专题15 实数之十大考点（解析版）

专题15实数之十大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一实数概念理解】 1【考点二实数的分类】 2【考点三实数的性质】 4【考点四实数的大小比较】 5【考点五实数与数轴】 6【考点六实数与数轴中的化简问题】 8【考点七实数的混合运算】 11【考点八程序设计与实数运算】 12【考点九新定义下的实数运算】 13【考点十与实数运算相关的规律题】 15【过关检测】 18【典型例题】【考点一实数概念理解】例题：（2023春·七年级课时练习）有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据实数的分类与概念，有理数与无理数的概念逐一分析即可．【详解】解：带根号的数不一定是无理数；故①不符合题意；无理数是无限不循环的小数，故②不符合题意；无理数是无限小数，故③符合题意；所有实数不都是分数，无理数就不是分数，故④不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是无理数的含义，实数的含义，熟记概念是解本题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中，正确的是（）A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零【答案】D【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．2．（2023春·全国·七年级专题练习）关于实数，下列说法错误的是（

）A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数【答案】D【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答．【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意；B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意；C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意；D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．【考点二实数的分类】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数填入相应的横线上：正有理数集合：整数集合：负分数集合：无理数集合：【答案】见解析【分析】根据实数的分类进行判断即可．【详解】解：∵，，，正有理数集合：3.14⋯⋯；整数集合：、0、⋯⋯；负分数集合：、⋯⋯；无理数集合：、、；故答案为：3.14⋯⋯；、0、⋯⋯；、⋯⋯；、、．【点睛】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)．有理数集合：｛

…｝无理数集合：｛

…｝【答案】，，，，，…；，，，(每两个1之间依次多1个0)【分析】根据实数的分类完成填空即可求解．【详解】解：有理数集合：｛，，，，，…｝无理数集合：｛，，，(每两个1之间依次多1个0)｝故答案为：，，，，，…；，，，(每两个1之间依次多1个0)．【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类，无理数的定义是解题的关键．2．（2023春·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中．，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）．(1)有理数集合：{

…}；(2)无理数集合：{

…}；(3)正实数集合：{

…}；(4)负实数集合：{

…}．【答案】(1)，，，，(2)，，(3)，，，，(4)，，【分析】（1）先化简，，再根据有理数的含义作答即可；（2）根据无理数的概念作答即可；（3）根据正实数包括正有理数与正无理数作答即可；（4）根据负实数包括负有理数与负无理数作答即可；【详解】（1）解：∵，，∴有理数集合：{，，，，，…}（2）无理数集合：{，，，…}（3）正实数集合：{，，，，，…}（4）负实数集合：{，，，…}【点睛】本题考查的是实数的分类，立方根与算术平方根的含义，熟记实数的分类是解本题的关键．【考点三实数的性质】例题：（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）的绝对值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的定义即可求解．【详解】解：的绝对值是，故选B．【点睛】本题考查了绝对值的定义，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．【变式训练】1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根的性质解决此题．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，以及绝对值，正确的计算是解题的关键．2．（2023·江苏·八年级假期作业）的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵的相反数是，故选C．【点睛】本题考查了相反数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：只有符号不同的两个数互为相反数．【考点四实数的大小比较】例题：（2023春·广东惠州·七年级统考期末）比较大小：______，______；【答案】【分析】根据被开方数越大，其算术平方根越大可比较的大小，根据比较近似值的方法可比较的大小，从而可得答案．【详解】解：，，故答案为：，【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握比较的方法是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）比较实数大小：______（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根据无理数的估算得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查比较实数大小．熟练掌握无理数的估算，是解题的关键．2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较大小：_____．（填写“”、“”或“”）【答案】【分析】利用作差法进行求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小是解题的关键．【考点五实数与数轴】例题：（2023·福建泉州·统考二模）如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，滚动一周，在数轴上的长度为圆的周长，由圆周长公式计算得到，从而，估计，即可得到答案．【详解】解：由题意可知，，，，，结合题中四个选项可知，与点表示的数最接近，故选：C．【点睛】本题考查无理数的估算，读懂题意，得到的长度，掌握无理数估算的方法是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）如图，在数轴上表示实数的点可能是（

）

A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】A【分析】首先根据数的算术平方根估出介于哪两个整数之间，然后结合数轴，看哪个点在这两个整数之间，从而找到其对应的点．【详解】解：∵，∴，∴，∴在数轴上表示实数的点可能是点M．故选：A．【点睛】本题考查无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系，解题的关键利用算术平方根估算出是介于哪两个整数之间．2．（2023春·上海普陀·七年级统考期中）如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解．【详解】解：设点C所对应的实数是x．则有，解得，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．【考点六实数与数轴中的化简问题】例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，若点表示数，设点所表示的数为．

(1)实数的值是______；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数轴的定义，结合题意，即可得出答案；（2）由（1）可知的值，再将的值代入代数式，然后再化简绝对值，计算实数的加减运算即可得出结果．【详解】（1）解：∵点表示数，点所表示的数为，又∵从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，∴，∴实数的值是；故答案为：（2）解：由（1）可知：，把代入，得：原式=．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、实数的加减法，熟练掌握数轴的定义是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·江西上饶·七年级校联考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：．

【答案】【分析】根据数轴上点的位置，判断a，b，c的大小关系，即，根据式子的正负性进行化简．【详解】由题意，，故，，，，，，所以原式化简，故答案为．【点睛】本题考查实数与数轴的关系．判断出代数式的正负性是解题的关键．本题的易错点在于注意正负号，及时进行变号．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在数轴上点、、所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．

