物质结构综合练习（含答案）

物质结构综合练习含答案

《物质结构》第一章习题(下)ˆ

Lz(xiy)ixy(xiy)iixy(xiy)

yx

2

(注：习题中，分别用L和Lz表示轨道角动量的平方和z分量，课

2ˆ

本上所采用的符号是M和Mz)Lz(xiy)ixy(xiy)iixy(xiy)

yx

ˆ

1.证明函数x+iy，x-iy和z都是Lz的本征函数，并求相应的本征值.ˆ

Lzzixyz00z

yx

2.球谐函数Ylm(,)是_____和_____的共同本征函数，相应的本征

值分别是___和____。故本征值分别为,,0

ˆ2ˆ2

3.球谐函数Ylm(,)lm(,)m()，其中lm(,)是______，2.轨道角动量平方算符L，轨道角动量z分量算符Lz；l(l1)，

m()_____。m

12

11im

4.设一粒子的状态为cosθ，证明：该状态下，轨道角3.归一化的联属勒让德函数；()e

22

动量的平方L2有确定值，并求出角动量的大小。

4.只需证明Lˆ2常数，其中常数(本征值)即为该状态下L2的值。

2

11112

已知：在球极坐标系中，Lˆ22sinθ.Lˆ22sinNcos

22sinθθ22

sinθθθsinθsinθ

212

12Nsin0

1sinθ

5.设一粒子的状态为cosθsinθei，证明：该状态下，

2

22Ncosθ22

轨道角动量的z分量有确定值。2

故L2有确定值2，得L2

6.设一个粒子的状态是2YY，其中Y为球谐函数。问L2

2,12,0在球极坐标系中，ˆ，于是

5.Lzi

和Lz有无确定值，若有，其值是多少，若无，则求平均值。

设Aˆ是任一可物理观测量A的算符，其本征方程为ˆii

LziNcossineNcossine

ˆ

Aiaii

故有确定值。

(注意，本征值ai代表物理量A的仅有可能值，在本征函数i所Lz

描述的状态下本征态，有确定值ˆ222

()Aai)6.①Y2,1和Y2,0都是L的本征函数，并且本征值都是221＝6，

ˆ2

【态叠加原理】体系的任一状态可表示为任一量子力学算符Aˆ因此，线性组合2Y2,1Y2,0仍是L的对应于同一本征值的本征函数

线性算符的性质。故2有确定值2。

的本征函数的线性组合(即本征态i的叠加)：()L6

ˆ

Ψc11c22c33...cii②Y2,1和Y2,0都是Lz的本征函数，但本征值不同，分别是，0，

iˆ

故线性组合2Y2,1Y2,0不是Lz的本征函数。可以验证如下：

ˆˆ

可以证明：若本征函数i已经是归一化的，则LzLz(2Y2,1Y2,0)2Y2,10Y2,02Y2,1常数

2因此，在状态下没有确定值，，都有一定的出现几率。

⑴叠加态的归一化条件要求ci1Lz0

i

2在中，球谐函数是归一化的，但线性组合系

⑵叠加态下A的平均值Aciai(ai是i对应的本征值)2Y2,1Y2,0Ylm

i

2数的绝对值平方和=22+121，说明不是归一化的。设的归一

ci的意义：对性质A测量时得到本征值ai的几率。

化系数为N，则

222

7.类氢原子的定态波函数nlmr,θ,是____、_____、_____的共NN2Y2,1Y2,02NN1N1/5

同本征函数，本征值分别是____、____、____。224

于是，Lz的平均值L2NN0

z5

8.类氢原子的定态波函数nlmr,θ,可以写作Rr,θ,三

2

个函数的乘积，这三个函数分别由量子数_____,_____,_____来7.哈密顿算符Hˆ、轨道角动量平方算符Lˆ、轨道角动量z分量算

ˆ222

规定。符Lz；RZ/n、l(l1)、m.

8.n,l；l,m；m

9.写出单电子原子的,R,,函数归一化时的积分变量及积分区

间。9.:dτr2sinθdrdθd,r:0,,θ:0,,:0,2;

R:r2dr,0,

:sinθdθ,0,

【答案1-9】

:d,0,2.

ˆ

1.在笛卡尔坐标系中，Lzixy

yx

10.已知RYR，其中,R,Y,,皆为归一化的波【答案10-21】

函数，请写出,R,Y,,的归一化表达式。22

10.r2sinθdrdθd1；

000

11.已知RYR，其中R,Y,,皆已归一化，则下

2

2

列式中哪些成立？()Rr2drR2r2dr1；Ysinθdθd1

0000

2π

(A)2dr1(B)R2dr1(C)Y2dθd1

2

000022

sinθdθ2sinθdθ1；d1；

000

2π2π2

(C)Y2sinθdθd1(D)Ysinθdθd1

000022222

或者，r2sindrddRr2drYsindrdd

000000

π2π

(E)2sinθdθ1(F)2dθ1

002222

Rr2drsindrdd1111

000

12.以下关于方程的叙述何者有错()

