2023-2024学年人教A版必修第二册 6-2-4向量的数量积第1课时向量数量积的概念 学案

第1课时向量数量积的概念【学习目标】(1)知道向量数量积的物理背景，理解并掌握向量数量积的定义及投影向量．(2)掌握向量数量积的性质，并会求向量的模与向量的夹角．题型1两向量的夹角【问题探究1】如图，一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为W＝|F||s|cosθ，在该公式中，涉及力与位移的夹角，我们要先定义向量的夹角的概念．什么是向量的夹角？例1已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？学霸笔记：(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练1在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，则AB与BC的夹角是(A．30°B．60°C．120°D．150°题型2两向量的数量积【问题探究2】类比力做功的物理模型，你能给出向量数量积的定义吗？两个向量的数量积还是向量吗？例2如图，在平行四边形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·AD.学霸笔记：定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．跟踪训练2在等边三角形ABC中，边长为2，求AB·AC，AB·题型3投影向量【问题探究3】如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么OM1与e，a，θ例3如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．(1)求BA在CD上的投影向量；(2)求CD在BA上的投影向量．学霸笔记：(1)任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量(2)在平面几何图形中，求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．跟踪训练3已知|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－3，则向量a在向量b上的投影向量为________．题型4向量数量积的性质【问题探究4】探究以下问题，尝试发现数量积的性质．(1)向量a与单位向量e的数量积结果是什么？(2)当两个非零向量a与b互相平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，这时它们的数量积又有怎样的特殊性？(3)|a·b|与|a||b|有什么关系？例4已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由．(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.学霸笔记：利用数量积的性质判断三角形的形状关键看角的大小，若其中有一个角为钝角或直角，那么三角形为钝角三角形或直角三角形，若其中有一个角为锐角，三角形的形状不能判断为锐角三角形．跟踪训练4已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中正确的个数为()①若a·b＝±|a|·|b|，则a∥b；②若a，b反向，则a·b＝－|a|·|b|；③若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；④若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.A．1B．2C．3D．4随堂练习1．已知单位向量a，b，夹角为30°，则a·b＝()A．12B．32C．1D2．若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A．[0，π2)B．[π2C．(π2，π]D．(π23．已知平面向量a，b的夹角为π3，且a＝4，b＝4，则a·b＝(A．4B．43C．8D．834．已知|a|＝2，a与b的夹角为2π3，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为课堂小结1.向量数量积的定义，会用数量积的定义求两个向量的数量积．2．会求一个向量在另一个向量上的投影向量．3．向量数量积的性质的应用．第1课时向量数量积的概念问题探究1提示：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是0≤θ≤π.例1解析：如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°.以OA，OB为邻边作平行四边形则OC＝a＋b，BA＝a－b.因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.跟踪训练1解析：如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即AB与BC的夹角是120°.故选答案：C问题探究2提示：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)．由数量积的定义知两个向量的数量积不是向量是数量．例2解析：(1)平行四边形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，∵AD＝BC，∴AD·BC＝AD2＝9.(2)∵AB＝－CD，∴AB·CD＝－AB2＝－16.(3)根据平面向量数量积的定义知，AB·AD＝|AB|×|AD|×cos60°＝4×3×12跟踪训练2解析：AB·AC＝|AB||AC|cosA＝2×2×12＝2AB·BC＝－BA·BC＝－|BA||BC|cosB＝－2×2×12问题探究3提示：OM1＝|a|cosθe例3解析：因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为AB＝2，∠ABC＝30°，所以CD＝BD＝AB·cos30°＝3.由图可知向量BA与向量CD的夹角为∠ABC的补角，所以向量BA与向量CD的夹角为150°，CDCD＝13CD(1)BA在CD上的投影向量为|BA|cos150°×CDCD＝2×cos150°×13CD(2)CD在BA上的投影向量为|CD|cos150°×BABA＝3×cos150°×12BA跟踪训练3解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＝－3，又|b|＝3，∴|a|cosθ＝－1，又bb＝b所以向量a在向量b方向上的投影向量为－13b答案：－13问题探究4提示：(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·(3)|a·b|≤|a||b|.例4解析：∵a·b＝AB·AC＝|AB||AC|cosA.故(1)当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；(2)当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；(3)当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定．跟踪训练4解析：对于①，设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b为非零向量，可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，故①正确；对于②，若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，故②正确；对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|，故③正确；对于④，当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，|a·c|≠|b·c|，故④错误．故选C.答案：C[随堂练习]1．解析：由向量的数量积公式，得a·