(1)求出实数的值(2)求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）先求出，再根据题意可得，则或；（2）分和两种情况，去绝对值求解即可．【详解】（1）解：，表示的数分别为，，，点表示的数为，且点到点的距离与点到点的距离相等，或；（2）解：当时，；当时，；综上，原式的值为．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【考点七实数的混合运算】例题：（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括号，再根据实数的混合计算法则求解即可；（2）先利用算术平方根和立方根的性质化简，再进行计算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合计算，算术平方根和立方根的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可；（2）先化简绝对值和去括号，再进行加减运算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根、化简绝对值，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．2．（2023春·河南安阳·七年级统考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】（1）解：原式=；（2）解：原式=．【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．【考点八程序设计与实数运算】例题：（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【答案】【分析】根据程序框图进行运算求解即可．【详解】解：由题意知，，取算术平方根为，8是有理数，取立方根，2是有理数，取算术平方根，是无理数，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________【答案】【分析】将代入程序进行计算即可求解．【详解】解：当时，，当时，，当时，，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．2．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．【答案】【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．【详解】解：第一次运算，输入，取算术平方根为4，返回继续运算；第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算；第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果．故答案为：．【点睛】本题考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算顺序是解题的关键．【考点九新定义下的实数运算】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【答案】【分析】读懂新定义，利用新定义计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查新定义实数的运算，解题的关键是理解新定义的运算方法．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．【答案】【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是___________．【答案】或【分析】直接利用当时，当时，分别得出等式，进而得出答案．【详解】解：，当时，，故，解得：，当时，，，故，解得：，综上所述：或．故答案为：或．【点睛】此题主要考查了新定义运算，实数的运算，正确分情况讨论是解题关键．【考点十与实数运算相关的规律题】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）探究题：(1)计算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；请用这一规律计算：．【答案】(1)6，，(2)（a≥0，b≥0），【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．【详解】（1），，；故答案为：6，，；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．故答案为：（a≥0，b≥0），【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．【变式训练】1．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）阅读下列解题过程：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．(2)利用这一规律计算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】（1）解：根据题意得：∴第4个等式为：；故答案为：；（2）．【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值【答案】(1)(2)，49【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）由题干信息归纳可得：，∴．【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）下面四个数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如），结合二次根式的化简，三次根式的化简知识即可求解．【详解】解：、是有理数，原选项不符合题意；、是有理数，原选项不符合题意；、是无理数，原选项符合题意；、是有理数，原选项不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查无理数的识别，掌握无理数的概念，常见无理数的性质，二次根式的化简，三次根式的化简等知识是解题的关键．2．（2023秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】B【分析】估算出，再根据不等式的性质进一步估算即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴的值应在5和6之间，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．3．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若，则点C所对应的实数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数轴上两点间的距离可得，进而可得，即可求出，即得答案.【详解】解：∵数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，∴，∵，∴，∴，即点C所对应的实数是；故选：A.【点睛】本题考查了实数与数轴，正确求出是解题的关键.4．（2023秋·四川宜宾·八年级校考阶段练习）实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a﹣2b D．﹣b【答案】D【分析】由图可知，，且，结合立方根、算术平方根、绝对值的性质化简解题即可．【详解】解：，且，原式故选：D．【点睛】本题考查利用数轴判断式子的正负，涉及绝对值、算术平方根、立方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据新定义逐次计算即可得到答案．【详解】解：，对121只需进行3次操作后变为1．故本题选：C．【点睛】本题考查无理数的估算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义的运算规则．二、填空题6．（2023秋·广东·八年级五华县华新中学校考周测）比较大小：．（填“>”或“<”号）【答案】【分析】先估算，再进行比较即可．【详解】∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了实数比较大小，熟练掌握估算知识是解本题的关键．7．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习），分别是的整数部分和小数部分，则的值是．【答案】/【分析】根据无理数的估算得出，，然后代入代数式计算即可；【详解】解：∵，∴，∴的整数部分，小数部分，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，代数式求值，求出，的值是解题的关键．8．（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为289时，则输出的值是．【答案】【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解．【详解】解：输入x的值为289时，289的算术平方根是17，17是有理数，再输入可得：17的算术平方根是，则输出y的值是．故答案为：．【点睛】本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义．9．（2023秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）若对于实数定义一种新运算：，则．【答案】4【分析】根据新运算可得，再根据新运算计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∴．故答案为：4【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，理解新运算是解题的关键．10．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第101个数是．【答案】【分析】先通过观察分析得出这一列数的规律是，再根据这一列数的变化规律求解即可．【详解】解：第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是，第5个数是，第6个数是，……第n个数是，∴当时，∴第101个数是．故答案为：．【点睛】本题考查探究数字规律，根据已知数归纳总结出这一列数变化规律是解题的关键．三、解答题11．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）计算．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用实数的混合运算法则即可求解．（2）利用实数的混合运算法则即可求解．【详解】（1）解：原式．（2）原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．12．（2023春·七年级课时练习）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．【答案】【分析】由题图可知，可得，，，再化简即可．【详解】解：由题图可知，∴，，，∴原式．【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，化简绝对值，求解立方根与算术平方根，整式的加减运算，理解题意判断各代数式的符号是解本题的关键．13．（2023春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）如图，是一个计算流程图：(1)求的取值范围；(2)当输入的为时，输出的是多少？(3)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或者【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得．（2）把代入即可解得．（3）为0和1时，有效，始终输不出值．【详解】（1）解：∵取算术平方根，负数没有算术平方根，∴解得，（2），取算术平方根：，2是有理数继续取算术平方根，是无理数，输出即可，故答案为：．（3）当时，0的算术平方根是0，始终输不出值，解得，当时，1的算术平方根是1，始终输不出值，解得．【点睛】此题考查了程序设计与实数运算，解题的关键是熟悉实数运算规则．14．（2023秋·全国·八年级专题练习）阅