注意，R,是实函数，其绝对值平方就等于函数的平方，但以

(A)方程的解为mAexpim

及Y和有可能是复函数(除非明确是实函数，否则不可

2

(B)根据归一化条件||2d1，可得A1/2去掉绝对值符号。

0m)

11.(D)(E)。

(C)由于m必须单值(边界条件)，故m0,1,2,,l

ˆ12.(C)。根据函数的单值性可确定m0,1,2,，但m的最大

(D)m是算符Lz的本征函数，故Lzm

(E)由方程的一对复函数解，线性组合可得实函数值l是通过解方程确定的。

im

13.解方程时，由于波函数eim要满足连续条件，所以量子数m13.不对。e是连续函数，但不一定单值。若要求函数单值，则

只能为整数，对吗？m只能为整数.

不对，只能得到，自旋是非相对论量子力学的基本假设。

14.求解氢原子的Schrödinger方程能自然得到n,l,m,ms四个量子14.n,l,m

数，对吗？

23e2

15.2E；2s和2p态能量相同

15.写出Li2+的薛定谔方程；比较Li2+的2s和2p态能量的高低。2m4ε0r

3/2Zr

2

1Za1*12

16.H原子的e0，列式计算①1/r的平均值，16.①1srsindd

1sr000r1s

a0

2

r

nbxn1121

②r的平均值。积分公式：xedxn!b,(n1,b0)rea0drsindd

03000

a0a0

17.对于H原子，2s和2p电子，平均来说，哪一个离核近些？

23

②r*rr2sindda

0001s1s20

3r3r

112r112r

R(r)2e2a0,R(r)e2a0

2s2p*2*2

22a0a026a0a017.rrdrrsindrdd

000

nbxn1

积分公式：xedxn!b,(n1,b0)232223

0RrdrYsindrddRrdr

0000

3+

18.三价铍离子(Be)的1s轨道能应为多少-R？()r

2

1r

对于2s电子，r2ea0r3dr6a

(A)13.6(B)1(C)16(D)4(E)0.52s300

8a0a0

19.若氢原子基态到某激发态跃迁光谱波长为1.217×10-5cm，求该

r

182

激发态的量子数n。(R13.6eV2.1810J)

1ra03

对于2p电子，rerdr5a0

2p24a30a

20.Li2+的一个电子所处的轨道的能量等于氢原子1s轨道能量，求00

该轨道可能是Li2+的哪个轨道？因此，2p电子离核的平均距离较近。

2+

该轨道是Li的主量子数为3的轨道，可能是3s,3p0,1或3d0,1,218.(C)

+2

21.H原子(气态)的电离能为___eV，He(气态)的电离能为___eV。1hchc

19.EEnE1R1，En12

n2λR

32

20.EHRE2RRn=3

Lin2

21.I=-E=13.6eV；54.4eV

22.求氢原子基态的动能和势能平均值。并根据玻尔原子模型求电

子的线速度和deBröglie波长.【答案22-38】

23.有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数n=1的轨1

22.①根据维里定理TV，

道，第二个氢原子的电子处于n=4的轨道。①原子势能较低的2

是______，②原子的电离能较高的是____。有TE13.6eV，V2E27.2eV

24.对于单电子原子，在无外磁场时，能量相同的轨道数()61

②2T/m2.1910ms，h/(m)3.321010m

(A)n2(B)2(l+1)(C)2l+1(D)n-1(E)n-l-1

23.①第一个，②第一个

25求氢原子分别属于能级①-R，②-R/9，③-R/25的简并度。

24.(A)

26.分别写出氢原子4d轨道和4f轨道的角动量的大小。

25.1,9,25

27.氢原子中的电子处在3d轨道之一，它的轨道量子数n,l,m的

26.4d轨道：l(l1)6;4f轨道：l(l1)23

可能值各是多少？

27.n=3,l=2,m=0,1,2

28.测定处于3d态的氢原子的轨道角动量的z分量，可能得到几个

测定值？()28.(E)

(A)1(B)2(C)3(D)4(E)529.2；0

29.氢原子3d轨道角动量沿磁场方向分量的最大值和最小值分别30.不对，l确定后，轨道角动量的大小是能确定的，但其方向不

为___和___。能确定。

31.不对。m相同的轨道，l不一定相同，所以角动量不一定相等.

30.对单电子原子来说，角量子数l确定后，它的轨道角动量矢

32.1s,2s,2p,3s,3p,3d

量是能够完全确定的，对吗？000

33.3；0，2或6；2l+1=5

31.在单电子原子中，磁量子数m相同的轨道，其角动量的大小必

然相等，对吗？34.(B)cosLz/L2/6

32.若一原子轨道的磁量子数为m=0，主量子数n≤3，则可能35.2p0轨道的量子数n=2,l=1,m=0

的轨道为____。12

①13.63.4eV②l(l1)2

2

33.已知一类氢离子处于E=-1.51Z2eV状态，该状态的n=_______，2

L0

该状态中轨道角动量的大小为________，其中角动量最大的状态③cosz090o

L2

下，角动量与外磁场方向(z轴方向)的可能夹角有_____个.

