定一个正则因子R,我们必须确定正则化参数。正则化参数α的取值对参数,特别是对信号估值的影响很大。因此,α的取值对数据平滑问题来说是十分关键的。下面以模拟计算来说明正则化参数α的影响。4正则化参数的选取不影响信号仿真图2显示的是参数与参数估值、信号与信号估值的一维图形比较。对于参数估值xˆ来说,只要观测值个数足够多,就能较好的逼近真值,它对于正则化参数α的取值变化并不敏感。对于信号估值sˆ来说,情形就大不相同了。从图中可以看出,图2(α=1)信号估值受噪声的影响较大,与信号真值相差甚大。图3(α=5)信号估值与真值逼近程度较好。当α取值继续增大,如图4(α=10)时,信号估值与其真值的逼近程度下降。当α=100时,即图5所示,此时信号估值已趋于平直,且处于信号的均值位置,已无实际应用价值。5正则化参数对信号估值的影响在半参数回归分析中,正则化参数α具有控制信号估值质量的作用。当α取值很小时,信号估值受噪声影响大,当α逐渐变大时,噪声影响减弱,转而受信号影响变大,当α取值足够大时,信号估值趋于平直而完全失真。纵观正则化参数α对信号估值的影响,可得如下结论:作为正实数