36.是归一化的，故

34.类氢原子处于轨道322r,θ,中的电子，其轨道角动量与外

212121

磁场方向的夹角是()Ec1Rc2Rc1R

323222

(A)0°(B)35.5°(C)45°

2222222

Lc12c26c12

1r

35.已知H原子的era0cosθ

2p012

3a0222

42a0

Lzc1c20c1

试回答：①原子轨道能E；②轨道角动量的大小L；③轨道角动

37.态是四个本征态nlm的叠加，由于nlm是归一化的，且线性

量和z轴夹角的度数。

组合系数的绝对值平方和=1，故也是归一化的。

36.H原子中的归一化波函数ccc所描述

131123203211Z2R

①ER，由Z=2得n=4。

的状态的能量、角动量的平方和z轴分量的平均值各为多少？n24

2

1231R11

37.已知He+处于波函数E出现的几率为

42104321232144214416

状态，计算：①E=-R/4出现的几率，②L2=22出现的几率，③②L2l(l1)222，得l=1

2

Lz=-出现的几率。11

L2=22出现的几率为

416

38.已知类氢原子波函数nlmRnllmm，当_____时，nlm为

实函数，否则为复函数。③Lzm，得m=1

22

3113

Lz=-出现的几率为

2416

38.m0

2

③E和L仍有确定值，但Lz没有确定值[因为线性组合得到的

39.类氢原子的一对复波函数n,l,m(m0)的线性组合给出一对

实函数，①写出实函数的表达式，②指出这对实函数和复函数在ˆ

这对实函数不再是Lzi(/)的本征函数]，由①知Lz

形式上有何不同，③在这对实函数描述的状态下，能量、轨道角

动量的大小以及z分量有确定值吗？的平均值为0。

40.①2px(cos型)和2py(sin型)是2p1的线性组合；

40.说明①2px,2py,2pz和2p0,1之间的关系；②3dxz,3dyz,3dx2-y2,

2pz2p0

3dxy,3dz2,3dxz和3d0,1,2之间的关系。

②3dxz(cos型)和3dyz(sin型)是3d1的线性组合；

41.2px,2py,2pz是简并轨道，它们是否分别可用三个量子数表示：

3dx2-y2(cos型)和3dxy(sin型)是3d2的线性组合；

2px(n=2,l=1,m=+1);2py(n=2,l=1,m=-1);2pz(n=2,l=1,m=0)

3dz23d0

42.210与2p是否代表相同的状态？

z41.除2pz外，否

43.与是否代表相同的状态？是

2112px42.

43.否

44.类氢原子波函数①2pz,②2px,③2p+1中，是算符Hˆ的本征函数

44.①②③；①②③；①③

ˆ2ˆ

是___，算符L的本征函数有___，算符Lz的本征函数有___。

45.①②③④；①②③④；①②③

45.波函数①2p+1,②3d+1,③3dz2,④(3d0+3d2)都是类氢原子的许可

46.-1.511，

状态，其中是算符Hˆ的本征函数是___，算符Lˆ2的本征函数有

1im1

___，算符Lˆ的本征函数有___。r和(因为3pz态3p0态，其函数为e)；

z22

氢原子处于定态的能量为，原子轨道只与变量

46.3pz____eV3pzE和角L2(或L)。

____有关，3p与3p____相同的简并态。

zx47.(E)

47.氢原子波函数311与下列哪些波函数线性组合后的波函数与48.z分量有确定值0，但x和y分量都无确定值，平均值为0。[注：

ˆˆˆ

属于同一简并能级？①，②，③。正确答npz即np0态，是L的本征函数，本征值为零。但npz不是L,L

300321311300zxy

ˆˆˆˆ

案是()的本征函数，若用Lx,Ly计算平均值Lx,Ly，结果将皆为0]

(A)②(B)①②(C)①③(D)②③(E)①②③49.x分量有确定值0；y和z分量无确定值,平均值为0。[注，将npz

波函数中的rcos=z替换为rsincos=x可得npx波函数，替换为

48.类氢原子处于2pz态的电子，其角动量在x,y,z方向上的分量是

rsinsin=y可得np波函数，从图形上看，np,np,np电子云图

否具有确定值？若有，其值是多少？若没有，其平均值是多少？yxyz

的形状相同，只是空间取向不同。另外，对x,y,z循环替换，算符

49.类氢原子处于2px态的电子，其角动量在x,y,z方向上的分量是ˆˆˆ

Lx,Ly,Lz也循环替换。于是，根据48题的结果容易得出答案]

否具有确定值？若有，其值是多少？若没有，其平均值是多少？

Zr